描写质点运动速度变化的快慢和方向

为了描述质点运动速度的变化，引入加速度的概念，加速度的定义方法与速度类似，先定义平均量，再用极限方法定义瞬时量．

图1.4　曲线运动的加速度

如图1.4所示，质点的运动轨迹为一曲线，时刻t，质点位于A点，速度为v1，时刻t＋Δt，质点位于B点，速度为v2，在t到t＋Δt时间内，质点的速度增量为Δv＝v2－v1，Δv与Δt的比值称为Δt时间内质点的平均加速度，用a表示，即

平均加速度是矢量，其方向与速度增量Δv的方向相同，它表示质点在时间Δt内速度随时间的平均变化率．

为精确描述质点速度的变化情况，引入瞬时加速度的概念．将时间Δt减小，当Δt→0时，平均加速度的极限就是瞬时加速度，简称加速度，用a表示，即

由式（1.6），加速度可表示为

即加速度等于速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数．

将式（1.7）代入式（1.10），得加速度的分量表示式

上式表明，质点的加速度a是沿三个坐标轴方向的各分加速度的矢量和．加速度沿三个坐标轴方向的分量ax、ay、az分别为

分量和加速度大小的关系是

加速度是矢量，其方向就是Δt→0时平均加速度的极限方向，即Δv的极限方向．质点作曲线运动时，加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面，与同一时刻速度的方向一般是不同的．加速度的大小为，一般情况下，．

例1.1　已知一质点的运动方程为：，式中a、b均为正常数．

（1）求质点的速度和加速度；

（2）证明质点的运动轨迹为一椭圆；

（3）求质点在0到0.25s内的平均速度．

解

（2）由运动方程的矢量式，它在直角坐标系中的分量式为

由此得

两式两边平方然后求和得

这就是轨迹方程，为一正椭圆．

（3）平均速度　　

其中

质点的平均速度为　

其大小

方向　　（见图1.5）

图1.5　例1.1图

本题说明已知运动方程，如何用微分法求质点的速度和加速度．

例1.2　设质点沿x轴作匀变速直线运动，加速度为a，初速度为v0，初位置x0，试用积分法求出质点的速度和运动方程．

解　因为质点作直线运动，，有

对上式两边积分

即得

由速度定义，有

对上式两边积分

以上结果就是中学学过的匀变速直线运动的基本公式．

本题说明已知加速度和初始条件时，如何用积分法求质点的速度和运动方程．