概率与道德科学

对于18世纪的实践者，对于由道德科学所探求的理性的个体的思维过程的分析，古典概率论看起来是唯一合适的数学工具。通过将引导那些具有理性的精英行为的一些法则编撰成典，概率学者希望这些精英的理性法则为所有人所接受。而当被理解为工具的数学结果与这些理性的判断相矛盾时，数学家们就用启蒙的观念转而去尝试重新安排数学的结果。要理解概率的理论为什么对来自数学以外的压力如此敏感这种现象，还必须求助于启蒙时代人们对于数学的本质的理解。当时的数学被认为是自然科学的一部分，数学包含了关于物理世界的各种现象本质的理论，所以被称为混合数学（Mixed Mathematics）。这个词来源于亚里士多德在他的《物理学》（193b22-194a15）中解释声学或光学是怎样将数学的形式与声音和光的物质混合在一起的。与更现代的应用数学相比，混合数学并不必需假设一个被应用到各种主题中去的先验的独立的数学理论，对于混合数学家来说，数学是对自然和社会的描述，这意味着在一类给定现象的重要特征和描述它的数学的模型之间必须获得即使不是完全的，也必须是近似的一致。由此，实践就成为检验它的一个重要标准，如果数学的描述明显地偏离了现象，那么混合数学家就要义不容辞地修改他们的理论，和月球运动的数学理论一样，数学概率也是可以修改的。18世纪的概率学者把概率论理解为混合数学的一部分，它不能独立于其主题而存在，即理性人的信念和行为，所以，要接受启蒙学者们的实践观念和行为经验的检验。

概率论是对人的“理性”的数学描述，在实践中，当数学结果与理性的判断尤其是与对理性的理解相抵触时，秉持着“混合数学”观念的18世纪的概率学者们就急切地重新检验他们的前提和证明，不断地对期望的定义与有关的理论进行修订和调整，以使之在法律、经济或者心理学中的应用更有效。在这个过程中，对于著名的圣彼得堡悖论的争论起到非常重要的作用。

尼古拉·伯努利（Nikolaus Bernoulli，1695—1726）于1713年在给皮埃尔·蒙特莫特（Pierre Montmort，1678—1719）的信中提出一个问题：甲乙两人开始玩一种掷硬币的游戏，游戏的规则是：甲掷硬币，如果第一次掷硬币就出现正面，那么乙付一个先令给甲；如果在第二次投掷中才出现正面，则乙付两个先令给甲；如果在第三次中才出现正面，则乙付甲四先令；在第四次中才出现正面，则付给甲八先令；以此类推。为了使游戏对于两名选手都公平，在游戏开始前甲将多少钱预付给乙（甲的赌注，或称参加费），才能使这场游戏为公平的？1738年，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）研究了这个由他哥哥提出的问题，并在彼得堡科学院的《进展》杂志上发表，从此这个问题就以圣彼得堡悖论而著称。

基于当时的理解，游戏若是公平的，甲的赌注应该等于他所赢得的数学期望。根据数学期望的定义，A的数学期望是：

这是一个无限大的数。因此，甲必须预付无限多的钱给乙。这个计算结果显然是荒谬的，没有任何一位理性的人愿意付很多的钱参加这种游戏。而实际的情况却是甲每次只需预付比较小的参加费，即可以使这个游戏是公平的。

这个问题之所以被称为悖论并不是因为有效的假设和方法与所推导出的数学结果产生矛盾，而是因为标准的数学分析的结果显然与常识相抵触。在对这个问题的讨论中，人们认为期望的定义是这个问题的核心，所以，令人满意的解决方法是必须用理性人的观点来重新定义期望。

1738年丹尼尔·伯努利提出要区分两种意义上的期望：一种是“数学期望”（mathematical expectation），另一种是“道德期望”（moral expectation）。数学期望对应着传统意义上的期望——事件的值与事件发生的概率的乘积之和。丹尼尔·伯努利注意到：数学期望的这种标准定义是基于一个等可能性的假设——每个参与者都冒着相同的风险，所以应具有“尽可能满足其愿望”的相同前景，这个概念忽略了游戏参与者的个人具体情况。这样，伯努利就把“数学的”期望与投机性合同的法律内容联系起来，依靠一个确定的数就平衡了不确定的期望。数学期望就将法官在从参与合同的各方而获得的直觉公平量化了，保留了合同法的术语和目标。

丹尼尔·伯努利的“道德期望”认为必须考虑到参与者的个人背景，以及从结果中所获得的满足度。即道德期望是每次结果所产生的效用，这种效用会随着不同的参与者而不同。丹尼尔·伯努利把道德期望定义为“平均效用”，即每次结果的效用与其概率乘积之和。他举例说：一个穷人如果有百分之五十的可能赢得20 000达克特（ducat，当时流通的货币），那么在抽彩中如果不抛出他的9 000达克特的彩票就是傻瓜。相反，一个富有的人在相同的情况下买进相同数目的彩票则是明智的。总之，人从冒险行为中所得到的利益必须顾及参与者的财产、环境和他们的能力等个体的因素。道德期望是对期望的一个经济学角度的解释。

达朗贝尔也对这个问题进行了论证，但是，他反对单纯地基于道德期望之上的论证。他认为，尽管伯努利关于游戏者的财产、环境和他们的能力等因素的思考使得概率论的某些结果更为精致，但是这样就把人类的冒险行为过于简单化了。他认为严格的数学理论未必一定可以应用到自然的物质世界中。理性的判断有时会与数学推理不一致。从物理的角度来看不可能连续投掷出一百次正面朝上，如果这种现象确实发生了，一定是硬币有问题，而不是数学理论的正确。

尽管不满意伯努利对于古典期望的选择，达朗贝尔承认他自己也没有成功解释理性的行为，甚至在简单的赌博情况中。例如，一个可能获得巨大奖金的彩票，比如是一百万法郎，但是只有很小的赢得的可能性，比如是0.000 1，而古典期望定义会为每一张彩票提供100法郎的诱人的期望。但是，谨慎将会劝阻这样的一次投资。对于达朗贝尔来说，这种在数学期望和谨慎之间的不和谐暴露了概率论中的严重缺陷，这种缺陷使得它不能精确地描述理性行为。

就像丹尼尔·伯努利和达朗贝尔之间的争论所表明的那样，法律的、经济的、甚至物理的成分都交织在理性和期望的概念之中。法国博物学家布丰（Georges-Louis de Buffon，1707—1788）又提出了一个心理学的解释，在其《自然史》的附录“道德算术”一篇中，布丰将确定性分成等级，从数学的“纯智力”真理到建立在大量的证据之上的物理的确定性，一直到较弱概率的道德确定性。布丰认为，人们在冒风险时做出的判断依赖于个体如何权衡希望赢和害怕输的心理，每个个体在一次冒险中看到的并非相同的价值。这是一个关于期望的心理学的标准，虽然它仍然与理性的行为和信念联系在一起。

在布丰之后，有更多的数学家参与到这个问题的讨论中，包括法国数学家孔多塞等。最后对这一问题做出总结的是拉普拉斯在其《概率的分析理论》的第十章中给出的。在这一章中，拉普拉斯把由丹尼尔·伯努利提出的道德期望的一些问题进一步从数学分析的技术角度进行讨论。他把数学期望看作道德期望的极限，不仅是财富的分配，而且对风险的分配也是如此，这是风险规避理论的萌芽。在这里，他重新证明了丹尼尔·伯努利曾经提出的三个定理：“即使公正的赌博也总是损失的游戏”；“化解风险总是有益的”；“投保是有益的”。拉普拉斯关于这三个证明的结构总体上是一致的，主要是为了说明道德期望比数学期望的值要小。所以，拉普拉斯得出结论说：“……因为参与者用一个确定的赌注去换取一个不确定的利益，所以，即使是最公平的游戏也会有其不利的一面”^[33]，在这里，拉普拉斯是想从道德期望证明机会性游戏的有害后果，以便为谴责赌博活动提供数学的依据，规劝人类远离赌博。他向政府呼吁制定一些培养“人们的天然倾向中的最好的一面”的计划，以免使人陷入赌博的陷阱中。

尽管拉普拉斯凭借基于道德期望的研究结果提出了这些有益的建议，但是达朗贝尔和其他人对于这个理论的批评和提出的反例还是为之投下了一丝阴影，所以，在对于道德期望理论应用于道德研究的有效性表示乐观的同时，他还警告道：包含越多心理因素的期望，其复杂性就越难以控制：“由一个期望和所获得的道德的进步依赖于涉及每个个体的无穷小环境，这些无穷小的因素是不可能被清晰的计算出的。”

圣彼得堡悖论作为对概率期望理论的一次实践检验的最终结局是不了了之。至19世纪中期，将道德科学数学化的其他尝试也大都失败了，数学期望在概率论研究中的作用已经发生了变化，正像道德科学已发生的变化那样。此时启蒙特色的道德科学已让位于社会科学的研究。道德科学的研究者相信社会整体或社会结构仅仅是来自它的个体成分，关于社会整体的陈述能够依据对个体特性的陈述来解释，而不是把社会和文化作为他们分析的基本单位。他们对于人类现象的解释在很大程度上是心理学似的。相反，19世纪的社会学家们则更多地回避了对社会成分的心理学解释，而将研究的焦点转向社会的整体画卷，即在整个社会中寻求一些宏观的规则，他们经常关注的是一些描述诸如犯罪、自杀等一些非理性的社会整体现象的行为。随着这种社会思潮的转向，概率统计学家也就失去了他们的学科素材。更进一步，彼得堡悖论在概率论的数学理论中并未出现任何逻辑上的矛盾，而数学理论所导出的结果与现实结果的严重不符合导致了人们对概率论中期望应用价值的怀疑，进而导致人们失去了数学有效性的判断标准。于是，他们也不再把关注的焦点集中在理性的个体或者一些特殊的个体上，随之数学期望也就失去了其作为概率论的中心地位，而让位于统计分布和大数定律的研究^[34]。