看不见的维

爱因斯坦通过狭义相对论和广义相对论，解决了他过去百年的两大科学冲突。尽管从激发他研究的原始问题看不出后来的结果，但两个问题的解决完全改变了我们对空间和时间的认识。弦理论解决了一百年来的另一个科学冲突，解决的方式很可能连爱因斯坦都觉得惊奇，它要我们的空间和时间的概念经历一个更剧烈的变革。弦理论彻底动摇现代物理学的基础，甚至宇宙的维数——那个我们认为不是问题的基数，也正发生着戏剧性的而且令人信服的改变。

经验产生直觉。但经验的作用不止于此：它还为我们分析和解释我们感觉的事物树立一个框架。例如，你一定相信，一群狼养大的“野孩子”会根据与你全然不同的观点来解释世界。即使不那么极端的例子，拿在不同文化传统里成长起来的人来比较，我们也能看到，经验在很大程度上决定了我们认识世界的思想倾向。

当然，有些事情是我们都共同经历过的。往往就是来自这些共同经历的信念和希望，我们最难说得明白，也最难向它们挑战。我们来看一个简单却深刻的例子。假如你放下这本书，站起来，你可以在3个独立的方向——也就是3个独立的空间维——运动。当然，你走任何一条路径，不论多么复杂，都是在3个不同方向的运动的组合——我们一般称那些方向为“左右”、“前后”和“上下”。你每迈出一步，都在做一种选择，决定你如何穿过那3个维度。

还有一种等价的说法，我们在讨论狭义相对论时见过，那就是，宇宙间的任何一个位置都可以用3个数来完全确定：3个数相应于3个空间维。例如，用寻常的话说，城里的某个地址可以用街道（“左右”位置）、路口（“前后”位置）和楼层（“上下”位置）来确定。从更现代的观点说，我们已经看到，爱因斯坦的理论鼓励我们把时间看做另一个维（“过去-未来”维），这样，我们一共有了四维（3个空间维和1个时间维）。为确定宇宙的一个事件，我们应该说它发生在什么时候、什么地方。

宇宙的这个特征是基本的、一贯的，也是普遍存在的，而且似乎根本成不了什么问题。然而，在1919年，一个无名的波兰数学家，来自柯尼斯堡大学的卡鲁扎（Theodor Kaluza）却敢向显然的事实挑战——他提出，宇宙也许不只有3个空间维，而是有更多。有时候，听起来傻乎乎的话本就是傻话，但也有时候，傻话却动摇了物理学的基础。当然，很久以后我们才会认识到，卡鲁扎的建议变革了我们物理学定律的体系。我们至今还为他的远见感到震惊。

宇宙空间不是三维的，可能还有更多维，这话听起来很荒唐，很奇怪，还有点儿神秘。不过，实际看来，那是很具体实在的，也是完全合理的。为看清这一点，我们暂时把目光从浩瀚的宇宙转向我们更熟悉的花园，看一根细长的浇水管。

想象一根几百英尺长的水管横过一道峡谷，从几百米外看，就像图8.1（a）的样子。在这么远的距离上，你很容易看到水管是一根长长的展开的线，如果没有特别好的视力，你很难判断它有多粗。从远处看，如果一只蚂蚁在水管上，你想它只能在一个方向，即顺着水管方向爬行。谁问你某一时刻蚂蚁的位置，你只需要告诉他一个数：蚂蚁离水管左端（或右端）的距离。这个例子的要点是，从几百米以外看，长长的一根水管就像是一维的东西。

实际上我们知道水管是有粗细的。从几百米以外你可能不容易看清，但拿一只双筒望远镜，你可以看得很真切，原来水管是图8.1（b）的样子。在望远镜的镜头里，你还看到有只蚂蚁爬在管子上，能朝两个方向爬行。它可以顺着管子，左右爬行，这一点我们已经知道了；它还可以绕着管子，沿顺时针或反时针方向爬行。现在你明白，为确定某一时刻小蚂蚁在哪儿，你必须告诉两个数：它在管子的什么长度以及它在管圈的什么地方。这说明水管的表面是二维的。1

图8.1　（a）从远处看，花园的浇水管就像是一维的。（b）走近来看，水管的第二维就显现出来了——管壁上环绕管道的那一维。

不过，那两维却有很明显的不同。沿着管子伸展方向的一维很长，容易看到，绕着管子的那一圈很短，“卷缩起来了”，不容易发现。为看清圆圈的那一维，你得用更高的精度来看这根管子。

这个例子强调了空间维的一点微妙而重要的特征：空间维有两种。它可能很大，延伸远，能直接显露出来；它也可能很小，卷缩了，很难看出来。当然，在这个例子里你用不着费多大力气就能把“卷缩起来的”绕管子的小圆圈儿揭露出来，那只需要一副望远镜就行了。不过，假如管子很细——像一根头发丝儿或毛细管——要看清那卷缩的维就不那么容易了。

卡鲁扎在1919年给爱因斯坦的信中，提出一个惊人的建议。他指出，宇宙的空间结构可能不只有我们寻常感觉的三维。我们马上就会讨论他提出这一激进问题的动力。原来，他发现这可以提供一个美妙动人的框架，把爱因斯坦的广义相对论和麦克斯韦的电磁理论编织进单独一个统一的概念体系。但更直接的问题却是，这个建议如何能与我们只看到三个空间维这一显然的事实相协调呢？

问题的答案隐含在卡鲁扎的理论中；后来，在1926年，瑞典数学家克莱茵（Oskar Klein）把它说得更具体和明确，那就是：我们宇宙的空间结构既有延展的维，也有卷缩的维。就是说，我们的宇宙有像水管在水平方向延伸的、大的、容易看到的维——我们寻常经历的三维；也有像水管在横向上的圆圈那样的卷缩的维——这些多余的维紧紧卷缩在一个微小的空间，即使用我们最精密的实验仪器也远不能探测它们。

为了更清楚地认识这个不同寻常的图像，我们再来看看花园里的浇水管。我们这回绕着管子密密地画满圆圈。同以前一样，从远处看，管子是一根长长的一维的细线。但是，如果拿望远镜来看，很容易看到卷缩的那一维，画了圆圈就看得更清楚了，如图8.2。这幅图说明水管的表面是二维的，1个大的延伸的维和1个小的卷缩的维。卡鲁扎和克莱茵认为，我们的宇宙空间也像这样，不过它有3个大的延伸的维，1个小的卷缩的维——一共是四维。那么多维的东西不好画，为了看得清楚，我们只好将就看两个大维和一个小维的图。图8.3是一个示意图，我们在图中把空间结构放大了，就像用望远镜看水管那样。

图中最下面的一级表现了我们熟悉的周围世界的寻常距离尺度（如若干米）的空间结构，这些距离用大网格表示。接下来，我们关注越来越小的区域，把它放大来看。先看小一点儿的距离尺度下的空间结构，没有什么异常发生；它似乎与原来尺度的结构一样——经过三级放大，我们看到的情景都是这样。不过，当我们在最微观的水平——图8.3的第四级——看空间时，一个新的卷缩的维度出现了，像精心织成的地毯上一个个毛茸茸的小线圈儿。卡鲁扎和克莱茵认为，这些小圈存在于延伸维的每一点，就像水平延伸的水管上处处绕着横向的圆圈。（为看得清楚，我们只在延展的方向上按一定间隔画了些圆圈的维。）在图8.4里，我们画了一个特写镜头来表现卡鲁扎和克莱茵眼中的空间的微观结构。

图8.2　花园里浇水的管子是二维的：水平方向的一维由直线箭头表示，是延伸的；横向的一维（圆圈表示）是卷缩的。

图8.3　类似于图5.1。上一层是下一层表现的空间结构的放大。我们的宇宙可能有额外的维度——如在第四层看到的——不过它们卷缩在很小的空间里，还没有直接表现出来。

图8.4　网线代表寻常经历的延展维，圆圈代表新的微小的卷缩维。这些圆圈像地毯上的绒毛线圈儿一样，存在于延展方向的每一点——为清楚起见，我们只是把它们画在网格的交点处。

宇宙空间与花园的浇水管子虽然大不相同，但也表现出相似的地方。宇宙有3个大的延展的空间维（我们实际只画了两个），而水管只有一个；更重要的是，我们现在描绘的是宇宙自身的空间结构，不是水管那样存在其间的东西。但是，基本思想是一样的：假如宇宙另一个卷缩的维也像水管的细圆圈儿那样很小，它就会比那些显然的延伸的维难测得多。实际上，如果它太小了，我们用最大的放大器也看不到。另外，最重要的是，这些卷缩的维并不像图上画的那样（你也可能会那么想）是长在延伸方向上的一圈圈“肉瘤”，而是一个新的维度，存在于我们熟悉的空间维的每一点，正如空间每一点都有上下、左右、前后方向一样。这是一个新的独立的方向，蚂蚁（如果足够小的话）可以朝这个方向爬行。为了确定那样一只微观蚂蚁的空间位置，我们不仅需要告诉它在延伸的什么方向（由网格表示），还要告诉在圆圈的什么地方。一个空间位置需要4个数；如果加上时间，我们就得到一条5个数表达的时空信息——比我们平常想的多1个。

这样，我们看到一个令人惊讶的事实：虽然我们知道宇宙只有3个延展的空间维，但卡鲁扎和克莱茵的论证却说明，那并不排除还存在别的卷缩维（至少，如果那些维很小，就是可能的）。宇宙很可能有我们看不见的维。

那些看不见的维多小才算“小”呢？我们最先进的仪器能探测小到百亿亿分之一米的结构。如果那些维卷缩得比这个尺度还小，我们就看不见了。1926年，克莱茵结合了卡鲁扎的原始想法和新出现的量子力学思想。他计算的结果表明，卷缩的维可能小到普朗克长度，是实验远远不可能达到的。从此以后，物理学家把这种可能存在额外小空间维的思想称为卡鲁扎-克莱茵理论。2

现实的花园浇水管的例子和图8.3的示意，让我们多少能感觉宇宙也可能有更多的空间维。但是，即使这个领域里的研究者，也很难具体“看见”三维以上的宇宙空间。因为这一点，物理学家常常像阿伯特（Edwin Abbott）在1884年的那本迷人的经典流行作品《平直的世界》里描写的那样，[43]想象我们生活在一个维数较低的宇宙，然后逐渐认识宇宙还有我们不能直接感知的更多的维——通过这些想象，我们也养成了对多余维的直觉。现在，我们想象一个二维的宇宙，形状像那花园的浇水管。为此，我们必须抛开“旁观者”的念头，我们不像以前那样“从外面”看宇宙里的一根水管；我们必须忘记原来的世界是什么样的，而走进一个新的管状的宇宙——一根长长的（可以认为无限长）水管的表面就是这个宇宙空间的全部。现在，我们是生活在这个面上的小蚂蚁。

先来看一个有点儿极端的情形。设想管子宇宙很细，细得没有哪个管子上的居民能感觉它的存在。这样，我们生在这个管子宇宙的人们当然相信这样一个基本事实：宇宙空间是一维的。（如果管子世界生出一个小爱因斯坦，他会告诉我们宇宙有一个空间维和一个时间维。）这个事实如此明显，看来不会有什么问题，于是，我们说自己的家园是“直线国”，就是为了强调它只有一个空间维。

直线国里的生命跟我们所了解的生命大不一样。例如，我们熟悉的身体就不可能适合生活在直线国里。不论你的身体怎么改变，它总是有长度、宽度和厚度——三维的空间延展，这是不可能克服的。直线国没有为这样精美的生命形态留下生存的空间。请记住，虽然在你头脑中直线国可能仍然是存在于我们宇宙空间的一根长长的丝线一样的东西，但是你得把它作为一个宇宙——它就是全部。生活在这样一个家园，你就得适应它那一个空间维。好好想想，即使你像一只蚂蚁，也不能走进它；你必须先变成一条虫子，然后拉得长长的，直到完全失去粗细的感觉。为了生活在直线国，你必须那样，只有长度。

你身体两端各有一只眼睛——那可不像你做人时的眼睛，能在三维空间里向四面张望；直线形生命的眼睛是永远固定的，每一只都盯着前面一维的距离。这并不是你的眼睛长得有问题，你和国中所有的人都知道，那是因为直线国只有一个维，你们的眼睛没有别的方向可以看。直线国的方向只能向前或者向后。

我们还可以进一步想象一些直线国里的事情，但很快会发现那没有多大意义。例如，在你身旁有另一个线形生命，将出现下面的情景：你能看到她的一只眼睛——朝着你的那一只——但不像人眼，而只是一个点。直线上的眼睛没有形状，也没有表情——因为没有它表现那些我们熟悉的特征的余地。而且，你将永远盯着邻居那点一般的眼睛。如果你想探索她身体另一边的直线世界，你会大为失望的。你不可能经过她，她把路“塞满了”，直线国里没有能绕过她的路。当生命在直线国排列起来，次序就固定不变了。多无聊的世界呀！

几千年过去了，直线国里生出一个叫卡鲁扎·克·莱茵（Kaluza K.Line）的，为压抑在直线上的人们带来一线希望。也许因为灵感，也许因为多年来看惯邻居的那“一点”眼睛而产生的幻想，总之，莱茵猜测，直线国可能不是一维的。据他的理论，直线国实际上是二维的，第二维是卷缩着的小圆圈，因为在空间延展太小，所以还没有直接发现过它。他接着描绘了一种新的生命——假如那个卷缩的空间方向能够展开，那么照他的伙伴莱茵斯坦（Linestein）最近的研究，这种生命至少是可能的。莱茵描绘的世界令你和你的同伴们很兴奋，人人都满怀着希望——直线上的人们可以通过第二维自由地往来，受一维奴役的日子一去不复返了。我们看到，莱茵描绘的是一类生活在“有粗细的”水管世界的生命。

实际上，假如卷缩的小圆圈会长大，直线国“胀”成管子世界，你的生活也将发生巨变。以你的身体来说，在线形状态下，两眼间的一切构成你的身体。于是，对你来说，眼睛也就是皮肤，它将体内与体外的世界分隔开。直线国里的医生只有穿过眼睛才能给人做手术。

现在我们来看“胀大”的直线国会发生什么事情。我们假设卡鲁扎·克·莱茵理论中直线国的那一个隐藏卷缩的维展开来了，人人都能看到它。这时，别的线形生命能从侧面看到你的内部，见图8.5。通过展开的这一维，医生可以直接在暴露的身体内部动手术。这太不可思议了！看来，这些生命将“及时”长出一层皮肤来把暴露的内脏遮起来。而且，他们当然会进化成既有长度也有宽度的生命：在二维管子世界里滑行的平坦生命，如图8.6。假如卷缩的维足够大，这个二维宇宙就会像阿伯特的平直世界——一个假想的二维世界，有阿伯特赋予它的丰富的文化遗产，还有更具讽刺意味的以生命的几何形态为基础的社会等级。

图8.5　直线世界膨胀为管子世界后，一个生命可以直接看到另一个生命的身体内部。

图8.6　生活在管子世界的平直二维生命。

在直线的世界里，我们很难想象能发生什么有趣的事情——因为没有足够的空间——在管子世界，好多事情都可能发生。从看得见的一个大空间维进化到两个大空间维，真是“换了人间”。

现在，我们要问一个老问题：到此为止了吗？二维宇宙本身也可能有卷缩的一维，从而也可能是三维的。我们可以用图8.4来说明这一点，不过应该明白，我们现在想象的宇宙只有两个空间维（而在引进图8.4时，我们是用平面网格来代表3个展开的维）。如果卷缩的一维张开了，二维生命就会发现他生活在一个崭新的世界里，他不再限于两个方向的前后、左右运动了，现在，他也能在第三个方向——在那个圆圈维“上下”运动。实际上，如果这一维能长大，那就是我们的三维宇宙。我们现在还不知道我们的3个空间维是否会永远向外延伸，也许其中一维会卷缩成一个大圆，一个超出我们最大望远镜的大圆。假如图8.4的圆圈能长大——长到几十亿光年——那将是我们宇宙的良好写照。

不过，问题又来了：这就到头了吗？这将我们带进卡鲁扎和克莱茵的图景：我们的三维宇宙空间原本还有一个谁也不曾想到的卷缩的第四维。假如这惊人的图景——甚至更多维的更惊人的图景（我们很快会来讨论）——是真的，而且那些卷缩的维都展开来，成为宏观的维，那么根据刚才说的好几个低维的例子可以想象，我们的生命会发生多么大的变化。

令人惊讶的是，即使那些维总是小小的卷缩起来的，它们的存在仍然会产生深远的影响。

我们宇宙的空间维数可能比我们直接感知的更多，卡鲁扎在1919年提出的这个建议从自身说来是很有可能的。不过，令它更动人的还在于别的原因。爱因斯坦在我们习惯的3个空间维和1个时间维的宇宙框架里建立了广义相对论，而这个理论的数学形式可以很直接地推广到更高维的宇宙，写下类似的方程。卡鲁扎在只多1个空间维的“最保守的”假设条件下进行了这样的数学分析，具体导出了新的方程。

他发现，在修正了的形式中，与普通三维相关的方程从根本上说与爱因斯坦的方程是一样的。但是，因为他多包含了一个空间维，他当然也发现了爱因斯坦原来不曾导出的方程。在研究了这些与新维度相关联的方程后，卡鲁扎意识到有趣的事情正在发生。那多出的方程不是别的，正是麦克斯韦在19世纪80年代为描写电磁力而写下的方程！这样，通过添加1个空间维，卡鲁扎把爱因斯坦的引力理论与麦克斯韦的光的理论统一起来了。

在卡鲁扎的统一提出以前，引力和电磁力被认为是两种毫不相关的力，甚至没有一点儿线索暗示它们可能存在什么联系。卡鲁扎凭着他的创造力，大胆想象我们的宇宙还有另一个空间维，从而发现引力与电磁力实际上存在着深刻的联系。他的理论指出，两种力都伴随着空间结构的波动。引力在我们熟悉的3个空间维中波动，而电磁力则在那个新的卷缩的空间维里荡漾。

卡鲁扎把论文寄给爱因斯坦，爱因斯坦起初也很感兴趣。1919年4月21日，爱因斯坦回信告诉卡鲁扎，他从来没有想过统一能“通过一个五维[四维空间和一维时间]的柱形世界”来实现。他又补充说，“起初，我非常喜欢你的想法。”[44]可是，大约一个星期以后，爱因斯坦又来信了，这回他有点儿怀疑：“我读了你的文章，感觉它确实有意思。现在我还没有发现有什么不可能的地方。不过，另一方面，我得承认，目前提出的那些论证似乎还没有足够的说服力。”[45]两年多以后，爱因斯坦有了更多时间更彻底地消化卡鲁扎的新奇想法。1921年10月14日，他又写信告诉卡鲁扎，“再次觉得耽误了你发表你两年前关于引力和电力统一的思想……如果你愿意，我仍然可以把文章交给科学院。”[46]卡鲁扎终于收到了这位巨人迟到的“录取通知”。[47]

卡鲁扎的思想尽管很美妙，但后来经过克莱茵的仔细研究，发现它与实验结果有很大的矛盾。例如，一个简单例子是，把电子纳入理论所预言的质量与电荷的关系，大大偏离了观测的数值。因为没有什么明显的办法来克服这个问题，许多关注卡鲁扎思想的物理学家也失去了兴趣。爱因斯坦等人还不时考虑过多余卷缩维的可能性，但它还是很快就离开了理论物理学的中心，成为一个边缘问题。

实在说来，卡鲁扎的思想走在了时代的前头。20世纪20年代标志着理论和实验物理学向微观世界的基本定律高歌猛进的开端。理论家们在全身心追寻量子力学和量子场论的结构；实验家们在忙着发现原子和无数其他基本物质构成的细节。理论指导实验，实验修正理论，这样经过半个世纪，物理学家终于找到了标准模型。在这果实累累令人振奋的年代里，多维的猜想当然只有远远躲到后面了。物理学家们在寻找有力的量子方法，寻找可以用实验来检验的预言，他们对多维空间的那点可能性不感兴趣——宇宙可能在小尺度下有迥然不同的面目，但那尺度却是我们最强大的仪器也无法探测的。

不过，激情的年代迟早会过去的。20世纪60年代末和70年代初，标准模型的理论结构成了新的潮流。到70年代末和80年代初，它的许多预言都被实验证实了，多数粒子物理学家相信，其他预言也终将被证实，那不过是时间问题。虽然好多具体问题还没有解决，但还是有很多人觉得，关于强力、弱力和电磁力的主要问题，已经有答案了。

最后我们又该回到那个最大的老问题：广义相对论与量子力学间的神秘的大冲突。三种力的量子理论已经成功建立起来了，这激励着物理学家们要把第四种力，引力，也囊括进来。他们尝试了数不清的方法，最终都失败了。所以，他们的思想也变得更加开放，也欢迎那些异乎寻常的思想方法。在20世纪20年代末被人遗忘的卡鲁扎-克莱茵理论，现在复活了。

自卡鲁扎理论提出60年以来，我们对物理学的认识发生了巨大的改变。量子力学完全确立了，也经过了实验的检验；20世纪20年代未知的强力和弱力也发现了，还有了深入的认识。有些物理学家提出，卡鲁扎最初的思想之所以失败，是因为他不知道那些其他的力，从而他对空间的变革还太保守。更多的力意味着需要更多的空间维。只凭一个卷缩的维——尽管能在广义相对论和电磁理论之间建立某种联系——还不足以结合更多的力。

20世纪70年代中叶，物理学家花了很大工夫来研究有多个卷缩空间方向的更高维理论。图8.7画了两个多余维的例子，那两维卷缩在一个球的表面，形成一个球面。跟一个卷缩维的情形一样，这些多余的维也生在我们熟悉的三维空间的每一点。（为清楚起见，我们只是在延展方向的网络点上画了二维的球面。）我们除了想象不同的维数，也可以想象多余的维有不同的形状。例如，图8.8画的也是两个卷缩维的一种可能情形，它们卷缩成面包圈的形状——也就是环。可以想象，还可能有更多的空间维，如3个、4个，5个甚至任意多个，可能卷缩成各种奇异的形状，可惜我们无法把它们画出来。这些维有一点是相同的：它们的空间延展都小于我们所能探测的最小尺度，因为我们还没有在实验中发现它们的存在。

图8.7　卷缩成球面的两维。

图8.8　卷缩成面包圈（环）的两维。

最有希望的高维想象是那些同时包含了超对称性的图景。超对称粒子对能部分消除许多剧烈的量子涨落，物理学家想靠它们来缓和广义相对论与量子力学间的矛盾。他们把这些包含引力、多维和超对称性的理论称为高维超引力。

像卡鲁扎的原始想法一样，不同形式的高维超引力乍看起来似乎都有希望。从新维度产生的新方程会令人想起那些用来描写电磁力、强力和弱力的方程。不过，仔细考察会发现，老问题依然存在。最严重的是，令人讨厌的空间小尺度下的量子涨落虽然由于超对称性有所减弱，但还不足以产生一个合理的理论。物理学家还发现，很难找一个高维理论能把所有的力和物质特性都囊括进来。3

现在人们慢慢明白了，统一理论的碎片正在显现，但还缺少一条基本的线索把它们缝合起来成为一个与量子力学协调的大统一理论。1984年，那条失去的线索——弦——戏剧性地走进了我们的故事，站到了舞台的中心。

现在你该相信，我们宇宙可以包容更多的卷缩的空间维；当然，只要它们足够小，就没有东西能否定它们。但是，你也可以把多维当成一种技巧。我们看不见比百亿亿分之一米更小的距离，所以在那样的尺度下，不但多维是可能的，任何奇异的事情也都可能发生——甚至出现小绿人的微观文明。尽管多一些小空间维似乎比多一个小文明更合理，但不论设想什么，不经实验证明——在今天还不能证明——都同样是随意的。

弦理论出现以前的情形就是这样。我们需要一个理论来解决当代物理学面临的核心难题——量子力学与广义相对论的矛盾——并统一我们对自然基本物质组成和力的认识。但是，为了实现这些目标，弦理论要求宇宙有更多的空间维。

为什么呢？量子力学的一个主要观点是，我们的预言在根本上只能说某个事件会以某个概率发生。虽然爱因斯坦认为这是我们现代认识的一个令人遗憾的特征，但你也可能看到了，那是事实，我们应该接受它。我们知道，概率总是0到1之间的数——当然，如果用百分数表示，也可以是0到100之间的数。物理学家发现，量子力学理论的某些计算得出的“概率”不在可以接受的范围，这是理论失败的信号。例如，我们在以前讲过，无穷大概率的出现，是点粒子框架下广义相对论与量子力学互不相容的信号。我们也讲过，弦理论能消除这些无限的东西；但我们没说还留着一个更玄妙的问题。在弦理论初期，物理学家曾发现某些计算会得出负概率，那也是不能接受的。这样看来，弦理论好像也淹没在它自己的量子力学的热浪里。

物理学家经过不懈努力，终于找到了负概率出现的原因。我们先来看一个简单的情形。假如一根弦束缚在二维面上——如桌面或者水管的表面，它就只能在两个独立方向振动：左右方向和前后方向。任何一个振动模式都是两个方向振动的组合。相应地，我们看到，在平直王国、管子世界或者其他二维宇宙的弦，也都只能在两个独立的空间方向振动。如果让弦离开二维面，那么它也能上下振动，这样独立的振动方向就增加到3个。就是说，在三维宇宙空间里，弦能在3个独立方向振动。依此类推（尽管难以想象），在更多空间维的宇宙中，弦能在更多的独立方向振动。

我们强调弦振动的事实，是因为物理学家发现那些令人困惑的计算结果强烈依赖于弦的独立振动方向的数目。负概率产生的原因就是理论需要的振动方向与实际表现的方向不相称：计算表明，如果弦能在9个独立空间方向振动，那么所有的负概率都将消失。这在理论上当然很漂亮，但那又如何呢？用弦理论来描写我们只有3个空间维的世界，我们似乎还是有麻烦。

真是那样的吗？半个多世纪过后，我们发现，卡鲁扎和克莱茵为我们留下一个窗口。因为弦很小，不但能在大的展开的空间方向振动，也能在小的卷缩的方向振动。这样，只要我们像卡鲁扎和克莱茵那样，假定在我们熟悉的3个展开的空间维以外还有6个卷缩的空间维，就能在我们的宇宙中满足弦理论的9维空间的要求。弦理论就这样从物理学王国的边缘挽救回来了。而且，多维的存在，不仅是一种假定（如卡鲁扎、克莱茵和他们的追随者那样），更是弦理论的要求。为了让弦理论有意义，宇宙应该是10维的：9个空间维，1个时间维。这样，卡鲁扎1919的想象在今天找到了最有活力、也最有说服力的位置。

这里生出几个问题。首先，为什么弦理论需要那样一个特别的空间维数来避免不合理的概率值呢？不借助数学公式，这大概是弦理论中最难回答的一个问题。直接用弦理论来计算能得到答案，但还没有人能用直观的非技术的方法来解释为什么会出现这个特别的数字。物理学家卢瑟福说过，大意是，如果我们不能以一种简单的非技术的方式解释一个结果，我们就还没有真正弄懂它。他不是说那个答案错了，而是说我们没有完全懂得它的起源、意义和作用。对弦理论的超维特征来说，这也许是对的。（顺便说一句，我们借这个机会来强调一下第12章将要讨论的第二次超弦革命的核心问题。关于十维时空——九维空间和一维时间——的计算后来证明是近似的。20世纪90年代中，惠藤根据他本人的发现和前人的一些结果（得克萨斯A&M大学的Michael Daff，剑桥大学的Chris Hull和Paul Townsend），提出了令人信服的证据，说明近似计算实际上丢失了一个空间维。他的结论令多数弦理论家大吃一惊：弦理论实际需要十一维，十维的空间和一维的时间。我们到第12章才讨论这个重要结论，现在忽略它不会给以下的讨论带来什么影响。）

第二，如果弦理论的方程（应该说近似方程；在第12章以前我们都在这个近似方程下讨论）证明宇宙有9个空间维和1个时间维，为什么其中的3个空间维（和那个时间维）是大的展开的维，而其余6个维是小的卷缩的呢？为什么它们不都展开或者卷缩？为什么不会是其他可能的情形呢？目前没人知道答案。如果弦理论是对的，我们总会找出答案的，可我们对理论的认识，还不够深入，还回答不了这些问题。当然，这并不是说没人勇敢地尝试过回答它们。例如，从宇宙学的观点看，我们可以想象所有的维原来都是紧紧卷缩着的，然后，3个空间维和1个时间维在大爆炸中展开，一直膨胀到今天的尺度；而其余的空间维仍然卷缩在一起。至于为什么只展开了三维，我们也有大概的说法，将在第14章讨论。不过，实在说来，这些解释还只是略具雏形。在后面的讨论中，我们假定除了3个以外，别的空间维都是卷缩的，这是为了符合我们看到的周围世界。现代研究的一个基本目标就是确立这种假设来自理论本身。

第三，弦理论需要那么多额外的维，其中会不会有更多的时间维呢？那样不正好与多维的空间对应吗？用心想一想，你会发现那才真是令人困惑的事情。关于多维空间，我们总还有些认识，因为我们生活的世界一直都在与三维打交道。但多维时间意味着什么呢？难道一个时间跟我们寻常感觉和经历的时间相同，而另外的时间却多少有些“不同”？

当我们考虑卷缩的时间维，事情就更奇怪了。如果一只蚂蚁在卷缩成圆圈的空间爬行，爬过一圈，它总是回到原地。这一点儿也不奇怪，因为我们也总能回到空间的同一个地方，只要我们喜欢。可是，假如卷缩起来的是时间维，那么穿过它就意味着回去——在时间流过后回到以前的某一刻。这当然是我们没有经历过的。就我们的认识，时间是一维的，我们只能绝对地无选择地朝着一个方向走，永远也不可能回到它经过的瞬间。当然，卷缩的时间维在性质上也许不同于我们熟悉的那个从大爆炸创生长流到今天的大的时间维。但是，如果有新的以前未知的时间维，就不会像更多的空间维那么随意，虽然它们会更加“刻骨铭心”地改变我们对时间的感觉。有些理论家已经尝试过在弦理论中包容更多的时间维，但还没有什么结论性的东西。我们在讨论弦理论时，还是坚持更“传统的”观念，认为所有卷缩的维都是空间维。不过，在未来的理论中，新的时间维也许会扮演某个有趣的角色。

从卡鲁扎的原始论文起，几十年的研究表明，尽管物理学家提出的额外的维都必须小于我们能直接“看到”的尺度（因为我们还没见过它们），但它们对我们看到的物理学确实有着重要的“间接的”影响。空间的这种微观性质与我们看到的物理学之间的联系在弦理论中表现得尤为显著。

为明白这一点，我们需要回想一下弦理论中的粒子质量和电荷是由可能的弦共振模式决定的。想象一根运动振荡的弦，你会发现它的共振模式受空间环境的影响。我们可以拿海洋的波浪来做例子。在无垠的大海，波可以相对自由地形成，以这样或那样的方式运动。这种情形很像振动的弦在大的展开的空间维度里穿行。我们在第6章讲过，这样的弦也可以在任何时刻在空间的任何方向自由振动。但是，假如海波经过狭窄的海湾，波形和运动肯定会受到水的深浅、岩石的形状和分布以及水道条件等因素的影响。当然，我们也可以想想单簧管或法国号，它们的声音是内部气流共振的结果，而这又取决于乐器中气流空间的形状和大小。卷缩的空间对弦的可能振动模式也会产生类似的影响。因为弦在所有空间维振动，所以那些额外的维如何卷缩、如何自我封闭，都强烈影响并束缚着弦的可能的共振模式。这些主要由额外维度的几何决定的模式构成了我们在寻常维度里可能观察到的粒子的性质。这就是说，额外维度的几何决定着我们在寻常三维展开空间里观察到的那些粒子的基本物理属性，如质量、电荷等。

这是极深刻而重要的一点认识，我们值得再说它一遍。照弦理论看，宇宙由一根根细小的弦构成，它们的共振模式就是粒子质量和力荷的微观起源。弦理论还要求所有多余的空间维都卷缩在极小的尺度里，难怪我们从来不曾见过它们。但是，小弦能探寻小空间。当弦振动着在空间运动时，多维的几何形态将决定它的共振模式。弦的共振模式在我们看来就是基本粒子的质量和电荷，所以我们可以说，宇宙的这些基本性质在很大程度上决定于多余维度的几何形态和大小。这是弦理论的一个深远的洞察。

既然多余的维度那样深刻地影响着宇宙的基本物理性质，我们现在就带着无限的激情去看看那些卷缩的空间像什么样子。

弦理论中的多余的空间维并不是随便能以任何方式“折皱”起来的；来自理论的方程严格限定了它们的形态。1984年，得克萨斯大学的坎德拉斯（Philip Candelas）、加利福尼亚大学的霍罗维茨（Gary Horowitz）和斯特罗明戈（Andrew Strominger）与惠藤证明，某类特殊的六维空间的几何形态能满足那些条件。那就是所谓的卡-丘空间（或卡-丘形态），是以宾夕法尼亚大学的数学家卡拉比（Eugenio Calabi）和哈佛大学的数学家丘成桐（Shing-Tung Yau）两人的名字命名的。他们两位在相关问题的研究比弦理论还早，对理解这些空间有着重要作用。尽管描写卡-丘空间的数学既复杂又玄妙，我们还是大概知道它们像什么样子。4

我们在图8.9画了一个卡-丘空间的例子。[48]你看这张图时，一定会感觉到它本来的局限——我们想在二维纸面上表现六维形态，当然会产生巨大的变形。不管怎么说，这图还是大致说明了卡-丘空间的样子。图8.9的形态不过是一个例子，还有成千上万的卡-丘形态都能满足在弦理论的额外维度所应具备的严格条件。虽然这种形态成千上万，似乎太多了，但与无限多的数字可能相比，卡-丘空间也实在是“稀有”的。

图8.9　卡拉比-丘成桐空间的一个例子。

好了，现在我们该用这些卡-丘空间来取代图8.7中代表两个卷缩维的球面。就是说，在寻常的三维展开空间的每一点生出一个弦理论所需要的六维空间，那些谁也不曾想过的维，紧紧地卷缩成一个看起来眼花缭乱的形状，如图8.10。这些维度无处不在，是空间结构不可分割的部分。假如你挥一挥手，你的手不但穿过三维展开的空间，也穿过了那些卷缩的空间。当然，卷缩的维太小，你的手不知扫过了多少那样的小空间。小空间的意思是没有大物体（如你的手）运动的余地——你的手挥过时，仿佛把小空间也“抹去”了，你根本不知道你自己经过了卷缩的卡-丘空间。

图8.10　根据弦理论，宇宙多余的维卷缩成卡拉比-丘成桐空间。

这是弦理论的一个惊人特征。但是，假如你想得更实际，你一定会把这些讨论与一个基本而具体的问题联系起来。既然我们对额外的维有了更好的认识，那么在这些空间振动的弦能生成哪些物理性质呢？这些性质又如何与实验观测相比较呢？那是弦理论中一个价值64000美元的问题。[49]

注释

1.这是一种简单的想法，但因为普通语言不够精确，常常引起误会，所以在这里澄清两点。第一，我们假定蚂蚁生活在管子的表面。如果蚂蚁钻进水管的内部——例如它穿透了橡皮水管——我们就得用3个数来确定它的位置，因为需要告诉它钻了多深。但如果蚂蚁只在水管表面活动，它的位置用两个数就能确定。这引出我们要讲的第二点：即使蚂蚁生活在水管表面，我们也可以（只要愿意）用3个数来确定它的位置：除普通的前后、左右方向外，还有它在我们熟悉的三维空间的上下方向的位置。但是，一旦我们知道蚂蚁只在水管的表面上，正文里说的两个数就够了，那是惟一确定蚂蚁位置的最少数据——正因为这一点，我们说水管的表面是二维的。

2.令人惊奇的是，物理学家Savas Dimopoulos, Nima Arkani-Hamed和Gia Dvali在Ignatios Antoniadis和Joseph Lykken的研究基础上指出，即使多余的卷缩维有毫米大小，我们的实验仍然可能探测不到它们。原因是，粒子加速器是通过强力、弱力和电磁力来探测微观世界的。引力从我们技术能及的能量来说太微弱，一般是忽略了的。但Dimopoulos和他的伙伴们又指出，如果多余的维能对引力产生决定性影响（后来发现这在弦理论中是很可能的），则所有实验也都可能把它忽略了。在不远的将来，新的高灵敏引力实验会去寻找那样的“大”卷缩维。如果找到了，将是历史上最伟大的发现之一。

3.物理学家发现，高维理论最难应付的是标准模型的所谓手征性特征。为不使讨论过于沉重，我们在正文里没讲这个概念。但有些读者可能会感兴趣，所以在这里简单谈谈。假如有人让你看一段某个科学实验的影片，请你判断影片是实验本身的实况还是从镜子里看到的镜像。摄影水平很高，没留下镜子的一点儿痕迹。你能判断吗？20世纪50年代中，李政道和杨振宁的理论洞察，加上吴健雄和她的合作者们的实验，证明你能够做出判断，只要影片放的是某个适当的实验。换句话说，他们的研究表明宇宙不是完全镜像对称的——就是说，某些过程（那些直接依赖于弱力的过程）的镜像不可能在我们的宇宙发生，即使原过程可以发生。这样，如果你在影片中看到了不允许发生的过程，你就知道看的是实验的镜像，而不是实验本身。由于镜像交换左右方向，所以李、杨和吴的结果确定了宇宙不是完全左右对称的——用行话说，宇宙是具有手征性的。物理学家发现，正是标准模型的这一个特征（特别是弱力的），几乎不可能纳入高维的超引力框架。为避免混淆，这里说明一点，我们在第10章将讨论弦理论的“镜像对称”概念，那里的“镜像”与这里讲的是完全不同的。

4.懂数学的读者应该知道，卡拉比-丘成桐流形是第一陈（省身）类为零的一种复Kähler流形。1957年，卡拉比猜想所有这类流形都存在平坦的Ricci度规，1977年，丘成桐证明猜想是正确的。