第十一章看见过天才欧拉

天才欧拉_我想知道的西方科

第十一章　天才欧拉

凡略通数学史的人对欧拉的名字都不会陌生，在西方数学史的天空中，他是最亮的星辰之一，能够与他争辉的只有阿基米德、牛顿、高斯等有限几人而已。

欧拉生活于18世纪，后面要讲的高斯生活于19世纪，某种程度上而言，这两个伟大的天才式人物代表了这两个世纪的数学：欧拉代表18世纪、高斯代表19世纪。

—生于瑞士—

欧拉是瑞士人。瑞士虽然是个人口不过几百万的小国，但对西方科学的发展作出的贡献可不小。欧拉1707年出生于瑞士的巴塞尔，他的父亲名叫保罗·欧拉，是一个牧师，母亲名叫玛格丽特·布律克。欧拉出世的第二年，父亲就带他搬到了另一个地方，在那里做起了牧师。不过，保罗·欧拉并非是一个只读《圣经》的普通牧师，他博览群书，尤精于数学，曾经是杰出的数学家家族伯努力家族之一的雅各布·伯努力的学生。

瑞士的伯努力家族乃是数学史上最有名的数学家家族，就像赫歇尔家族之于天文学、巴赫家族之于音乐一样。

欧拉自幼显示了相当高的才能以及对大自然的好奇心。7岁那年，父亲将他送到了巴塞尔的神学学校学习，准备要他将来像父亲一样当个好牧师。可小欧拉却对天上的星星充满了好奇心，对这些美丽的星星是否是由神创立感到怀疑。这使得他看上去像一个天生的异端，根本不适合当牧师，学校便将他赶了出去。

回到家后，父亲感叹了一番，并没有责怪儿子。在日常生活之中，他很快发现儿子具有惊人的数学天赋，不过他依旧希望儿子能够继承自己的衣钵。因此，在欧拉13岁时，又将他送到了他自己曾经就读的巴塞尔大学学习神学。

这时的巴塞尔大学是欧洲最好的大学之一，以神学与数学研究驰誉全欧，伟大的伯努力家族的数学家们都在这里执教。欧拉到这里后，他的数学才能很快就被有着伯乐般眼光的约翰·伯努力发现了。

欧拉这时还在读神学，并没有太多的时间去听伯努力的数学课，爱才的导师便特别允许欧拉每星期单独找他一次，给他以特别的指导，就像欧拉后来在回忆中所言：

如果我遇到什么阻碍或困难，他还允许我每星期六午后自由地去找他且亲切地为我解释一切难题。这样，使得每当他为我解决了一个难题，其他十个难题也就迎刃而解了，这是我在数学上获得成功的最好办法。

每次，欧拉去上课前，总是先尽量做好准备，以使自己的问题尽可能地简明扼要，并且能够启迪自己后面的学习。

在伯努力的指导之下，欧拉在数学研究上很快崭露头角，取得了出色的成绩。鉴于这些显而易见的理由，欧拉的父亲让步了，儿子注定不是欧拉牧师，他应当成为数学家欧拉。不过，在大学所受的神学教育也并非没有意义，这使他终身都是一个虔诚的加尔文教派信徒，据说晚年还曾在一些特殊的场合布过道呢。

1726年，19岁的欧拉第一次取得了独立的成果。这一年，法国的巴黎科学院将如何在船上装桅杆的问题作为次年的“有奖征答”专题。可能只在瑞士的小湖上看见过几艘小帆船的欧拉写了一篇《论船舶桅杆配置的问题》。论文递交巴黎科学院后，得到了好评，遗憾的是并未得奖。不过后来欧拉赢得了多达12次的奖金，弥补了这一次的失利。

次年，即1727年，欧拉大学毕业了。一开始他想在巴塞尔大学谋个教职，据说是做物理教研室主任，它刚好有一个空缺。凭欧拉现有的资历显然不够，他没有成功。这时候，从俄罗斯首都圣彼得堡发来了邀请。原来，约翰·伯努力的两个儿子这时候都在俄罗斯的圣彼得堡科学院，他们听说凭欧拉的天才还没有谋到职位，深感惊讶，立即向他发来了邀请，说圣彼得堡科学院向他提供一个医学职位。

怎么办呢？欧拉这时显示了他那惊人全面的天赋。他立即投入了医学研究，在巴塞尔大学听各种医学和生理学讲座。他在听这些讲座时，还是努力将它们与数学联系起来。例如他听生理学讲座时，讲到声音与耳朵的关系，于是想到了怎样用数学的方法来研究声音的传播规律等。他听这些讲座花的时间并不多，因为不久之后，正式的邀请函就来了，欧拉便动身前往遥远的俄罗斯。

—生活在俄国—

欧拉大约是在这年五月到达俄罗斯的。他一到就遇到了大大的不顺。原来，就在这一天，叶卡捷林娜一世去世了。

她去世之后，继位的沙皇彼得二世年幼，朝政一度陷入混乱。那些实际统治俄罗斯的贵族们远没有彼得大帝的眼光，而将科学院看作是可有可无的装饰品，不但无人理睬，甚至有人要将它废掉，把原来好不容易请过来的外国科学家统统赶走。这就是欧拉到达圣彼得堡时的情形。

在圣彼得堡，欧拉发现无人理睬他，他原来要去的科学院医学部根本没人管他。身在异国，这样的处境给他的焦虑可想而知。在绝望之中，他甚至要放弃数学研究，到同意接受他的海军去当一名上尉。这时候还是伯努力家族帮了忙，他们将欧拉弄进了数学部。

起初，他当了丹尼尔·伯努力的助手，4年之后成为正式的副教授。又过了3年，当丹尼尔不想待在阴冷沉闷且到处充满宫廷斗争的圣彼得堡时，他回美丽的瑞士去了。他的位置便留给了欧拉。欧拉便成了数学教授，并且是圣彼得堡科学院数学研究部的领导者，这年他只有26岁。

得到这个好位置后，心满意足的欧拉决定一辈子都待在这个美妙的地方。他用讨老婆来表明自己的决心。他的妻子名叫凯瑟丽娜，是当年彼得大帝从外国带回来的一个画家的女儿。她是一个身强体壮的姑娘，这时候的欧拉也正当盛年。两人结婚之后，便生下了大量儿女，总共多达13个，其中5个活了下来。

这样的大家庭对欧拉写作的影响可想而知，于是便产生了许多有关欧拉写作的趣闻轶事。例如，他虽然子女成群，但一点儿也不觉得多，每多一个他都十分高兴。家里经常有这样的情形：欧拉左手抱着一个刚出生不久的孩子，右手里的鹅毛笔不停地挪动着，而在他的周围，孩子们在不停地嬉戏，发出阵阵欢快的笑声。欧拉的一篇篇论文就在这震天响的笑声里诞生了。

更令人吃惊的是，这些在一般人看来挺烦人的事儿丝毫没有干扰欧拉，他的写作速度依旧惊人，远过于那些在安静的环境里工作的数学家们。有一个说法是，用餐时分，仆人第一次来叫欧拉用餐时，他答道“就来了”，但没有动身，因为他心中有了一个构思，他想把它写成论文。他立即动笔，过了半个来小时，他老婆看到他还没有出来，便亲自跑到书房里去，想把老公揪出来，她进去时，看到欧拉已经面带微笑起身了，在他旁边那堆论文上又多了一篇。

欧拉旁边确实是“一堆”论文。据说，在欧拉的写字台旁边总放着一堆论文，那是他日夜不停地写作的结果。每次，当科学院什么刊物需要论文时，印刷工就来找欧拉，随便从那堆论文上取下一篇。当然往往是最上面的一篇，因为这样最方便。于是，在欧拉发表的无数论文中就出现了这样的怪现象：写作时间越是靠后的论文，反而越早发表，因为它们被自然而然地搁在那堆论文的最上面。同样，写作时间越早的论文就反而最晚发表了。又因为欧拉经常过一段时间后又再一次研究前面发表过论文的专题，再发表论文。于是出现了这样混乱的情况：对同一个专题的研究，先进行的研究论文发表在后面，在这个基础上进行的后续研究论文发表在前面。可以说，从来没有一个伟大数学家像欧拉那样混乱地发表其成果。再想到欧拉的成果是那样的多——他被认为是历史上最多产的伟大数学家，那混乱的程度更可想而知了。

在这段时期里，欧拉所做的工作之多是惊人的。就数学而言，他的研究几乎涉及数学的每个分支，主要是微积分，欧拉对它的发展贡献巨大。此外，在三角函数与对数函数上他也取得了重要成就。

除数学而外，欧拉在其他方面也做了许多事，可以说，他几乎成了俄罗斯的科学总顾问。他为俄罗斯的学校编写了数学教科书，这套书编写得十分成功，是西方历史上最棒的数学教材之一。他还是俄罗斯地质研究部门的领导者之一，曾帮助俄罗斯政府改革了度量衡与税制。他几乎成了无所不知、无所不晓的“科学之神”。

在圣彼得堡，欧拉埋头研究，决不参与当时盛行的种种政治阴谋。不过，这种玩命的精神也给他带来了一次灾难。那是1738年的事。

这年，又是巴黎科学院，提出了一个关于天文学的数学问题作为征奖题目。这是一个十分有趣且富于挑战的题目，许多当时一流的数学家甚至包括我们后面要谈的另一个伟大天才高斯都花了许多时间来解决这个问题。欧拉得到这个题目后，只用三天就完全解决了。

不用说，这是夜以继日、废寝忘食的三天，在这三天里欧拉几乎不眠不休，结果，三天之后，当题目获得解决时，他自己的右眼也被“解决”了——完全失去了视力。据说主要是他壁炉里的柴火之烟熏烤的结果。

又过了几年，1740年左右时，继彼得二世登上帝位的安娜女王死了，俄罗斯历史上最血腥的时期之一过去了，在安娜女王统治的十年里，数以千计的俄罗斯人被她宠信的德意志人杀害了。

大约同时，远在普鲁士的腓特烈大帝向欧拉发出了邀请，礼聘他为柏林科学院院士。

对俄罗斯残酷的宫廷斗争已经深感厌倦的欧拉立即接受了邀请。

此时在科学界已经大名鼎鼎的欧拉要离去的消息传到了皇家耳朵里。当时，继安娜女王为沙皇的是她的侄孙伊凡五世，这时他还是一名襁褓中的婴儿，当政的是皇太后。她对欧拉很感兴趣，当然不想他离开，便召他来询问。

见到欧拉后，皇太后很客气地问长问短，但欧拉只是淡淡地回答是或者不是。

感到奇怪的皇太后便问：“您不愿意跟我说话吗？”

欧拉有点不客气地回答道：“夫人，我是从这样一个国家来的，在那里要是你多说话，就会把你吊死。”

欧拉这句话明里看是指那时的瑞士，在加尔文教派的严酷宗教统治下，乱说话的异端可能被处以死刑。但也指那时的俄罗斯，在充满尔虞我诈的宫廷里，一个人完全可能因为说错一句话而招来杀身之祸。

不久，欧拉离开生活了13年、在这里经历了最初的辉煌的俄罗斯，来到了普鲁士的首都柏林。

—在柏林—

他到达柏林的时间是1741年，此后的大约25年里，即从1741年直到1766年，他都生活在这里。

在柏林，他一如既往地辛勤工作，获得了大量成果，对数学的三大分支：代数学、几何学与分析学，都有里程碑式的贡献。在代数学上，他引进了虚数的概念，即i²＝－1。又通过他引进的欧拉公式，即e^iθ＝cosθ＋isinθ，他将三角函数与复数联系起来，并且发现了复数的虚对数，又指出每个复数都有无数个对数值。在几何学里，他对近代解析几何学与三角几何学的贡献之大可与欧几里得对经典几何学的贡献相比美。不过，他作出最大贡献的还是分析学。

这里的分析学指的主要是微积分。可以说，我们今天所看到的微积分之所以具有如此形态，在很大程度上要归功于欧拉。

欧拉对微积分所作出的贡献主要有五个方面：一是澄清了函数的概念，找到并分析了多种新函数；二是建立了多元函数的微积分；三是发展了各种函数的积分法；四是专门研究了无穷级数这个微积分中最重要的内容之一且取得了丰硕成果；五是使微积分在整体上成为一门更为严格的数学分支。

欧拉关于微积分的著作有许多，主要有五本，分别是《力学与运动学的分析》、《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》、《无穷小分析引论》、《微分学原理》与《积分学原理》。第一本发表于1736年，那时他还在俄罗斯，最后一本则是后面我们要讲的他再次回到俄罗斯后所著，中间三本都是他在柏林时出版的著作。

这五本著作都是微积分领域内的经典之作，特别是后两本，直到今天都是微积分教科书的最佳范本。

除了这些外，欧拉对数学的贡献还有许多，例如许多现在我们所熟悉的数学符号，像∑（求和符号）、π（圆周率）、f（表示函数）、i（虚数）、e（自然对数的底）等，都是欧拉引进的。

虽然在数学上贡献巨大，但欧拉在柏林的日子并不快乐，主要是因为那个腓特烈大帝。他虽然知道数学对他的国家是重要的——制造性能良好的大炮、修桥铺路、收税等都需要它，但他本人并不喜欢数学，也就难做到喜欢数学家了。他喜欢的是德国人一向最擅长的形而上学的思辩，而这恰恰是欧拉最不擅长的。此外，作为一个典型的两耳不闻窗外事、一心只搞科学研究的学者，欧拉当然不会溜王上的须、拍王上的马。这些加起来，叫他如何能够在宫廷里混得开呢！

据说，腓特烈大帝周围那些廷臣们，包括那帮玄学家，经常在欧拉面前进行他们的形而上学辩论，由于欧拉对这些东西一窍不通，就成了他们取笑的对象。而欧拉呢，他这时作为科学院的领导者之一，不得不经常去宫廷，同这些人待在一起，经常忍受着那帮玄学家们的取笑：因为可怜的欧拉竟然不懂得哲学！而且还是个独眼龙。光这两个特征就够给尖嘴哲学家们提供无穷无尽的笑料了。欧拉是个脾气好得不得了的人，对这些取笑倒能坦然应对，甚至帮着他们取笑自己呢。

然而，腓特烈大帝对欧拉的好脾气不但不满意，反而渐渐感到厌倦，因为欧拉老是这样好脾气，老是这样对溜须拍马和形而上学一窍不通，于是他想换一个数学顾问了。

国王的这个意念对欧拉的影响可想而知：欧拉感到，他在宫廷里所受的待遇不再仅仅是好玩的取笑，而是冷漠了，即使他的宽容与好脾气也不能不知道待在这样的环境里不会有出路，也许更重要的，他热爱的孩子们也不会有出路。

正在这时，他接到了另一个有分量的邀请，邀请仍然来自遥远的俄罗斯，叶卡捷林娜女皇。

其实，在欧拉离开之后，俄罗斯人并没有生他的气，依旧十分尊重他，甚至薪俸也照付，两份都相当丰厚的薪俸使欧拉在柏林的日子过得十分滋润，称得上是富人。他在柏林有一套大宅子，在外面还有一个农场。1756年时，欧洲发生了“七年战争”，俄罗斯与奥地利站在一起与普鲁士作战。1760年，胜利的俄军直逼柏林，途中经过欧拉的农庄，农庄遭到了俄军士兵的抢劫。欧拉就这事向俄军将领申诉，久仰欧拉大名的俄罗斯将军立即表明他是与普鲁士人作战而“不是对科学作战”，给予欧拉的补偿远多于他的农庄实际遭受的损失。后来，当时在位的伊丽莎白女皇听说这事后，又给了他一笔更为丰厚的补偿，令欧拉因祸得福，发了一笔“战争财”。

这些都给欧拉留下了美好的印象，因此，当叶卡捷林娜女皇在1766年向他发出诚挚的邀请时，他立即接受，带了家小直奔圣彼得堡。

—重归俄罗斯—

叶卡捷林娜女皇对当时欧洲最伟大的数学家欧拉的到来十分高兴，这令她自命风雅的虚荣心大大地满足了一把。她像接待王族成员一样隆重接待欧拉，送给他一栋家具齐全、只要进去就能住的堂皇的大宅第，足够欧拉现在差不多有20个人的大家庭居住，甚至还派了自己的一个御厨去管欧拉的膳食。

欧拉经常去女皇的宫廷里，女皇总是亲切地与他交谈，有时甚至用这位当时最伟大的数学家向宾客们炫耀，好证明偏远的俄罗斯并非是欧洲文明的荒漠，而是欧洲科学的中心之一呢！最有趣的是有一次伟大的启蒙哲学家狄德罗应女皇之邀来访时发生的一件趣闻。

学过哲学史的人都知道，狄德罗是个唯物主义者，他来遥远的俄罗斯的目的之一是想让女皇和她的朝臣们皈依他的无神论，这当然是不可能的。女皇很烦他，便想了个办法来对付他。

这天，狄德罗又来了，女皇带着点神秘感告诉他，这里有一个出色的数学家用数学证明了上帝的存在，并且愿意当着他的面来证明。狄德罗一听大感兴趣。于是欧拉被请进来了。欧拉径直朝狄德罗走去，用一种非常肯定的语气一本正经地说：

“尊敬的先生，，因此上帝存在。回答完毕！”

狄德罗被这个证明弄得稀里糊涂，一时不知如何回答，女皇和朝臣们看着手足无措的哲学家，顿时大笑起来。这笑声里的羞辱之意傻瓜也听得出来。狄德罗一气之下立即要求回法国去，女皇当即高高兴兴地同意了。

也许您认为欧拉的一生应当就此太平了吧！不，事实上，回到圣彼得堡之后不久，命运又一次捉弄了他：他剩下的左眼的视力急剧下降，很快就完全失明了。

欧拉成了地地道道的瞎子。

对于一个天天要写作的数学家，目盲的可怕是显而易见的，这意味着他不可能再像往常一样拿起笔来写作。怎么办呢？面对残酷无情的命运，欧拉的家人、朋友们都极感遗憾与担忧：遗憾像欧拉这样一个伟大的天才不能再像往常一样将他的天才之光化作一篇篇高质量的论文，担忧欧拉经受不住这样的打击。

然而他们都错了，欧拉不但没有退缩，相反，他站了起来，而且站得更高。

还在双目完全失明以前，欧拉就想出了一个好办法，他找来一块很大的石板，用大字体将他发现的关键性的数学公式写在石板上。这样即使瞎眼也大致不会写错，别人也不会看错。然后叫他的某个儿子，主要是阿贝尔，抄下来，他再口述一些对这个公式的说明。一篇论文就这样出炉了。

这样的结果是：目盲非但没有降低欧拉的写作速度，反而提高了。

欧拉为什么能够这样“因祸得福”呢？这基于他的两大天赋：

一是他有惊人的记忆力。欧拉从小记忆力非凡，他能整部地背诵维吉尔的《埃涅阿斯纪》，这部西方古典文学名著我们在本丛书的文学卷中会讲到，它长达12卷，共约12000行，讲特洛伊王子埃涅阿斯在特洛伊城失陷之后逃出来，在海上流亡冒险的事。这么厚的一本书，虽然欧拉只在少年时看过，但他到了老年时还能够背诵。

欧拉不但有惊人的视觉记忆力，看了东西就能记住，他的听觉记忆力同样厉害。也就是说，他听了一句什么话或者一个什么公式之后，就能像看过一样牢牢记住。

总而言之，他不但过目不忘，而且过耳不忘。用这种本领，他将他那个时代已经产生的几乎所有数学成果牢牢地钉在了脑海里。

二是他有惊人的心算本领。对于各类需要计算的数学问题，哪怕是十分繁难的数学公式，例如微积分与高等代数那些明眼人都怕的复杂无比的运算，欧拉却能够凭心算算出来。

有一件轶事是关于欧拉心算能力。据说，有一次欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的和计算到第17项，只是在结果的第50位上有一个数不一致。为了确定到底谁对，欧拉心算了所有运算，结果只有他的答案是对的。

由于具有这两样惊人的天赋，瞎眼对欧拉的数学创造几乎毫无影响。就像耳聋对于贝多芬的音乐创作没多少影响一样，这不能不说是人类智慧史上的两大奇迹呢！

回到圣彼得堡5年后，1771年，命运之神又一次向欧拉伸出了狞笑的双手，在他的住宅里降下了大火。这次火灾的损失是可怕的，欧拉辛辛苦苦挣来的家产全部化为灰烬。当大火发生时，他正害着病，又是个瞎子，是他那勇敢的瑞士仆人彼得·格里姆冒着生命危险将他从火海里抱出来的。他原来足以构成一个图书馆的大量藏书也消失在火海里了。所幸的是他的大部分手稿都在一个叫奥尔少夫伯爵的人的帮助下被抢救了出来。

不过，所谓吉人自有天相，这次火灾并没给欧拉带来实际损失，他的创作也没有受到太大的影响。欧拉之所以能如此幸运有三个原因：一是他自己和家人都平安无恙；二是手稿被抢救出来；三是听到这个不幸消息的叶卡捷林娜女皇立即补偿了欧拉全部的财产损失，甚至更多。于是，不久之后，欧拉又继续在新房子里工作了。

又过了5年，这时欧拉已经快70岁了，这一年，与他相濡以沫40余年的妻子先他而去。这对欧拉的打击并不太大，他是一个笃信上帝的人，知道生死无常，皆由命定。他善良的妻子一定会登上天国，享受永恒的福祉。

第二年，即1777年，欧拉又一次结了婚，新妻子是前妻的同父异母姊妹。

虽然已近晚年，生命之烛已经燃烧了太半，但欧拉一点也不悲观，他仍然对未来充满渴望，甚至对自己的眼睛也没有绝望。当他听说动手术能够让他的左眼恢复视力时，他高兴极了，立即去动了手术。当他听说手术成功，更是高兴得无以复加。然而命运又一次捉弄了他，手术后不久，刀口感染了，他的希望之光顿时堕入了无边的黑暗之中。

然而欧拉是永远不会绝望的，他又快快乐乐地在黑暗里工作了。

直至生命的最后一刻，他都在进行创造性的工作。

欧拉是这样去世的：1783年9月18日下午，像往常一样，他在大石板上进行数学计算，这次是计算气球上升的规律。然后同家人一起用了晚餐。晚餐后，他又开始工作了。我们知道，2年前赫歇尔发现了天王星，欧拉对于它的运行轨道很感兴趣，他开始口述对它的轨道的计算。过了一会，大概是感到累了，他停下来，让人将他心爱的孙儿带过来，享起了含饴弄孙的天伦之乐，口里还叼着烟斗。

也许是玩得太高兴了的缘故吧，突然，欧拉全身抖起来，烟斗从手里掉了下去，他最后一句话是：

“我死了。”

欧拉就此终止了他的生命与计算，享年76岁。

—最多产的数学天才—

欧拉去世了，我们还要再来谈几句他对数学的贡献。

欧拉常常被称为是数学史上最多产的天才式人物，他的成果之多常令人感到不可思议，可以说，近代数学的几乎每个分支里都能看到他的影子，有用他的名字命名的定理、公式等。有些我们在前面已经提过一些了，现在再提一些。

欧拉对现代数学的发展居功至伟，许多现代数学的分支，特别是现代数学中的主体之一拓扑学，其始祖便是欧拉。如著名的“七桥问题”，即一个人能否一次通过伟大的哲学家康德的故乡哥尼斯堡一条河上的七座桥而不走重复路线。各桥形式如右：

这里的B、A是河中两个小岛。

这个问题其实也可以归结为您可能曾经感兴趣的一个问题，即一笔能否画出某个图形，如“＋”，而不重复其中任何一笔？欧拉对这一问题的研究成为以后组合拓扑学研究的先声。

更有意思的是著名的“欧拉多面体公式”，即无论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数e、面数f之间总有v－e＋f＝2这一关系。由这一关系我们可以证明正多面体只有五种，即正四、八、二十、六、十二多面体。

还有，欧拉也发现了一个特别之处：如果多面体不是凸的而是中间有个洞，即形如，那么无论外面那个框框的形状如何，总有v－e＋f＝0这一公式存在。

从上面的图形我们可以看出什么来呢？就是上面的几个凸多面体，它们可以进行相互的连续的变形，中间不需要割断，但却不能变形成下面的有洞的多面体，这正是现代数学的主要分支之一拓扑学研究的基本问题。欧拉提出的这个问题，即在连续的变形下封闭的曲面有多少种不同类型？怎样才能鉴别它们？这就是现代拓扑学研究的出发点。

以上这些贡献诚然是了不起的，不过欧拉对数学更大的贡献也许在于通过他的努力，使那时还是杂乱无章且极为繁复的数学知识大杂烩变成了井然有序的体系。他像一个最高明的修剪工一样，用他那独特的分析方法将那时的数学体系来了一个大修剪，去伪存真、去芜存精，并将真且精的东西井井有条地排列起来，使之成为相当完整而美观的形态。直到今天，我们在中学乃至大学学习的数学内容大体上仍是欧拉留下来的样子。