垂直上射的炮弹

从一尊安装在赤道上的大炮里垂直向上发射的炮弹，会落在什么地方呢？这个问题以前在一本杂志里讨论过。那时设想的是一枚理想的炮弹，以每秒8000米的初速度发射出去，70分钟后应当达到6400千米（等于地球的半径）的高空。这是杂志里面的话：

“如果炮弹是从赤道上垂直向上发射的那么它从炮口飞出的时候也应当具有赤道上那一点向东前进的地球自转速度（每秒465米）。这枚炮弹就会以这个速度跟赤道平行前进。但是炮弹发射的时候炮台正上方的6400千米高的那一点，却是以两倍的速度沿着一个半径两倍的圆周向前移动。所以，它实际上会向东追过炮弹。当炮弹达到最高点的时候，就不会在出发点的正上方，而是在出发点的正上方以西。同样的情形发生在炮弹降落的时候。结果，炮弹在70分钟的向上飞以及此后向下落的过程中，就会移动到出发点以西大约4000千米的地方，这就是它下落的地方。要是炮弹落在它出发的地方，就不应当使它垂直发射，而是应当略微倾斜，此时的倾斜角度应该为5°。”

佛兰马理翁完全是用了另外一种解答方法。在《天文学》一书中，他这样写道：

“如果把一枚大炮垂直对着天顶发射出去，那么它一定还会回到炮口，虽然炮弹在上升和下落过程中都跟着地球自西向东运动了。原因很明显：炮弹上升的时候，它从地球运动中所获取的速度不会减少。它所得到的两种推力并不冲突：它一方面可以向上升1千米，另一方面又向东前进了6千米。它在空间中的运动大致是沿着一个平行四边形的对角线进行的。这四边形的一边是1千米，另一边是6千米。炮弹下落的时候，在重力的影响下，它沿着另一条对角线运动（准确地说，因为有加速度的影响，是沿着曲线运动）。因此，炮弹就会恰好又落回原来垂直的炮口。

“但是要进行这样的实验是相当难的，因为很难找到这制造十分精确的大炮，也很难将它安装得完全垂直。17世纪的吉梅尔森和蒲圻两人曾经做过这样的实验，但他们的炮弹在射出去之后就再也没有找到。瓦里尼昂在他的《引力新论》（1690）的封面上印了一张图画（图84）。这张图中有两个人——一个僧侣和一个军人。他们站在大炮旁边，抬头望上看，似乎是在观看那枚射出去的炮弹。图上的法文意思是：‘它会落回来吗？’这位僧侣就是梅吉尔森，军人就是蒲圻。他们做过好几次这样的实验，但似乎都因为没有瞄得很准，所以炮弹没有落回来。于是，他们就得出结论说，炮弹永远留在空中不会回来了。瓦里尼昂对于这一点表示惊奇道：‘炮弹竟会挂在我们的头顶！这太奇怪了！’后来在斯特拉斯堡重新做这个实验的时候，落下的炮弹在距离大炮几百米远的地方了。很明显，这是因为大炮没有真正垂直向上发射的原因。”

图84　垂直上射的炮弹。

我们可以看到，这两种解答方法完全相反。一位作者认为炮弹落在炮弹发射点的西面，另一位觉得炮弹应当刚好落回炮口。那么，究竟谁是谁非呢？

严格来讲，这两种答案都不正确，但佛兰马理翁的答案更接近真理。炮弹应当落在大炮的西面，但不会那么远，也不会刚好落回炮口。

然而这个问题不能用基本的数学来予以解答[1]。这里只能把推算的最后结果列出来。

如果用v表示炮弹的初速度，用ω表示地球自转的角速度，g表示重力加速度，那么炮弹落地的地方在炮身以西的距离用x表示，可以得到：

用上述算式解答第一位作家提出的问题，可以得到：

把数值代入第一个算式，得出x=50千米：炮弹落在大炮以西50千米处（并不是第一位作者所说的4000千米）。

那么佛兰马理翁所说的情况又如何呢？他所讲的情况中，发射炮弹的地方不是赤道而是靠近巴黎，纬度为48°。所以，这尊炮弹的初速度是每秒300米，因此我们可以得到：

得出：x=1.7米，也就是说，炮弹落在距离炮身1.7米处（而不是落在炮口）。当然我们没有把气流加在炮弹上的偏向作用计算在内，其实这种作用对计算结果是有影响的。