巧解九连环

64.巧解九连环

外国文献中把九连环叫做“Chinese Ring”，世界上一致公认它是人类所曾发明过的最奥妙的玩具之一。

九连环不知道是什么时候发明的，由于年代久远，缺乏史料，许多人都认为它大概来自民间。十六世纪的大数学家、在普及三次方程解法中作出了卓越贡献的卡尔达诺在公元1550年（相当于我国明朝中叶）已经提到了九连环。后来，大数学家华利斯对九连环也作了精辟的分析。在明清二朝，上至所谓“士大夫”，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。

九连环一般都用粗铅丝制成，现在从事此道的民间艺人已经寥若晨星，我们只好自己动手来做一个。它共有九个圆环，每一个环上都连着一个较细的铅线直杆，各杆都在后一环内穿过，插在白铁皮上的一排小孔里。杆的下端都弯一小圈，使它们只能在小孔里上下移动，但脱不出来。另外再用粗铅丝做一个双股的钗。

玩这种游戏的目的是要把九个环一个扣住一个地都套到钗上，或者从钗上把九个环都脱下来。不论是套上或脱下都不容易，要经过几百道手续，还得遵循一定的规律，用数学的行话来说，就是有一套“算法”。

先介绍两种基本动作。如果要把环套到钗上去，先要把环从下向上，通过钗心套在钗头上，这一个动作除了第一环随时可做外，其余的环因为有别的环扣住，都无法套上。但有一点要注意，如果前面有一个邻接的环已经套在钗上，而所有其他前面的环都不在钗上时，那么，只要把这一个在钗上的环暂时移到钗头前面，让出钗头，后一环就可以套上去，再把前一个恢复原位。

至于环从钗上脱下的基本动作，只要把上面的“上环”动作倒过来做就行了。

懂了这两种基本动作之后，我们还要多加练习，要做到不论套上或脱下都能运用自如。现在可以看出，如果只要套上第一环，只须一步手续就行了。要套上第一、二两环，可先上第一环，再上第二环，因此，一共需要二步。如果要上三个环呢。手续就更麻烦了。必须先上好第一和第二两个环，还得脱下第一环，才能套上第三环，最后再上第一环，这样，一共需要五步。（为了统一起见，每移动一个环算作一步。）当环数更多时，手续必然更繁，如果一旦弄错，就会乱了套。幸而我国古代的研究家们早就考虑到了，他们根据古算的特色，创造了三句口诀：“一二一三一二一，钗头双连下第二，独环在钗上后环。”（最后五步是一二一三一；脱环时最先五步是一三一二一。）

换句话说，移动的手续是，每八步可作为一个单元，其中的前七步一定是“一二一三一二一”，至于到底应“上”应“下”呢，这可依自然趋势而定。即：原来不在钗上的应“上”，原来在钗上的应“下”。至于第八步则要看那时钗头的情况而定：如果有两环相连时，一定要脱下后一环；如果钗头只有单独的一环时，一定要套上后一环。以上就是口诀的意思，“算法”的全部奥妙就都在这里了。根据这三句口诀，解开或套上九个环，虽然有341步之多，也不费吹灰之力了。据我国古代小说记载，民间老艺人把九连环全部解开来，大约只要五分钟左右。

1975年，在国外出版了一本专书，专门讲各式各样的数列。由于电子计算机的飞速发展，数学里有一种“离散化”倾向，因此，这本书的出版，被认为是前所未有的，得到了各方面的好评。在这本书里，也收罗着下面的数列：

1、2、5、10、21、42、85、170、341……

起先大家都莫名其妙，不知道它是干什么用的，因为它既非等差数列，又非等比数列，也不是一些有名的数列。但是，后来一经指点就恍然大悟了，原来它就是“九连环”数列。第一项的1，表明解开一个环只要一步，第二项的2，表明解开二个环需要二步……等等以此类推。由此可见，解开九个环，一共需要三百四十一步。

数列里头的各个数，到底有什么规律？是否非得死记不可？经过专家一研究、一分析，谜底终于揭穿了。原来，如果我们用u_n代表上述数列中的第n项，那么，就可以得出下面的公式：

当n是偶数时，u_n＝2u_n－1。

（例如，解开八个环需要的步数170，正好是解开七个环需要的步数85的二倍。）

当n是奇数时，u_n＝2u_n－1＋1。

（例如，解开九个环需要的步数341，等于解开八个环需要的步数170的二倍再加上1。）

这样一来，我们有了u₁，就能推出u₂，有了u₂，就能推出u₃……正象顺藤摸瓜，这种方法就叫“递归”，是数学里一个非常重要的概念。

上面的方法虽然好，有人却仍旧感到美中不足。他们问，如果要解开几个环，到底需要几步？有没有一个直接的计算公式呢？用数学的行话来说，就是要求出一个用n来表示u_n的函数关系。经过前人的研究，这个式子也是有的，即：

于是，九连环的问题就圆满解决了。