七巧板拼图游戏

一、七巧板拼图游戏

一、七巧板拼图概述

“七巧板”源于我国，是一种神奇的益智玩具.

据考，“七巧板”为宋人黄伯思所创.至今已历一千余年.七巧板于18世纪传到国外，旋之风靡欧、美，成为一种上自达官贵人，下至平民百姓，家喻户晓的消遣游戏，被称为“唐图”(Tangram).在国外，两百多年来，有关七巧板拼图的著述，连篇累牍，至今不绝.

七巧板玩具，是一种可供一个人自娱自乐的拼图游戏.它之所以令人拍案叫绝，在于它设计之科学，构思之精巧，变化之无穷；对于启发人之心智，开发人之右脑，活跃形象思维，以及培养青少年的兴趣和创造力等方面，无不具有特殊的功效；是少有的被教育部明确列入《小学数学国家课程标准》的一种益智游戏.

[七巧板的构造]

现今流传于我国民间的七巧板，原是由两个正方形，按下左图的方式切割而成.而现在许多书上，改为由一个大的正方形，按下右图的方式切割而成.

事实上，上述两种切割方式是完全等价的.但为了叙述方便，我们约定采用后一种，并把大的正方形设为4×4(面积单位)的正方形.这样，七巧板便由以下的七块、五种形状的平面图形构造而成：

1°两块4个(面积)单位的大等腰直角三角形；

2°一块2个(面积)单位的等腰直角三角形；

3°一块2个(面积)单位的正方形；

4°一块2个(面积)单位的平行四边形；

5°两块1个(面积)单位的等腰直角三角形.

值得注意的是：构成上述五种形状的平面图形，只有四种边长和三种角度.

4种边长——(单位长度)；

3种角度——45°、90°和135°.其中45°角最多，除一块正方形之外，其他六块都各有2个45°角；另2个135°角，都集中在一块平行四边形中.

七巧板的上述特性，有利于其组件拼接时，“边边相连”或“边角相接”.

[七巧板拼图的游戏规则]

七巧板拼图的游戏规则只有两条，如下：

1°拼图时，只能用七巧板的七块组件，而且必须全部用上；

2°不允许组件重叠.

需要强调的是：上述规则的第2条，意味着所拼成的图形，总面积一定相等.这一点对于用计算方法解拼图问题时，尤为重要.

七巧板拼图如此简单的规则，使它无可悬念地成为一种老少皆宜的游戏.

[七巧板拼图的课题]

有关七巧板拼图的课题一般有三类：

1.把七巧板拼成某种特定要求形状的图形.

所谓特定要求，是指拼出的图形具有某种特殊的意义，如数字文字，几何形状，人物形象，工具器皿，…….

这类问题一般没有标准解答.由于是影像，只要求“形似”.所以，其中不仅有拼排的优劣问题，更有视角的“仁者见仁，智者见智”的问题，于是解答有着很大的弹性空间.这就不仅为玩家提供了开放性思考和创造性想象的发挥的机会，而且也刺激玩家动员自己的智慧储备，去应对挑战，并从成功中获取欢悦.

例1　试用七巧板拼排出数字“1”、“2”、“3”.

解　下面是一种参考排法，不知读者是否能找到更好的拼法.

例2　试用七巧板拼排出跑、走等人物动作的不同的姿态.

解　下面是几种参考排法.现已有人排出了上百种各不相同人物的姿态，每一种都栩栩如生.建议读者也发挥自己丰富的想象力，动手试试，相信你也会拼排出更美妙的图案.

例3　试用七巧板拼排出鱼、虾等形象.

解　下面是一种参考排法，读者还可以自行试试.

用七巧板排字，更由来弥久.古人把它用于儿童的识字启蒙，使得孩子视觉分辨、认知技巧、手眼协调、联动记忆等有机结合，取得奇特的效果.晚清文人童叶庚，还在七巧板的基础上，增加了几块，创造了“益智图”.他带着他的五个孩子，用“益智图”拼出了数以千计的汉字，并编纂成《益智图千字文》.清恭亲王还为该书题了字.

例4　试用七巧板拼排出“七巧”二字.

解　下面是一种参考解答，希望读者能找到更加形似的拼排方法.

2.根据给出的影像，找出一种或几种用七巧板拼排的方法.

由于要拼排的影像是已知的，关键是七巧板的七块组件应当放在哪里，才能贴切地吻合于影像，因此这类问题更多地需要凭直觉加以判断，或通过不断的尝试，找到正确的排法.

这类题难易相差很大，一般分为“A”、“B”、“C”、“D”四级：“A”级较为容易，难度系数为“★”；“B”和“C”级难度系数都是“★★”，属于中等，但“C”级比“B”级稍难些；“D”级难度系数为“★★★”，相对要更难些.初学者可以先从较容易的“A”级玩起，等积累了一定经验后再逐步递进.玩时不要随便放弃，或怀疑解答是否存在，因为所提供影像都是前人探索得到的.

例5　根据下图的影像，找出一种用七巧板拼排的方法.

(1)下图左为直升飞机(“★”A级)；

(2)下图中为潜水艇(“★★”B级)；

(3)下图右为水面上的浮鹅(“★★”C级).

解　下列是参考拼图.其他的拼法读者可以自行探讨.

3.对七巧板有关数学问题的探索.

这方面过去也有些研究，如1942年浙江大学的王福春等人在《美国数学月刊》就发表过以下研究成果：

“一副七巧板只能拼出13种不同的凸多边形”.

到20世纪80年代，更有不少人对七巧板的数学原理和性质进行探讨.有些数学家甚至还把它与拓扑学、人工智能、电脑程序设计等相联系，取得了积极成果.

考虑到所面向的多数读者，本文对这方面不做过多的讨论.只是通过少量的例子和问题，让读者稍许领略七巧板课题的这一侧枝.

例6　试从数学角度，分析七巧板七块组件切割方式的合理性.

解　我国民间的七巧板的组件，是以等腰直角三角形为基本图形.

如果把最小的等腰直角三角形组件作为一个单位的话，那么按“边边拼接”的原则，由两个单位拼成的图形共3种；由三个单位拼成的图形也只有4种，如下：

通过简单分析不难知道，由四个单位拼成的图形有14种(见本书第13页问题1－09)，其中最简单的就是大等腰直角三角形.而我国七巧板的构成是：一个单位的小三角形组件两块，两个单位的组件各一块，四个单位的大三角形组件两块.

以上组件的构成，体现出了简约性.而且所有的组件，只有三种角度、四种边长、五种形状，因而十分合理.实际上，上述结构，在历史上也是经历了千年的“大浪淘沙”，直至清嘉庆年间，才形成定式.

二、七巧板的拼图技巧

掌握以下一些技巧，将有助于七巧板拼图.

(约定：今后在讲述长度或面积时，总把单位略去)

(1)充分了解各组件的尺寸.

第1、2组件

第3组件

第4、5组件

第6、7组件

(2)充分利用拼图的面积恒等于16的特性.

例7　试用七巧板拼出一个三角形.

解　由于角度的限制，所要拼出的三角形，一定是等腰直角三角形.

设该等腰直角三角形的直角边长为X，则由面积关系，得

这就提示我们可以用以下的拼排方法.

(3)注意哪些组件可以拼接.

例如，组件“5”，可供拼接的块如下：

(4)通过割补法加以探索.

例8　试用割补法探求用七巧板拼出下左图的方法.

解　容易看出，用割补法可得上页下右图的正方形.不难算出该正方形的边长为.这就提示我们可以尝试以下的拼法：

(5)通过计算法加以探索.

例9　试用计算法探求用七巧板拼出以下“船”形图的方法.

解　从面积等于16，及船的长宽比考虑，船的底部到平板的高度必然等于2.

假设突出部位宽度为X，如果平板两侧的长度均为4(这一点不难从图形中加以判断)，那么下页左图中央的部分面积，就等于图中两边补成矩形时所缺的面积，即等于4.

于是得

(6)在拼图中要掌握的一般原则是：先考虑安放大块组件(4单位)，次之中等的组件，最后考虑小块组件.

(7)记住以下一些可以由五小块拼出的图形，有时很有用.

(8)利用近似等式

例10　以下影像图的面积可以计算如下：

但它却是由一副七巧板拼成，理应等于16.

试问，这是为什么？

解　这是因为，在拼图中利用了近似等式

三、七巧板拼图的问题与练习

问题1—01：

[难度等级：★☆☆☆☆]

试利用七巧板的七块组件角度的特性，在顶点处将它拼在一起，组成一个缺了两小块的大正方形.

答案在第17—18页.

问题1—02：

[难度等级：★☆☆☆☆～★★☆☆☆]

试用七巧板排出下面的阿拉伯数字：

“5”、“6”、“8”和“9”.

答案在第18页.

问题1—03：

[难度等级：★☆☆☆☆～★★★☆☆]

试用七巧板拼出以下两组大写英文字母：

(1)“B”、“C”、“D”、“E”；

(2)“I”、“J”、“M”、“N”、“P”、“T”.

答案在第18页.

问题1—04：

[难度等级：★★☆☆☆～★★★☆☆]

试用七巧板排出“人、上、天”三个简化汉字：

答案在第19页.

问题1—05：

[难度等级：★☆☆☆☆～★★★☆☆]

在1°的“七巧板拼图课题”中指出，20世纪40年代，中国数学家证明了：用七巧板只能排出13种不同的凸多边形.

试问，你能排出多少种不同的凸多边形？

答案在第19页.

问题1—06：

[难度等级：★☆☆☆☆]

下图是七巧板拼图游戏中一个令人扑朔迷离的问题：图中是两个不同的人像，它们上半部几乎完全相同，但其中一个有脚，一个没有脚.然而它们确确实实是由同样一副七巧板拼接而成的！

试问，其间的因由究竟何在？

答案在第20页.

问题1—07：

[难度等级：★☆☆☆☆～★★★☆☆]

试用七巧板拼出以下几组动物的影像：

(1)猫.

(2)山羊、骆驼、奔马.

(3)飞鸟.

答案在第20—21页.

问题1—08：

[难度等级：★★☆☆☆]

下图是两人握手的影像需要两副七巧板.试问，如果限制每人各用一副七巧板，你能做到吗？

答案在第21页.

问题1—09：

[难度等级：★★☆☆☆]

在例6中，我们说过，如果把最小的等腰直角三角形组件作为一个单位的话，那么按“边边拼接”的原则，由4个单位拼成的不同的图形共有14种.

试列出这14种不同的图形.

答案在第21页.

问题1—10：

[难度等级：★★★★☆]

如果把七巧板中两个4个单位的大三角形，换成问题1－09中14种图形的任意两种(允许取相同的两个)，并把新的七块组件，拼成一个正方形(例如右图).

试问，这样的图形你能找出几个？

答案在第22页.

四、七巧板的远亲和近支

[日本四巧板]

近些年，在日本风行着一种新颖的智力玩具——四巧板.那是一种简化了的七巧板.然而它同样可以锻炼人们机智和灵巧的能力.

四巧板是由一块1×6单位的长方形，按下图方式切割而成.

在日本，甚至有人订出了利用四巧板测试智能的标准，共分九级.

问题1—11：

[难度系数：★☆☆☆☆]

以下是“日本四巧板”5级、6级的测试图形，适合于小学中年级学生.(限时5分钟)

答案在第22页.

问题1—12：

[难度系数：★★☆☆☆]

以下是“日本四巧板”7级、8级的测试图形，适合于小学高年级以上的学生.(限时5分钟)

答案在第22页.

问题1—13：

[难度等级：★★★☆☆]

以下是“日本四巧板”9级，即“博士”级的测试图形——“手风琴”.(限时10分钟)

建议读者用它给自己，或亲友中的小朋友试试，看能否在测试中获得“博士”头衔？祝你成功！

答案在第23页.

[古制五巧板]

下页上图是一种古制的五巧板，同样有三种角度、四种边长、五种形状.其特点是组件间的大小相对比较均衡.每块加脚做成茶几，可以根据需要，选取其中几块，拼成不同形状的家具，颇具实用性.

[法式和日式的七巧板]

七巧板在国外流传时，也出现了一些变式，下图分别是日本式(左)和法国式(右)的七巧板切割图.由于其功能与我国的七巧板大同小异，这里就不多叙述.

[立体七巧板]

在我国民间还有一种类似于七巧板的益智玩具.那是由一个3×3×3单位的立方体(下左图)，切割成如下右图所示的七块立体积木.其中积木a、b、c、d、e、f各为4立方单位；积木g为3立方单位.

以上玩具称为立体七巧板，玩家可以用它拼出许多立体的物件.

问题1—14：

[难度等级：★☆☆☆☆]

请从立体七巧板中选出二块或三块，拼出以下立体.(适合于小学中、高年级)

答案在第23页.

问题1—15：

[难度等级：★★☆☆☆～★★★☆☆]

请从立体七巧板中选出四块或五块，拼出以下立体.(适合于小学高年级以上)

答案在第23页.

[答案和提示]

1—01

解　容易算出，这个大正方形的面积为

16＋2＝18(面积单位).

从而其边长为(单位).由此可得拼法如下：

1—02

解　参考拼法如下：

1—03

解　参考拼法如下：

(1)

(2)

1—04

解　下列是参考拼图.

1—05

解　用七巧板能排出13种不同的凸多边形是：

三角形1种——

凸四边形6种——

凸五边形3种——

凸六边形3种——

1—06

解　下图是人像难题的解答.原因读者看图自明.

1—07

解　参考解答如下：

(1)猫.

(2)山羊、骆驼、奔马.

(3)飞鸟.

1—08

解　参考解答如下：

1—09

解　14种4单位的组件如下：

1—10

解　这样的图形共存在23种，下面所列是其中的几种：

1—11

解　参考解答如下：

1—12

解　参考解答如下：

1—13

解　“博士”级解答如下：

1—14

解　参考解答如下：

1—15

解　参考解答如下：