常用非参数检验

常用非参数检验_社会统计学

第一节　常用非参数检验

非参数检验又称自由分布检验，具体指在假设检验时不对总体分布形状加以限制的检验。但这里的非参数并不是指“不含参数或没有参数”。

一、基本概念

与参数检验相比，自由分布检验有以下优点:

首先，检验条件比较宽松，适应性强。自由分布检验对资料的要求不像参数检验那样严格，它适合于处理诸如非正态的、方差不等的或分布形状未知的资料。

其次，非参数检验的方法比较灵活，用途广泛。其不但可以应用于处理测量层次较高的定距、定比数据，也适用于层次较低的定类、定序数据。对于定类数据与定序数据，可使用符号检验、秩和检验等方法进行检验。

再次，自由分布检验的计算相对简单。由于自由分布的检验方法不用复杂计算，一般使用计数方法就可以了，因此，计数过程与结果解释都比较简单、直观与明显。

自由分布检验由于其要求的条件简单，缺点也十分明显。由于对原始数据中包含的信息利用得不够充分，非参数检验的功效相对较弱。当总体的分布形式已知时，基于这种分布类型的参数方法，一般说来要优于非参数方法。例如，对于一批资料，可同时适用于参数的t检验、非参数的符秩检验和符号检验。其检验功效是，t检验的最好，符秩检验次之，符号检验最差。这主要是由于符号检验对信息的利用最不充分，参数检验与自由分布检验是针对不同情况提出的两种统计方法，它们各有优缺点，可以互为补充。

下面简单介绍几种最常用的自由分布检验方法。

二、符号检验

符号检验虽然是自由分布检验中最简单的一种检验方法，但是这种方法却十分常用。该方法是建立在以正、负号表示样本数据与假设参数值差异关系基础上的，因此被称为符号检验。该方法既适用于单样本总体中位数的检验，也适用于配对样本差异显著性程度检验。

(一)单样本场合的符号检验

在单样本的场合，可以用符号检验方法，检验总体的中位数是否在某一指定的位置。

假设总体中位数是A，即H₀:M₀=A，H₁:M₀≠A，再从样本观测结果:

x₁，x₂，x₃，……，x_n

每个数据都减去A，只记录其差数的符号，即，当x_i＞A时，记正号；当x_i＜A时，记负号；当x_i=A时，特此数据剔除，不记录。设正号个数是n+，负号个数是n－，从理论上看，当原假设为真时，n+与n－应该很接近；若两者相差太远，就有理由拒绝原假设。这就是中位数检验的基本原理。

［例8.1］设有20个职工，他们月经济收入(元)，抽样结果如下；

1680　1630　1600　1720　1620　1680　1520　1530　1670　1650

1640　1420　1730　1650　1710　1860　1670　1700　1580　1600

试以α=0.10的检验水平，判定总体工人中位数是否是1600元。

解:第一步:作出假设。H₀∶Me=1600元，H₁:Me≠1600元，由备选假设知，这个检验是双侧的。

第二步:计数。对样本数据，大于160的记下“+”，小于160的记下“－”，等于160的予以删除(以0记之)，结果如下:

+　+　0　+　+　+　－　－　+　+

+　－　+　+　+　+　+　+　－　0

计数以上“+”的个数是n+=14，n－=4，剔除数据2个，最后有效的样本个数为n=(n+)+(n－)=18。

第三步:确定拒绝域。显著水平α=0.10，由于进行双侧检验，拒绝域分布在两边，每侧概率α/2=0.05，查二项分布临界值表(附表5)，由n=18，查得拒绝域的临界值是13。

第四步:选择n+，n－较大者n+=14，再与临界值比较。结果是n+= 14＞13。

第五步:判断。由上一步的比较结果可知，样本落入拒绝域，所以拒绝原假设，认为样本数据不能证明总体中位数等于1600元，或者说职工月收入中位数不等于1600元。

(二)配对样本的符号检验

配对样本是指一个样本出现两个不同的观察值，如经过培训前后的两个成绩、父母亲的不同受教育程度、实验过程中的实验组数据与对照组数据，问这两个观察值是否有明显的差异。检验实验结果是否存在显著的差异，这就是—种配对样本场合，可通过符号检验方法来确定两组配对样本间是否有显著差异。配对样本数据是一种特殊型数据，其位置的变动必须是成双成对地移动。

配对样本与单样本符号检验基本原理是一致的。从两个总体中分别抽出一个容量相等的样本，然后将样本的数据进行一一配对，得到一组配对值。再将各对配对值相减，记录下差数的符号，计算出“+”的个数n+与“－”的个数n－。如果两个样本的总体差异不显著，配对值之差的正负号出现的概率各是1/2，则n+与n－应当非常接近；如果n+、n－相差太大的话，说明两总体存在显著差异。

［例8.2］某教师随机抽取10个学生，调查教学前和教学后的学生成绩以了解教学效果，见表8.1。

表8.1　　　　　　　　　　10个学生教学前和教学后的学生成绩

问教学是否对学生的成绩有影响?

第一步:作出假设。H₀∶p≤1/2　　　　H₁∶p＞1/2

原假设是教学对学生成绩没有任何影响，正、负号出现的概率相同，都是1/2。假设是教学对学习成绩提高更有利，正号出现的概率大于负号出现的概率。因此检验是一个右侧检验。

第二步:计数n=(n+)+(n－)=9，Max(n+，n－)=6。

第三步:确定拒绝域。显著水平α=0.05，由于进行右侧检验，拒绝域分布在右边，在n=9，单侧检验的情况下，查二项分布临界值表(附表5)，得到拒绝域的临界值是8。

第四步:比较正号个数6与临界值8，结果是8＞6。

第五步；判断。由比较结果可知，样本落入接受域。所以，没有足够的理由拒绝原假设，教学对学生成绩的影响不明显。

符号检验的优点，它对总体的分布、方差的同一性等都不作任何假定，只需通过差数确定正负号的个数就可以了。它适用于测量要求不太精密的场合，也适合于那些不能和不宜于定量测量而只能定序测量的场合。然而，符号检验的缺点是，其仅考虑差异的方向，不考虑数量差异的程度，从而丧失了一部分可资利用的信息。应该注意的是，如果样本量n≤25，作为二项分布处理比较合适；如果n＞25，则适宜作正态分布处理。

三、秩和检验(Wilcoxon带符号的等级检验)

为弥补符号检验对数据信息利用不充分，有人提出秩和检验方法。秩和检验方法也可用于检验两个独立的样本是否来自同一个总体，或判断两总体间是否存在显著性的差异。它与符号检验最主要的区别是:符号检验只考虑样本间差数的符号，而秩和检验还要考虑差数的顺序，比符号检验利用数据信息更加充分，因此，检验功效就更强。应注意的是，秩和检验也只是利用样本差数的顺序或位置，并没有利用样本差数数值本身，因而比参数检验利用样本数值本身的信息要逊色一些；但是，参数检验受总体分布已知这一条件的限制，而秩和检验就不受这个限制，这又是秩和检验的长处。这种方法可以用于配对样本，同样可以用于非配对样本的差异检验。

设分别从两个未知的总体独立、随机地抽取容量为n1和n2的样本，把样本容量较小的总体称为总体Ⅰ，容量较大的总体称为总体Ⅱ；如果两样本容量相等，就把任意一个总体称作总体Ⅰ，另一个称作总体Ⅱ，可设n1≤n2。

(1)现将两个样本混合起来，并按数据的大小从小到大排列编号，每个数值的编号就是它的秩次。(2)如果混合样本中有若干个相同的数值，则把它们的秩次进行简单算术平均，用此平均值作为这些数值的秩次。(3)计算来自总体Ⅰ(或正号)的n1个数据在混合样本中的秩次之和，记为T+，总体Ⅱ(或负号)的n2个数据在混合样本中的秩次之和，记为T－。(4)将较小的T值作为T检验统计量。(5)设定显著性水平α。(6)由Wilcoxon检验表(附表9)或“秩和检验表”(附表6)给出临界值，进行判别，分析结果。

由于T的分布与n1和n2的大小都有关，因此秩和检验中的临界值的确定有两种方法。

第一种方法，当n1和n2都不超过10时，查“秩和检验表”(附表6)确定临界值；

第二种方法，当n1和n2都超过10时，秩和T服从平均数n1*(n1+n2+ 1)/2，方差为n1*n2(n1+n2+1)/12的正态分布:

T～N［n1*(n1+n2+1)/2，n1*n2(n1+n2+1)/12］　　　　(8.1)

先对T进行标准化变换，再利用标准正态分布表，确定检验的临界值。下面通过具体的例子，说明秩和检验的应用。具体使用请参考张彦的《社会统计学——原理与方法》(南京大学出版社，1997:389～393)。

［例8.3］某教师随机抽取10个学生，调查教学前和教学后的学生成绩以了解教学效果，见表8.2。

表8.2　　　　　　　　　　10个学生教学前和教学后的成绩及其等级差

试以0.05的显著性水平，检验教学是否对学生的成绩有影响?

解:n1=6，n2=3

第一步:作出假设。H₀:M_前=M_后，H₁:M_前≠M_后

原假设是教学对于学生的成绩没有影响，成绩差异不明显，备择假设是教学对于学生的成绩有影响，学生成绩差异明显，属于双侧检验。

第二步:求秩和。将样本混合、排列，n1=6，n2=3。第2个样本容量小，故取负数的秩和T=T－=3+6.5+1=10.5，正数的秩和T+=34.5。现在问题是正数秩和与负秩和是否有明显差异?

第三步:确定拒绝域。

显著水平α=0.05，进行双侧检验，查“秩和检验表”附表6，在n1=6，n2=3情况下，查得Tl(α)=8，T2(α)=22。

第四步:比较秩和与临界值大小，结果是:8＜10.5＜22，即T1(α)＜T＜T2(α)。

第五步:判断。样本落入接受域，所以接受原假设，样本数据证明负数秩和与正数秩和无明显差异。即教学对学生成绩影响十分小。

四、游程检验

游程检验经常检验二分类数据，一般是按时间或某种顺序排列的数列资料，视其是否呈现随机变化。具体做法是将连续的相同取值的记录作为一个游程，比如在投硬币时，如果以1表示正面，以0表示反面。在进行了若干次投掷后，将得到一个以1、0组成的数据序列，如:11100110110001。最前面的3个1为2个游程，游程的长度为3，随后的两个0为第2个游程，游程长度为2，……整个序列为7个游程，最长游程长度为3。

游程检验主要进行样本的随机性的检验，但实际多应用于检验两个总体之间的差异是否显著。游程检验的基本原理十分简单:先将两个样本混合起来，按照大小排列，并赋予其秩。如果总体1的样本明显高于总体2的样本，那么将总体1、2样本混合起来以后排序，如果总体1都是高秩，总体2都是低秩，则表示总体1明显不同总体2。如果总体1和总体2的秩次随机交错，那么通过两个样本交错的次数(游程数)来检定两总体是否有显著性差异。

游程是指一个重复出现的某一种类字符串段。同一类的游程出现的次数，称游程数。不同类游程数的和，称总游程数。总游程数R的最小值是2，在n1与n2不相等时，R的最大值是2*min(n1，n2)+1；在n1=n2时，R的最大值是n1+n2。当R取得最大、最小值时，字符串的排列是最有规律的。R取值适中时，字符串的排列就较零乱。游程检验可用来检验一个样本是否是“随机”地来自总体。样本中具有某特征的单位分布得越“零乱”，越不具有规律性、倾向性，越说明样本的随机性强。通过“游程”概念，来反映样本分布的特征。

游程检验一般是根据游程个数进行检验。检验的具体方法如下:

(1)假设两总体相互独立，分别从第一、二总体中随机抽取n1、n2个样本，将其混合，并按数值大小排序；

(2)计量游程数量n。根据显著性水平α，根据附表7确定否定域r_0.05(n1，n2)；

(3)检验零假设。

［例8.4］为了考察两个城市养老院硬件和服务质量，组织专家考察了两个不同的城市，A城随机抽取了18个养老院，B城抽取20个养老院，并记录下这38个养老院的得分。

A城:75　69　58　79　69　68　57　89　79　76

　　63　96　85　57　77　76　81　90

B城:78　89　98　95　75　78　46　78　96　60

　　78　85　76　84　79　85　86　87　86　70

问两个城市养老院软硬件是否有显著性差异?(α=0.05)

(1)原假设H₀:两个城市养老院软硬件无差异，其间差异是随机的。

(2)先将序列A和B分别进行排序，然后混合排序如下，其中带下划线的为B城。

98，96，96，95，90，89，89，87，86，86，85，85，85，84，81，79，79，79，78，78，78，78，77，76，76，76，75，75，70，69，69，68，63，60，58，57，57，46

(3)n=17，而附表7中的临界接受范围为r_0.05(18，20)=(13，27)

(4)判断:在接受范围之内，即两个城市的养老院没有本质性差异。

上面通过查表确定检验的临界值，这个方法要求样本容量n1与n2都相当小。当n1与n2较大时(其中一个大于20)，直接查表方法就不可行了。不过，对于大样本场合，游程总数R近似服从正态分布，因此，可以用正态分布统计量来确定检验的临界值。R的均值μ与方差σ²公式是:

Z=(R－μ)/σ～N(0，1)　　　　　　　　　　　　　　(8.4)

若Z统计量服从标准正态分布，若计算值在(－1.96，1.96)区间外，就在拒绝区间或否定区间，两样本差异大；反之，认为两样本变量无显著性差异，抽样是随机的。

［例8.5］一年52周，某地周一下雨的天数为19天，非下雨为33天，如果按照时间序列可以分30个游程。现以0.05的显著性水平，分析下雨事件是否随机的。

解:n1=33，n2=19，R=30，由此计算出R的均值μ=25.12与方差σ²=10.93。

1.原假设H₀:该地下雨事件是随机的

2.计算R的均值μ=25.12与方差σ²=10.93

3.计算出检验统计量:Z=(R－μ)/σ=(30－25.12)/3.31=1.48＜1.96

4.临界值Z_α/2=Z_0.05=1.96

5.结论:|z|＜Z_α/2，没有足够证据拒绝原假设

具体参考:Mario F.Triola.初级统计学.刘新立，译.北京:清华大学出版社，2004:642.