空间的相对性

要想像空虚空间是不可能的；我们设想把物质客体的变化图像从中排除出去的纯粹空间的一切努力，只能导致例如用浅色的线代替深色的面这样的描述，在不使一切化为乌有和不以子虚终结的情况下，我们便不能沿着他的道路走到底。空间不可简约的相对性即由此而来。

无论谁谈到绝对空间，用的都是无意义的词语。这是深思该问题的人早就宣布的真理，但是我们却过于经常地被诱使忘记它。

我处在巴黎的一个确定的地点，例如在先贤祠，我说：我明天将再来这里。如果有人问我：你意味着你将返回到空间的同一点吗？我将被诱导回答：是的；可是，我却错了，因为到明天，地球携带着先贤祠将由此运行了一天的路程，它要超过200万公里。假如我企图讲得更精确一些的话，也不会增加什么东西了，由于我们地球运行的这200多万公里是相对于太阳的运动，而太阳本身又相对于银河系移动，同时银河系本身无疑也处于运动之中，虽然我们不能觉察它的速度。这样一来，我们完全不知道先贤祠一天走了多少路程，而且总是无法知道。

总而言之，我的意思是说：明天我将再次看到先贤祠的圆顶和三角饰，而如果先贤祠不存在，我的话便毫无意义，空间也会消失。

这是空间相对性原理最平凡的形式之一：但是，还有另外的形式，德尔伯弗（Delbeuf）尤为坚决主张这种形式。设在某夜，宇宙的所有尺度变大了一千倍：该世界将依然相似于它本身，给予相似这个词的意义与欧几里得第VI卷内所讲的相同。只是一米长从那时起将度量为一公里，一毫米长将变成一米。我所睡的床和我的身体本身将按同一比例扩大了。

当我第二天早晨醒来时，面对这样一种令人惊奇的变化，我会有什么感觉呢？咳，我根本觉察不到什么。最精密的测量一点也不能向我揭示出这一巨大的灾变，因为我所用的量尺与我企图测量的对象将严格按照同一比例变化。实际上，只是对于空间仿佛是绝对的那样推理的人来说，这种灾变才是存在的。如果我暂且像他们那样推理，那么就可以比较充分地显示出他们看问题的方式隐含着矛盾。事实上，可以比较恰当地说，由于空间是相对的，根本没有发生什么情况，这就是我们什么也觉察不到的原由。

因此，人们有权利说他知道两点之间的距离吗？没有权利这样说，由于这个距离经受了极大的变化，倘若其他距离按同一比例变化，那么我们就无法察觉它们。我们刚刚看到，当我说我明天将在这里时，这并不意味着我明天将处于我今天所在的空间的同一点，而是说明天我距先贤祠的距离与今天的相同。而且，我们看到，这种陈述不再是充分的，我应该说，明天和今天我距先贤祠的距离等于我身体高度的同一倍数。

可是，这并非问题的全部；我假定世界的尺度变化着，但至少世界依然总是相似于它本身。我们应当更进一步，现代物理学最使人惊讶的理论之一向我们提供了机会。

按照洛伦兹（Lorentz）和斐兹杰惹（Fitzgerald）的观点，所有随地球运动的物体都经受形变。

实际上，这种形变是十分微小的，由于所有平行于地球运动的尺度仅减小亿分之一，而垂直于这一运动的尺度并没有变化。不过，它微小没有什么关系，它的存在对于我正要引出的结论来说已足够了。此外，我说过它是微小的，但是实际上，我对它一无所知；我自己是顽固的幻觉的受骗者，这种幻觉使我们相信我们拥有绝对空间；我设想地球沿着它的椭圆轨道绕太阳运动，我认为它的速度是30公里。可是，我并不知道它的真实速度（这时，我不是意指它的绝对速度，而是它相对于以太的速度，绝对速度是没有意义的），而且我也没有办法知道它：它也许要大10倍、100倍，从而变形也将要大100倍、10000倍。

我们能够证明这种形变吗？显然不能；这里有一个棱长为一米的立方体；由于地球运动，它发生了形变，平行于地球运动的棱变小了，其他棱没有变化。如果我想用米尺确切地测量它，那么我将首先测量垂直于运动的一个棱，我将发现我的标准米尺与这个棱精确相符；事实上，这两个长度无论哪一个也没有变化，因为二者都垂直于运动。然后，我希望测量其他平行于运动的棱；为了做到这一点，我移动我的米尺，并转动它使与该棱相合。但是，由于米尺改变了方向，变得平行于运动了，因而米尺本身也经受了形变，这样一来，尽管棱不是一米长，但它还是与米尺精确相符，我将一点也发现不了什么东西。

你接着问我，如果实验不容许证实洛伦兹和斐兹杰惹假设，那么这个假设有什么用处呢？我的讲解是不完备的；我只是谈到了能够用米尺进行的测量；但是，在假定光速不变和与方向无关的条件下，我们也能够用光传播一段长度所花费的时间来测量长度。洛伦兹可以通过假定在地球运动方向上的光速比在垂直方向上的光速为大，来解释这些事实。但他却宁可假定，光速在这些不同的方向上是相同的，而物体在一个方向比在另一个方向较小。假如光的波面像实物物体那样经受相同的形变，那么我们永远也察觉不到洛伦兹-斐兹杰惹收缩。

无论在哪一种情况下，都不是绝对数量的问题，而是借助某种手段测量这一数量的问题；这种手段可以是米尺，或者是光传播的路程；我们测量的只不过是该数量与测量手段的关系；如果这个关系改变了，我们便无法知道，究竟是这一数量变了呢，还是测量手段变了呢。

但是，我希望阐明的是，在这种形变中，世界并不与它本身相似；正方形变成长方形，圆变成椭圆，球变成椭球。可是，我们还是无法知道，这种形变是否是真实的。

显而易见，我们可以更进一步：我们可以设想无论什么样的形变，以代替其规律特别简单的洛伦兹-斐兹杰惹形变。物体可以按照我们所希望的任何复杂的规律变形，倘若一切物体都毫无例外地按照同一规律变形，我们便永远不会觉察到这些变形。在说一切物体都毫无例外时，我当然包括我自身以及从不同物体发出的光线。

如果我们观察一个具有复杂形状的镜中的世界，这个镜子以千奇百怪的方式使对象发生形变，但是这个世界各个部分的相互关系不会改变；事实上，如果两个真实的对象接触，它们的影像看起来同样是接触在一起的。当然，当我们观看这个镜中的世界时，我们的确看到它发生了形变，但是这正是因为实在的世界继续在它的变形了的影像旁边存在着；即使这个实在的世界对我们隐而不现，但总会有某些事物无法隐藏，我们自身就是这样；我们没有停止观看，至少没有停止感觉，我们的身体和四肢没有变形，它们继续作为测量手段为我们所用。

但是，如果我们设想，我们身体本身像我们在镜中看到的对象一样按同一方式变形了，那么这些测量手段本身将会使我们失望，形变就再也不能查明了。

用同一方式考虑两个互为影像的世界；对于A世界的每一个对象P，在B世界中都有一个物体P′作为它的影像与之对应；这个影像P′的坐标由对象P的坐标的函数决定；而且，这些函数可以是无论什么东西；我只假定它们一劳永逸地选定了。在P的位置和P′的位置之间，存在着恒定的关系；至于这种关系是什么，则无关紧要；尽管它是恒定的。

好了，这两个世界相互之间将是无法区分的。我的意思是，第一个世界对于它的居民来说与第二个世界对于它的居民来说相同。只要这两个世界彼此之间依然是陌生的，情况就将如此。设我们生活在世界A，我们将构造我们的科学，尤其是我们的几何学；在这个时候，世界B的居民也将构造科学，因为他们的世界是我们的世界的影像，他们的几何学也将是我们的几何学的影像，或者更确切地讲，它将是相同的。但是，在我们看来，如果有一天窗户向世界B打开了，我们将多么怜悯他们，我们将说：“可怜的家伙，他们自以为他们创造了几何学，可是他们这样称呼的几何学只是我们的几何学的奇形怪状的影像；他们的直线全都弯弯曲曲，他们的圆歪歪扭扭，他们的球凹凸不平。”我们将从来也不怀疑，他们说与我们相同的话，人们永远也无法知道谁是正确的。

我们看到，应该在多么广泛的意义上来理解空间的相对性；空间实际上是无定形的，唯有处于其中的物才给它一种形式。那么，应该如何想像我们对于直线或距离所具有的直接的直觉呢？我们对于距离本身没有什么直觉，正如我们所说的，以致在夜晚，距离变大了一千倍，倘若其他距离也经受了同样的变化，我们便无法觉察它。即使在夜晚世界B代替了世界A，我们也没有任何办法知道它，此外昨天的直线已不是直线了，我们永远也不会注意到。

空间的一部分并不自然而然地且在该词的绝对意义上与空间的另一部分相等；因为即便它对我们来说如此，但对世界B的居民来说却不相等；这些居民有权利排斥我们的观点，正如我们有那么多的权利抛弃他们的观点一样。

我已在其他地方表明，从我们可以形成非欧几何学和其他类似的几何学的见解的观点来看，这些事实的推论是什么；我不愿再回到这个问题上；现在我将采取稍微不同的观点。

如果距离、方向、直线这种直觉——简言之，空间的这种直接的直觉——不存在，那么我们关于它所具有的信念从何而来呢？如果这只不过是一种幻觉，那么这种幻觉为什么如此牢固呢？考察一下这些问题是恰当的。我们说过，不存在关于大小的直接的直觉，我们只能够达到这一数量和我们的测量工具的关系。因此，如果我们没有测量空间的工具，我们便不能构造空间；好了，我们自己的身体就是这样的工具，我们把每一种事物与它关联起来，我们本能地利用它。我们判定外部对象的位置，就与我们的身体有关，我们能够描述的这些对象的唯一空间关系，是它们与我们身体的关系。可以说，正是我们的身体，作为坐标系为我们服务。

例如，在时刻α，视觉向我揭示出对象A的存在；在时刻β，另一种感官，例如听觉或触觉，向我揭示出另一个对象B的存在。我判断，对象B与对象A占据同一地点。这意味着什么呢？首先，这并不意指这两个对象在两个不同的时刻占据绝对空间的同一点，即使这个点存在，我们也无从辨认，因为在时刻α和β之间，太阳系运动了，我们不能知道它的位移。这意味着，这两个对象相对于我们的身体占据同一相对位置。

可是，即使如此，那又意味着什么呢？我们从这些对象获得的印象遵循着完全不同的途径，就对象A而言是视觉神经，就对象B而言是听觉神经。从定性的观点来看，它们毫无共同之处。对于这两个对象，我们能够做出的表象是绝对异质的、彼此不可还原的。我仅仅知道，要达到对象A，我只要以某种方式伸开我的右臂；即使我放弃做这一动作，我也想像得出伴随右臂伸开的肌肉感觉和其他类似的感觉，这种表象使人联想到对象A的表象。

现在，我同样知道，我能以相同的方式伸开我的右臂达到对象B，右臂伸开伴随着同一系列的肌肉感觉。当我说这两个对象占据同一地点时，我的意思无非是上面讲过的东西。

我也知道，通过我的左臂的适当运动，我能够达到对象A，我想像伴随这一动作的肌肉感觉；通过被相同感觉伴随的左臂的同样的运动，我也能够达到对象B。

这是十分重要的，由于由此我能够防止对象A或对象B施加给我的危险。对于我们能够遭受到的每一次打击，自然界都能使我们联想到一种或多种防御办法，从而使我们自己免受伤害。同一防御办法可以应付多种打击；情况确是如此，例如右臂的同一运动可以容许我们在时刻α抵御对象A，在时刻β抵御对象B。正是这样，同一打击能够用几种方式防御，例如我们说过，或者通过右臂的某种动作，或者通过左臂的某种动作，一般地都能够达到对象A。

除了避开同一打击外，所有这些防御办法毫无共同之处，当我们说它们是终止于空间同一点的动作时，意指的就是这一事实，而不是其他什么东西。正是如此，我们所说的占据空间同一点的这些对象，除了同一防御办法防止它们之外，它们并没有共同之处。

或者，如果你愿意的话，可以设想无数的电报线，一些是向心的，另一些是离心的。向心线向我们告知外部发生的偶然事件，离心线传送答复。关联是这样建立的：当向心线通过电流时，这便作用于中转站，这样在离心线的中转站上电流开始通过；事情是这样安排的：若同一补救办法适于排除几种毛病的话，则几个向心线可以作用于同一离心线，当同一毛病可以用多种补救办法消除时，则一个向心线可以同时地或一个替代另一个地鼓动不同的离心线。

可以说，我们的整个几何学，或者如果你乐意的话，我们几何学中一切本能的东西，正是这一复杂的联想系统，正是这种分配系统表。我们所谓的我们对于直线或距离的直觉，就是我们对这些联想及其紧要特征的意识。

很容易理解，这一紧要特征本身从何而来。在我们看来，联想愈久远，似乎愈加不可破坏。但是，这些联想就其大部分而言，并不是个人的获得物，由于它们的痕迹在新生儿身上好像就存在着：它们是种族的获得物。这些获得物越是必要，自然选择就越迅速地导致之。

为此缘故，我们所说的获得物必定在年代上是最早的，因为没有它们，生物体的防御便是不可能的。自从细胞不再仅仅是并置，而被要求相互帮助以来，就需要组织类似于我们所描述的机制，以便这种帮助不偏离它的道路，而且能防止危险。

把一只蛙切去头，给它皮肤的一点滴一滴酸，这时它力图用最近的脚揩掉酸滴，如果再切断这只脚，它就用对面的脚揩酸滴。在这里，我们有我刚才说过的双重防御办法，如果第一种办法行不通，容许用第二种补救办法应付灾祸。空间正是这种多重防御办法和作为结果发生的协调。

我们看到，为了寻找这些空间联想的最早痕迹，我们必须深入到无意识的什么深度，因为此处所及的只包含神经系统的低等部分。可是，把如此久远联想起来的东西加以分离的每一个尝试，都会遭到我们的反对，对这种阻力为什么感到惊讶呢？现在，正是这种阻力，才是我们所谓的几何学真理的证据；这一证据只不过表明，我们对破除十分古老的习惯极为反感，我们总是证明这些习惯是有益的。

这样生成的空间只不过是小空间而已，它不能扩展到比我的臂所能达到的更远的地方；这了扩大空间的界限，必须要有记忆参与。无论我做出多大努力，把我的手伸向远方，总有一些点在我所能达到的范围之外；假使我像水螅属水螅体一样束缚在水底，只能伸开触须，那么所有这些点总是在空间之外，因为我们从处于那里的物体的作用中可以经受的感觉，与容许我们到达它们的动作的观念没有联系，与适当的防御办法也没有联系。在我们看来，这些感觉似乎不可能有任何空间特征，我们不应该企图定域它们。

但是，我们并不像低等动物那样固定在水底；如果敌人离我们太远，我们能够首先接近他，当我们距他足够近时，我们能够伸出手。这还是一种防御办法，但却是一种远距离的防御办法。另一方面，它是复杂的防御办法，腿的动作所引起的肌肉感觉的表象、臂的最后动作所引起的肌肉感觉的表象、半规管的感觉的表象等等，都进入到我们由其所形成的表象中。此外，我们没有必要想像同时的感觉的复杂性，可是必须想像按确实的次序相互跟随的连续感觉的复杂性，这就是我刚才说必须要有记忆参与的原因。而且要注意，为了到达同一点，我可以更接近能够达到的目标，以便不怎么伸臂就能得到。还要注意什么呢？我能够对抗同一危险的防御办法不是一种，而是一千种。所有这些防御办法都是由可以没有共同之处的感觉构成，可是我们认为它们确定了空间的同一点，因为它们可以对同一危险做出反应，而且都与这种危险的概念有联系。正是这种避开同一打击的潜力，促成了这些不同防御办法的联合，正如用同一方式防御的可能性，促成了在类型上如此不同的打击的联合，这些打击可以从空间的同一点危及我们。这种双重的联合造成了空间每一点的独立存在，在点的概念方面再也没有其他东西了。

前面所考虑的空间，可以称之为局部空间，它是参照于与我们身体相联系的坐标轴的；这些坐标轴是固定的，由于我的身体不动，只是我的身体的某些部位移动。我们自然而然地使广延空间参照的坐标轴是什么呢？所谓广延空间，说的是我刚才定义的新空间。从我的身体的某一初始位置开始，通过要达到它所做的一系列动作，我定义了点。因此，坐标轴固定在身体的这一初始位置。

但是，我所谓的初始位置可以在我的身体相继占据的所有位置中任意选取；如果关于这些相继位置的或多或少无意识的记忆对于空间概念的产生是必要的，那么这种记忆就可以或多或少地追溯到过去。由此导致了空间定义本身的某种非决定性，这种非决定性恰恰构成了它的相对性。

不存在绝对空间，只存在相对于身体某一初始位置的空间。对于像低等动物那样的固定于水底的有意识的生物来说，由于它只知道局部空间，则空间更是相对的（由于空间只可能和它的身体有关），但是这种生物不会意识到这种相对性，因为关于这种局部空间的相关轴是不变的！毫无疑问，束缚这种生物的岩石不会是不动的，由于它随着我们的行星一起运动；因此，在我们看来，这些轴每时每刻都在变化；但是对它来说，它们则是不变的。我们具有一种现在可以把我们的广延空间归诸于我们身体的位置A的官能并认为A是初始位置，在此后某些时刻，我们又把我们的广延空间归诸于位置B，我们可以反过来自由地把B看做是初始位置；因此，我们在每一时刻都进行无意识的坐标变换。我们设想的生物却缺乏这种官能，由于它不动，它会认为空间是绝对的。在每一时刻，它的坐标系强加于它；这个坐标系实际上大大改变了，但是在它看来总是相同的，因为这总是唯一的坐标系。对我们来说，则完全是另一种样子，在记忆可以或多或少地追溯过去的条件下，在我们可以随意选取的坐标系中间，我们每一时刻都有许多坐标系。

这并非一切；局部空间不是均匀的；这个空间的不同点不能认为是等价的，由于一些点只有花费最大的努力才能到达，而另一些点则容易达到。相反地，我们的广延空间在我们看来似乎是均匀的，我们说它的所有点是等价的。这意味着什么呢？

如果我们从某一平面A开始，那么我们能够从这个位置做出某些动作M，M的特征是由肌肉感觉的某种复杂性刻画的。但是，从另一个位置B开始，我们做出用相同的肌肉感觉刻画的动作M′。接着，设a是身体某一点的地点，例如右手食指尖，它处于初始位置A，设b是当我们从位置A出发并做出运动M时的同一食指的地点。此后，设a′是这个食指在位置B的地点，b′是当我们从位置B出发并做出运动M′的地点。

好了，我们习惯于说，空间的点a和b相互关联，正如点a′和b′一样，这仅仅意味着，动作M和M′的两个系列是由相同的肌肉感觉伴随的。因为我意识到，在从位置A到位置B时，我的身体依然能够做相同的动作，我知道存在着与点a′相关的一个空间点，正如任何一点b与点a相关一样，以至于两个点a和a′是等价的。这就是所谓的空间的均匀性。同时，这也是空间是相对的原因，由于不管空间是参照轴A而言还是参照轴B而言，它的特性依然是相同的。这样一来，空间的相对性和它的均匀性就是一种唯一的和相同的东西。

现在，如果我希望讨论大空间——这种大空间不再仅仅对我适用，而且我可以把宇宙纳入其中——那么我通过想像作用便可以得到。我想像一个巨人如何会觉得他几步就可以到达行星；或者，如果你乐意的话，再想像存在一个微小的世界，其中这些行星被小球代替，而小人国的矮人——我认为我自己也是矮人——在这些小球之一上运动，那么我本人会有何种感觉。但是，如果我预先没有构造我的局部空间和广延空间供我自己使用，那么这种想像作用对我来说恐怕是不可能的。

现在，为什么所有这些空间都有三维呢？回到我们说过的“分配系统表”去吧。一方面，我们有各种可能的危险的一览表，我们用A1，A2等表示它们；另一方面，我们有各种防御办法的一览表，我将以同样的方式称其为B1，B2等。于是，在第一个一览表和第二个一览表的接触螺栓或推动按钮之间，我们具有连接物，这样一来，例如当危险A3的报告者告警时，它将使或者可以使相应于防御办法B4的继动器起作用。

当我在上面讲向心线和离心线，我唯恐人们误会我的意思，不把这一切看做是简单的比喻，而看做是对于神经系统的描述。这样看并不是我的思想，其理由有以下几点：首先，我不会容许我自己提出关于神经系统构造的观点，因为我不了解它，即使研究它的人讲话也很谨慎；其次，除了我的无能外，因为我完全知道，这个方案太简单化了；最后，因为在我的防御办法一览表中，一些办法描绘得十分复杂，正如我们在上面看到的，即使在广延空间的案例中，它们也是由臂的多步相继动作组成的。因此，这不是两个真实导体之间的物理连接问题，而是两个感觉系列之间的心理联系问题。

例如，如果A1和A2与防御办法B1关联，如果A1同样地与防御办法B2关联，那么A2和B2本身一般地也将发生关联。如果这个基本定律一般说来并不为真，那么只可能存在极大的混乱，就不会有类似于空间概念或几何学的东西。事实上，我们怎样定义空间的点呢？我们是用两种方式定义它的；一方面，它是与同一防御办法B关联的报告者A的集合；另一方面，它是与同一报告者A关联的防御办法B的集合。如果我们的定律不为真，我们可以说A1和A2对应于同一点，因为它们二者与B1相关；但是，我们同样能够说它们与同一点并不相关，因为A1可与B2相关，但相同的情形对A2来说却不会为真。这也许是一个矛盾。

然而，从另一方面看，如果定律严格地而且总是为真，空间便完全不同于它本来的那个样子。我们应有强烈对照的范畴，其中一方面分配给报告者A，另一方面分配给防御办法B；这些范畴极多，但它们总是彼此完全分开的。空间也许是由很多的、但却分立的点组成的；它可能是不连续的。没有理由认为这些点是按一种秩序而不是按另一种秩序排列的，因此也没有理由赋予空间以三维。

但是，情况并非如此；请允许我暂且概述一下已经通晓几何学的人的语言；这是十分恰当的，因为这是那些人最容易理解的语言，我希望使我也能理解。

当我期望防御打击时，我企图达到这一打击所来自之点，但是只要我接近得很近就足够了。于是，如果对应于B1的点距对应于A1和对应于A2的点足够近的话，那么防御办法B1就可以对付A1和A2。但是，也可能发生下述情况：对应于另一个防御办法B2的点可以充分地接近对应于A1的点，而不充分地接近对应于A2的点；以致防御办法B2可以应付A1而不能应付A2。对于还不了解几何学的人来说，这只不过是用上面所陈述的定律背离地翻译它自己。于是，事情将这样发生：

两个防御办法B1和B2与同一警报A1关联，并且与大量的其他警报关联，我们将按A1那样的范畴来排列它们，并使它们对应于空间的同一点。但是，我们可以找到警报A2，它将与B2关联而不与B1关联，而由于补偿它将与B3关联，但B3却不与A1关联，如此等等，于是我们可以写出系列

B1，A1，B2，A2，B3，A3，B4，A4，

其中每一项都与后一项和前一项关联，而不与远离的几项关联。

无须多言，这些系列的每一项都不是孤立的，而形成其他警报或其他防御办法的大量范围的一部分，这些警报或防御办法与每一项具有相同的联系，可以认为它们属于空间的同一点。

因此，尽管容许有例外，但是基本定律依然几乎总是为真。由于这些例外，唯有这些范畴不是完全孤立的，而是部分地相互侵犯，在某种程度上彼此渗透，以致空间变为连续的。

另一方面，这些范畴的排列秩序不再是任意的，如果我们提及前面的系列，我们看到，必须把B2放在A1和A2之间，从而也就放在B1和B3之间，例如我们不能把它放在B3和B4之间。

因此，存在着一个秩序，我们按照这一秩序自然地排列我们的对应于空间点的范畴，经验告诉我们，这个秩序以三重登记表的形式呈现在眼前，这就是空间有三维的原因。

这样一来，空间的特性，即具有三维的特性，仅仅是我们的分配系统表的特性，也可以说是人类理智的内在特性。给出不同的分配系统表，就足够破坏这些关联中的某几个，即是说破坏了某几个观念联想，这可能足以使空间获得第四维。

一些人会为这样的结果而感到惊讶。他们将认为，外部世界竟然毫无价值。如果维数出自造化我们的方式，那么可能有会思维的生物，它们虽则生活在我们的世界上，但造化的方式与我们不同，它们也许认为空间多于三维或少于三维。德·西翁（de Cyon）先生不是说过，日本鼠只有两对半规管，而以为空间是两维的吗？因此，假使这个会思维的生物能够构造物理学，它难道不会创造出二维或四维的物理学吗？这种物理学在某种意义上依然与我们的物理学相同，因为它是用另一种语言描述同一世界。

事实上，把我们的物理学翻译为四维几何学的语言似乎是可能的；要试图进行这种翻译，可能会力倍功半，我将限于引证赫兹（Hertz）的力学，在那里我们具有某些类似的东西。不管怎样，译文似乎总是比原文复杂，而且似乎总是具有译文的语调，三维语言好像更适合于描述我们的世界，虽则这一描述能够严格地用另一种习语做出。此外，我们的分配系统表并不是随意做出的。在警报A1和防御办法B1之间存在着关联；这是我们理智的内在特性；但是，这种关联为什么会发生呢？正因为防御办法B1提供了手段，可以有效地防范危险A1；这是在我们之外的事实，这是外部世界的特性。因此，我们的分配系统表仅仅是外部事实集合的翻译；如果它有三维，这是因为它本身适合于具有某些特性的世界；其中主要的特性是存在着天然固体，它们的位移明显地遵循我们所谓的刚体运动定律。因此，如果三维空间的语言容许我们最容易地描述我们的世界，那么我们就不应当感到惊讶；这种语言是从我们的分配系统表复制的；这个表之所以建立起来，正是为了能够生活在这个世界上。

我已经说过，我们可以设想生活在我们世界上的会思维的生物，它们的分配系统表可以是四维的，从而能够在多维空间思维。但是，不能肯定，让这样的生物在那里诞生，它们是否能够在那里生存，他们本身是否能抵御他们可能遭受到的许多危险。

最后，还有几点评论。在可以还原为我所谓的分配系统表的这种原始几何学的粗糙性和几何学家的几何学的无限精确性之间，存在着引人注目的对照。可是，后者却诞生于前者；但并非唯一地诞生于前者；由于我们构造数学概念的官能，例如构造群的官能，必然会使它多产；在纯粹概念中，需要寻找哪一个概念自身最适合于这种粗糙的空间，我已试图说明了该空间的起源，它对于我们和高等动物来说是共同的。

我们曾经说过，某些几何学公设的证据仅仅在于我们对抛弃十分古老的习惯十分反感。但是，这些公设是无限精确的，而这些习惯就其本身而言本质上却具有某种柔顺性。当我们希望思考时，我们需要无限精确的前提，由于这是避免矛盾的唯一方式；但是，在所有可能的公设系统中，存在着一些我们不喜欢选取的系统，因为它们不能充分地与我们的习惯一致；这些系统不管可能多么柔顺、多么灵活，但它们却有一个弹性限度。

我们看到，即使几何学不是经验科学，但是这门科学的诞生却是与经验有关的；我们创造了它所研究的空间，但是必须使它适应于我们生活于其中的世界。我们选择了最方便的空间，但经验指导我们的选择；鉴于这种选择是无意识的，我们认为它被强加于我们；一些人说经验把它强加于我们，另一些人说我们是与预先创造好了的空间一起诞生的；从前面的考虑中我们看到，在这两种观点中，真理部分是什么，谬误部分是什么。

在这种其结果是空间构成的渐进训练中，很难确定什么是个体成分，什么是种族成分。例如把我们之中的一个人从出生时起就运送到截然不同的世界，在那里占优势的物体都按照非欧固体的运动规律运动，那么他能在多大程度上抛弃祖传的空间而建立全新的空间呢？

实际上，种族成分似乎占压倒优势；可是，如果我们把粗糙的空间、我所说过的柔顺的空间、高等动物的空间归之于种族成分，那么我们不是要把几何学家的无限精确的空间归因于个人的无意识的经验吗？这是一个不易解决的问题。不过，我可以引证一个事实表明，我们祖先遗赠给我们的空间依然保持着某种可塑性。虽然由于折射水下的鱼的影像出现在上部，但是一些猎人却学会射鱼技术。而且，他们是本能地做到这一点的：他们因此学会了修正他们旧有的方向本能；或者，如果你乐意的话，也可以说他们学会用另一个联想A1，B2代替联想A1，B1，因为经验向他们表明后者不会有什么结果。