亚历山大大帝时期的数学

欧几里得——这是亚历山大港第一位伟大的数学家，生于公元前330年，卒于公元前275年，父母很可能是希腊人。我们不知道他在哪里受到教育，但是一些人认为雅典人受到了他的著作以及对柏拉图工作的指导启示，他成为亚历山大港图书馆的馆长和图书员，并进行教学。

迄今为止，他最著名的著作是《几何初步》，其中确定了学校中几何的教育方法，并一直沿用到近代。我们不知道这本书的目的何在——为学生而做，或一部几何知识的纲要，或表明学者努力显示几何事实是不可避免的真相，可以通过无可辩驳的真实的公理而演绎得出。实际上这本书非常好的符合上述三个目标，也是本意如此，但这不是今天的我们所感兴趣的。

现代几何学者不认为公理是毋庸置疑的，他们认可，如果公理是正确的，命题就成为纯粹的逻辑。但是他们认为，公理，尤其是第十二条公理（如果一条直线遇到两条直线，在一边上组成的所有角一共小于两个直角，那么如果继续沿着上述该边继续的话，这些直线会相遇）确定了空间的特质。他们必须处理很多层空间，但是只有在一种空间（即他们所称的欧几里得空间）之内，第十二条公理才普遍正确。只是在这个空间而不是其他空间内，欧几里得定理才如毕达哥拉斯定理一样永远正确。通过陈述毕达哥拉斯定理在其他空间内的不适用程度和方式，其他空间的特性可以得到最简单的表达。所有这些都在后来纳入实用科学的范畴，因为相对论将世界描述为存在于欧几里得公理并不完全适用的空间内。

《几何初步》是包含了12本书的连贯专著，在这些专著中，一系列命题通过上述定理，由严密的逻辑演绎出来，另外还有第13本不连贯的旁支细节，形成附录。也许如同德·摩根曾经所说的，整部书成于欧几里得老年，不久之后的离世令他甚至未能将书定稿，大部分还仅仅是文件集。其中很多命题出现在欧德莫斯的《数学历史》中，其时欧几里得只有10岁大，而且还有一些内容毫无疑问是毕达哥拉斯派学者所知晓的——例如，不可通约分这个定理就提到了两次。欧几里得的很多证据都是单调乏味的，缓慢的，显而易见的，但其他的则显示出独特性，下面就是一个例子。

我们知道，数字可以分成两类——质数和可分解数（合数），可分解数是可以有较小因子的数，比如，6（可分解为2×3），8（可分解为2×2×2），而质数是不能分解的，如5或7。如果我们看一看1后面的6个数字，就会发现三分之二是质数，即2、3、5、7；如果考察的数字是12个，比例就会成为二分之一，质数为2、3、5、7、11、13；如果考察24个数字，比例为八分之三；48个数字比例为十六分之五，96个数字比例为四分之一，等等。我们走得越远，比例就越小，原因是不断会出现新的除数。现在出现了问题：如果我们走得足够远，会不会有一个范围内无质数？换句话说，是否有一个最大的质数，在其后就不再有质数？这似乎是一个很复杂的问题；如果读者不这样认为，让我们在继续之前解决一下。欧几里得解决方式是，仅仅做出了如下分析：如果有一个最大的质数N，那么（1×2×3×4······N）+1就既不是质数也不是可分解数，而这是荒谬的。它不是质数因为它大于N，而N是我们推定的最大质数；但它又必然是质数，因为没有质数会是它的因子，任何质数在被除之后都会有一个1留下，因此存在最大的质数就意味着得到自相矛盾的结论，所以不会有最大的质数。

除了《几何初步》之外，欧几里得还写了4本书来阐述几何，还有关于天文学、音乐和光学的书，但仅有最后一种得以保留。该书精确地阐述了光的反射，而折射的原则当时还不为人了解，但欧几里得对光的本质的看法是错误的。毕达哥拉斯教导说，光从光源到人眼的传播是以粒子的形式——这是牛顿微粒子学和当代光的粒子画面的前身。恩培多克勒则教导说，光是一种扰乱，通过媒介传播，在途中需要时间——18和19世纪波动理论和当代波图理论的前身。柏拉图和其他一些人曾非常错误地想象，光包括光线，以直线从人眼传播直至物体，然后人眼看到。他们教导说，当我们看东西的时候，我们用这些光线四处戳寻找它，就像我们在黑暗中用手四处摸索某件物体。欧几里得接受了最后这个替换之说，讨论到，光不可能从物体出发进入眼睛，因为如果是这样，“我们不应该，如同真实发生的，看不到掉在地上的针”。

阿基米德　亚历山大港所有数学家中最伟大者，欧几里得之后最著名者是阿基米德（公元前287—前212）。在亚历山大港学习之后，阿基米德回到了他的出生地西西里岛，并最终被围城三年后攻入锡拉库扎的罗马军队杀死。和毕达哥拉斯与柏拉图一样，他认为，学习应该为学习而学习，不是为某种所得或某种功效学习，但是由于他死于战时，他的伟大的机械天赋不得不被主要用于军事用途。据说他曾用镜子和玻璃点燃了围攻锡拉库扎的敌船——一个很多人都怀疑的故事，并发明了弹弓将围城的军队驱离城墙。在他的更加和平的发明中，有阿基米德螺旋，该装置可以将水提到高处，并且在古埃及一直沿用到近现代，还有一种齿轮轮和螺旋组合用以启动船只。但他最知名的是测量物品特定引力的方法，他将已知重量的物品放入装满水的容器中，然后测量溢出边缘的水的重量。例如，如果他将12磅放入容器中，并发现1磅水溢出，他可以知道该物品重量是同等体积溢出水的重量的12倍。一个著名的故事记载了他如何探测出一个金匠的欺诈，该金匠将用来做王冠的金子掺了假，据说他在洗澡时发现了这个方法，并跑到街上叫好。

他在数学方面的研究范围广大且种类丰富，几何方面的很多常用公式都归功于他——πr2用来代表圆的面积（其中π是圆周与直径的比例），代表球的表面积和体积，另外还有圆锥和金字塔的公式（阿基米德说，金字塔和圆锥的体积公式首先由德谟克利特给出，但没有证据，第一份证据由欧多克索斯给出。但是关于金字塔的公式可在莫斯科羊皮纸中发现，早了至少1000年，半球的米阿尼公式也是同样早了至少1000年）。

阿基米德还得出了π的非常近似的值，方法是我们所知的“穷尽法”。可以完全容纳一个半径为r的圆的最小方形的面积是4 r2，而可以容纳在圆内的最大方形的面积是2 r2。图3-1显示出，圆的面积一定在2 r2和4 r2之间。如果我们画的是六边形而不是方形，就会得到一个更近似的极限2.598 r2和3.464 r2，而八边形的值更加接近，为2.828 r2和3.314 r2。多边形的边越多，抓住圆的角就越多，所得到的极限就越窄。在96边形中，极限在3.1395 r2和3.1426 r2之间，所以π的值就在3.1395和3.1426之间。阿基米德使用了96边，但同时引入了某种近似法，将π的值确定在（3.1429）之间。

图3-1

阿基米德还对不同论题写了为数众多的专著，诸如杠杆和滑轮的原理、螺旋的原理（尤其是著名的阿基米德螺旋）、抛物线的区域、算术等，其中大多数已遗失，但下面的两则数学方面的例子可以显示出他所达到的高度。

希腊人仍然使用字母来表示数字，并且有不同的系统在一起使用。在亚历山大港，他们用最初的9个希腊字母（α－ι）代表从1～9的数字，从10～90使用另外的9个字母，从100～900，在另外9个字母（希腊只有24个字母，有必要加入两个已经遗失的字母，以及一个腓尼基字母）。从1～999的所有数字都由这个方法表示，其上的数字直到99999999，则通过加入上标和下标表示。但这种系统十分不便，即便是小数字的记录和使用都很困难，而且没有办法表示非常大的数字。阿基米德提出，对于后一种情况，可以将100000000作为一个新的单位，其平方、立方等可以作为额外的序列单位表示“第二、第三”等。在现代数学中，我们要表示1，后面有若干个0，可以写为10n，然后阿基米德提出，108作为新的单位，序列应该是1016、1024、1032等——如同我们将100万作为单位，然后表示十亿、万亿、兆亿等。为了具体描述他的这个系统的工作，他计算了用来填满宇宙的沙粒的数量。假设，10000粒沙子可以放入一个以一指宽的十八分之一为半径大小的球，而宇宙的直径小于100亿“斯达地”（stadia，古希腊长度单位，此长度为大约10亿英里，仅仅比木星的轨道稍长），他计算最后的值为1063，这里我们使用的是后来在现代天文学中十分重要的计算的原型。

阿基米德指出，不同的单位，108、1016、1024，构成了我们今天所说的几何级，并做出了充满想象的结论，第m次和第n次的单位的乘积等于该单位的（m+n）次，用现代的表达，就是xm×xn=x（m＋n）。这里我们第一次知晓了指数定律，这是2000年后出现的对数计算的胚芽。

我们可能会认为这并不难解决，只要重新将这些资料用线性方程的形式写出即可，尽管有些复杂。但这种方法是阿基米德所不熟悉的，而且，不管怎样，算术绝非简单。当然没有独特的解法，因为数据仅仅表明比例，不是牛群的确切数量，阿基米德给出了如下解答：

花斑　331950960公牛，435137040母牛

白色　829318560公牛，576528800母牛

灰色　596841120公牛，389459680母牛

暗褐色　448644800公牛，281265600母牛

其中所有数字都是80的倍数，所以可以有一个比较简答的解法：将所有数字都除以80。难以想象的是，阿基米德在处理这个级别的大数字时，使用的是当时通用的并不简便的计数系统，因而，他可能会使用了另外他自己的系统以得出结果，然后将其翻译回通用系统，并对外公布。我们前面一个例子已经显示，他所有的系统可能甚至与今天的不相同。

阿基米德毫无疑问是希腊数学家中最伟大的一个，如果不是战争和破城这样的意外打断了他的活动并缩短了他的生命，他将仍然继续占据这个地位。当罗马人最终攻取了锡拉库扎，士兵们曾得到命令饶恕他及其家庭，但是，也许出于意外或事先设计，这并没有实现。罗马征服者为他建造了一个豪华墓地，上面铭刻着一个圆柱外接一个球形的图案，用以纪念他计算球面积的方法——是他自己的遗愿将自己埋葬在这样的墓地中。

亚历山大港的希尔罗　从阿基米德，我们的思路自然转向希尔罗，另一个亚历山大港的数学家。他的生辰并不确定，大概在阿基米德之后一个世纪，或几个世纪。他几乎具有阿基米德同类的机械天赋，尽管略逊色，也显示出了优异的机械技艺。但是阿基米德似乎是出于自愿成为一名数学家，出于时代的必须，成为一名机械师和发明家。希尔罗的情况正好相反，他发明了大量的戏法魔术和机械玩具，其中最著名的一个是蒸汽机。蒸汽通过沸水制造出来，进入一个可以在固定的轴旋转的空管子。四个喷嘴将管子接通外部空气，弯度适当，这样外溢的蒸汽通过回压令管道旋转——类似喷气式飞机。这是该方面的第一个实例，蒸汽压将燃料燃烧的化学能转化成运动的能量，也就是今天蒸汽机的原理，希尔罗据说也发明了有记载的世界上第一个自动贩卖机。

在抽象方面，希尔罗做了非常好的数学工作，他对光学方面的研究具有特殊的兴趣。欧几里得曾说，当无线从一个光滑表面反射的时候，入射角等于反射角。希尔罗认为，同一原则可以以不同形式存在：光线在点到点的行程中走最短的路径，但条件是，它必须在行程中的同一点射到镜子上。在图3-2中，如果ABC是真实的路径，它将比AB′C或AB″C以及其他任何类似的路径短。希尔罗似乎完全没有重视这个结论，但毫无疑问，他事实上引入了一个新的意义深远的原则，将演化出机械学中最重要的一个方法。

图3-2

阿波罗尼奥斯（公元前260—前200）　继欧几里得后最重要的希腊几何学家，著有《圆锥曲线》）。我们已经看到，门奈赫莫斯如何将圆锥截面（圆锥曲线）引入数学，但并没有大量使用。欧几里得和阿基米德还研究了曲线，但大多数著作已经遗失。然后是阿波罗尼奥斯，他曾经在亚历山大港学习了一年多，大概又在那里教学，并将新的生命注入研究。简言之，他在圆锥截面（圆锥曲线）上的工作如同欧几里得100年前在圆上的工作，他还写了一部专著，其内容广泛，几百年内无人对该议题进行实质性的补充。该专著包括大约400个命题，分为8本书，我们对其内容较为熟识，其中7部仍然存在，4部用原文希腊语写成，3部为阿拉伯语译文。在此之外，我们还看到帕波斯（4世纪）和欧托基奥斯（6世纪）关于整部书的评论。

门奈赫莫斯曾经设想了几种圆锥截面（圆锥曲线），都从一个与圆锥平面垂直的截面获得，并且发现了三种不同的曲线，都源于角度分别小于、大于、等于直角的锥面。

阿波罗尼奥斯现在证实，所有三种曲线都可以从一个任何角度的单一圆锥获得。我们自己可以看到这一点，比如当我们将地面或墙上的电子火炬（手电筒）点着时，火炬会抛出一个单一的不晃动的锥形光，我们将光以不同角度落在地上，可以看到锥体不同的横截面。如果我们将火炬垂直指向下面，就会看到一个地上有一片光，显示出横截面的曲线是一个圆。但是如果我们将火炬通过一个小角度进行翻转，光片就会被拉长，横截面的曲线是一个椭圆（或拉长的圆）。如果我们继续翻转火炬直至它指向水平，横截面的曲线是抛物线。如果我们将火炬在同一方向上继续做更大翻转，使之有些微微向上，截面的曲线变成了双曲线。通常认为，锥面是从顶点向两个方向的延伸，但这种状态无法用火炬复制。当我们这样想象圆锥的时候，双曲线包括两条分离的曲线，如图12。

阿波罗尼奥斯还对圆锥截面（圆锥曲线）给出了现代仍然沿用的称谓：抛物线，意为“应用”；椭圆，意为“不足”；双曲线，意为“过剩”（这些名称在其等式中显得十分恰当：y2=αx抛物线；y2=αx-βx2，椭圆，由于有βx2，y2变得不足；y2=αx＋βx2，双曲线，y2由于βx2变得过剩）。

圆锥截面（圆锥曲线）因为在自然中的大量存在而获得了特殊的地位，但是希腊人并不知道这些，仍然想象着最自然的运动一定是以圆圈的形式存在的。这个观点后来不得不抛弃，因为开普勒在1969年发现行星按照圆锥截面（圆锥曲线）的方式运行，牛顿在1687年指出，它们的运行必须这样，因为其运动受到太阳引力的吸引βx2。

当这些曲线变得重要，希腊的研究方法便不再适用。该方法是构建一系列的命题，每一个都是由前面的命题通过严格的逻辑得出的——如同欧几里得在《几何初步》中的方法，进而形成了结论汇总。但是这样的汇总现在已经没有用处，如同阿哈姆斯在羊皮纸上所记录的算术结论合集一样，因为当代的方法在处理数字时可以给出毫不费力的方法，得出我们任何时候都需要的结果。门奈赫莫斯·欧几里得和阿波罗尼奥斯也类似地被所知的“解析几何”所超越代替。这一般认为是笛卡儿（1596—1650）和费马（1601—1605）的创新，我们将在后面的章节中介绍，但是解析几何很有可能在他们的时代之前就已经开始应用，甚至可以追溯到阿波罗尼奥斯。这个方法无疑更加直接，更加有力，更加确实，比希腊几何的摸索式进步得多。

这些最后提到的方法在阿波罗尼奥斯时达到极限，所以几何在基督教时代的科学大静止中几乎陷于停顿，一直持续了其后的多个世纪。在4世纪的下半叶，一个杰出的几何学家帕波斯在亚历山大港出现，但却生错了时代，因为那时人们对几何的热忱已经退去。他唯一的著作《合集》，是关于数学知识的汇总，并由于描述了已经佚失的其他著作中的内容而受到关注。数学家们仍然将帕波斯的名字和一个他在书中所详述的问题联系起来，但该问题只得到了部分解答，即，为一个点找到一条移动的路径，使其到一些线的距离之积与该点到另外一些线的距离之积成正比。欧几里得和阿波罗尼奥斯解决了这个问题的一些简单实例，笛卡儿以最通常的形式解决了这个问题。的确，正是这个问题使他被称为解析几何的创始人。

丢番图（古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家，代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究）几乎与帕波斯同时代，我们看到了另一位伟大的亚历山大数学家，他被誉为将代数学方法引入数学，当然也是已知作者中最早系统使用符号的人。他使用符号来表示乘方、相等、负数等，尽管有一些已经被佚失作品的作者更早使用过。

我们看到过欧几里得如何证明几何定理，方法与代数等式同型，其几何背景的原因是，他那个时代的希腊人通常通过长度和面积来考虑数量。例如，欧几里得将定理：

（a＋b）2=a2＋2ab＋b2

放入几何图形，图3-3“AB上的正方形等于AC和CB上的正方形之和，外加AC，CB上的长方形的两倍”。到丢番图时代，如果宣布一个没有几何图形解释的定理是非常罕见的（希尔罗宣称，一个以abc为边的三角形的面积是：

图3-3

而这种陈述方式是早期希腊人所认为没有意义的，因为几何表现需要思维空间。但是这种陈述非常不寻常，所以希尔罗为使用四个因子相乘而道歉，而在一个图表中，三个因子就足以说明问题）。数量科学挤入一个几何框框内，直至丢番图打碎框框，将其解放出来。

丢番图用这种新的代数方法解决一级和二级方程，例如线性和二次方程，形式为ax＋b=0和ax2＋bx＋c=0，令人感兴趣的是，他使用的方法正是今天学校中所教授的方法。他还解决了几个简单的联立方程，以及非常简单的三级方程x3＋x=4x2＋4。