数制的基本概念

5.2.1　数制的基本概念

按进位的原则进行计数，称为进位计数制，简称“数制”。在日常生活中经常要用到数制，通常以十进制进行计数，除了十进制计数以外，还有许多非十进制的计数方法。例如，60分钟为1小时，用的是60进制计数法；1星期有7天，是7进制计数法；1年有12个月，是12进制计数法。

1.数制的特点

学习数制，必须首先掌握数码、基数和位权3个概念。下面简单地介绍这三个概念。

数码：数制中表示基本数值大小的不同符号。例如，二进制有2个数码：0，1。

基数：数制所使用数码的个数。例如，二进制的基数为2；十进制的基数为10。

位权：数制中某一位上的1所表示数制的大小。例如，十进制的256，2的位权是100，5的位权是10，6的位权是1。

（1）逢N进一

N是指数制中所需要的数字字符的总个数，称为基数。例如，十进制数用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个不同的符号来表示数值，这个10就是数字字符的总个数，也是十进制的基数，表示逢十进一。

（2）位权表示法

位权是指一个数字在某个固定位置上所代表的值，处在不同位置上的数字符号所代表的值不同，每个数字的位置决定了它的值或位权。而位权与基数的关系是：各进位制中位权的值是基数的若干次幂。因此，用任何一种数制表示的数都可以写成按位权展开的多项式之和。如十进制数“634.08”可以表示为：

（634.08）₁₀ = 6×（10）² ＋ 3×（10）¹＋ 4×（10）⁰ ＋ 0×（10）⁻¹ ＋ 8×（10）⁻²

位权表示法的原则是数字的总个数等于基数；每个数字都要乘以基数的幂次，而该幂次是由每个数所在的位置所决定的。排列方式是以小数点为界，整数自右向左0次方、1次方、2次方、……，小数自左向右负1次方、负2次方、负3次方、……。

2.进位计数制

在日常生活中计数采用了多种计数制，比如：十进制、六十进制（60秒为1分，60分为1小时，即基数为60，运算规则是逢六十进一）。在计算机系统中采用二进制，其主要原因是由于电路设计简单、运算简单、工作可靠、逻辑性强。不论是哪一种数制，其计数和运算都有共同的规律和特点，表5-1就是几种在计算机中常用的数制，下面来简单介绍一下。

表5-1　几种进位数制

注：十六进制的数符A-F分别对应十进制的10-15

（1）二进制数

二进制计数制的基数是2，使用两个数码0和1表示数，低位向高位进位的原则是“逢二进一”。由于二进制数仅0和1两个数码，所以其运算规则比较简单，表5-2列出了二进制数进行加法和乘法的规则：

表5-2　二进制数的运算规则

如二进制数“11011.101”可以表示为：

（11011.101）₂=1×2⁴＋1×2³＋0×2²＋1×2¹＋1×2⁰＋1×2⁻¹＋0×2⁻²＋1×2⁻³

（2）八进制数

八进制数的计数基数为8，每一位用0～7八个数码表示。低位向高位进位的原则是逢八进一。八进制数中，最大的数字是7，最小的数字是0。如八进制数“107.13”可以表示为：

（107.13）₈=1× 8²＋0× 8¹＋7× 8⁰＋1×8⁻¹＋3× 8⁻²

（3）十进制数

十进制数的计数基数为10，即每位计满10时向高位进一位，也就是逢十进一。在十进制中，最大的数字是9，最小的数字是0，用0～9十个数码表示。如十进制数的“435.05”可表示为：

（435.05）₁₀=4×10²＋3× 10¹＋5×10⁰＋0×10⁻¹ ＋5× 10⁻²

（4）十六进制数

十六进位计数制简称为十六进制。它有十六个不同的数码符号：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。由于数字只有0～9十个，而十六进制要使用十六个数字，所以用A～F六个英文字母分别表示数字10～15。十六进制的计数基数是16，按“逢十六进一”来决定其实际的数值。如十六进制数“4E6A”可以表示为：

（4E6A）₁₆=4×16³＋14×16²＋6×10¹＋10×10⁰