间的关系及其特定的对当关系

一、同素材A、E、I、O间的关系及其特定的对当关系

判断间的关系，是根据判断间的素材确定的。根据素材的同异，可以确定出判断间的各种不同的关系。所谓判断的素材，指的是判断的名词，即概念本身。它全不涉及判断的质量。如果两个（或更多）判断的名词相同（S和S相同，P和P相同）。它们就是同素材的判断；如果两个（或更多）判断的名词不同（S和S不同，P和P不同，S同而P不同，P同而S不同），它们就是不同素材的判断。

同素材的A、E、I、O四个基本类型的判断间的关系，通常用一个图形表示。这个图形叫作“逻辑方阵”（或“逻辑的〖正〗方形”）。

从这个方阵中可以知道它们之间共有四种关系，即（1）大反对（或称上反对）关系，A与E之间是这种关系；（2）从属关系，A与I，E与O之间是这种关系；（3）矛盾关系，A与O，E与I之间是这种关系；（4）小反对（或称下反对）关系，I与O之间是这种关系。（对于有某种关系的判断的称谓。）^[49][50]

所谓判断的对当关系，是判断间的一种特定关系，即真假关系。明白了这种关系，就能由一个判断的真假，推出相应相对的判断的真假来。在这里，即是譬如知道A真，便可以推出E、I、O三个判断的真假来；譬如知道E假，便可以推出A、I、O三个判断的真假来，等等。

下面我们且简要地（但并非严格的形式逻辑的）来说明A、E、I、O之间的这种对当关系。

（一）大反对关系（A与E）

例如：“所有中文科同学都（是）热爱中文专业（的）。”（A）^[51]

“所有中文科同学都不（是）热爱中文专业（的）。”（E）^[52]

如果A是真的则E一定是假的，如果E是真的则A一定是假的。^[53]

但如果A假，却不能断定E的真假^[54]，E可真可假。如果谈到的这类对象都不具有A中反映的属性^[55]，则E真。如果这类对象中有一部分^[56]对象有A中反映的属性^[57]，则E假。

如果知道E假，也不能断定A的真假；A也可真可假。如果谈到的这类对象都具有E中^[58]反映的属性^[59]，则A真；如果这类对象中有一部分对象不具^[60]有E中反映的属性^[61]，则A假。（这就要考核事实才能知道。）^[62]

（二）从属关系（A与I，E与O）

例如：“一切液体有弹性。”（A）

“一些液体有弹性。”（I）^[63]

如果A真，显然可见I也真（“有些”是“至少有些”的意思），同样，“一切同学不是喜欢2分的”（E），“有些同学不是喜欢2分的”（O），如果E真，O也一定真。^[64]

反过来，如果I或O假，那么A或E也一定是假的。^[65]特称假，全称假。另外，I或O真，都不能断定A或E的真假，A或E可真可假。如：“我班有些同学喜欢音乐”（1）真，我班全体同学是否也都喜欢音乐，则不能据此断定（要断定^[66]，又要考核事实才行^[67]）。O与E间同样的情况也是如此。我们不能仅仅知道“我班里有些同学不是喜欢跳高的”（O）真就断言“我班全体同学都不是喜欢跳高的”（E）也是真的。^[68]

如果A或E假，我们也不能断定I或O的真假。I或O可真可假。^[69]。如知道“我班全体同学是喜欢画画的”（A）假，仅仅据此，我们无法知道“我班有些同学是喜欢画画的”（I）之真假。也许我班有一些同学喜欢画画^[70]，也许竟一个也没有^[71]，这也要求断于事实才行。E与O间同样的情形^[72]，也是如此，不赘。

（三）矛盾关系（A与O，E与I）

例如：“本班所有同学都〖是〗做了逻辑习题的。”（A）^[73]

“本班有些同学没有〖不是〗做了逻辑习题〖的〗。”（O）

显然这两个判断不能同时都真，如果A真则O假，如果O真则A假。也很显然，这两个判断也不能同时都假，如果A假则O真，如果O假则A真。^[74]

E与I之间这种情形也是如此，即E真I假，I真E假，E假I真，I假E真。例如：

我班所有同学都不是喜欢画画的。（E假）

我班有些同学是喜欢画画的。（I真）

（四）小反对关系（I与O）

例如：“有些中文科同学是热爱中文专业的。”（I）

“有些中文科同学不是热爱中文专业的。”（O）^[75]

如果I假。I假的话，根据上说矛盾关系的一般法则，就可以断定E真^[76]。E真再根据上说从属关系的一般法则，就可以断定O真^[77]。因此，I假则O真。反之，如果O假，O假则A真^[78]，A真则I真。因此，O假则I真。^[79][80]

如果I真，按矛盾关系的一般法则，I真则E假；再按从属关系的一般法则，E假，O则可真可假。因此I真，O则可真可假〖如“一些三角形是直角三角形”（I）真，则“所有三角形都不是直角三角形”（E）假（矛盾）。但“一些三角形不是直角三角形”（O）真（从属）。“直角三角形”并非三角形的本质属性，它可为部分三角形所有，也可为部分三角形所无，所以此时（I）（O）都真。另一方面，如（I）肯定的，（O）否定的是本质属性，这就是说（I）（O）的真，在质不在量，量则相应的地方（O或I）仍是错的。如“一些金属是导电体”（I）真，“所有金属是导电体”（A）真；而“一些金属不是导电体”（O）却假（A、O矛盾），所以此时I真而O却假〗。反之，如果O真^[81]，也不能就此断定I的真假，I也是可真可假，道理同样。〖同理，如（O）否定的是本质上所没有的属性，O的真在属不在量，那么（I）也是错（假）的。如“一些物体不是绝对静止的”（O）真，“所有物体不是绝对静止的”（E）也真（从属），而“一些物体是绝对静止的”（I）却错（E、I矛盾），此时O真而I假。〗^[82]

上说A、E、I、O间的特定的对当关系，可以用表总结，以助记忆。（表）

二、不同素材A、E、I、O间的关系及其特定的对当关系

不同素材的判断间的关系，首先应分为可比较的与不可比较的关系。不可比较的，形式逻辑并不研究，道理和不研究不可比较的概念一样。

可比较的判断间的关系，可以分为同一关系、从属关系、矛盾关系、对立关系。以下我们简单地分别说一下。

（一）同一关系

有同一关系的两个（或者更多——我们在这一部分则都以两个为例来说明问题）判断，是它们有一个名词（S或P）相同，而另一个名词（P或S）是同一概念的判断；或者表达同一个思想内容的两个判断，称为“同一判断”。

前者如：“我们热爱国旗”和“我们热爱五星红旗”；“人民中国是伟大的”和“我们的祖国是伟大的”。^[83]

后者如：“唯心论是非科学的世界观”和“唯心论不是科学的世界观”。又如：“我班同学都是优等生”和“我班每个同学的总成绩都不低于优等生的标准”。

同一判断中，知道一个判断为真，则另一个也一定真；知道一个为假，则另一个也一定假。

（二）从属关系

有从属关系的两个（或更多）判断，是它们的S间有从属关系，而P为一个概念，或同一概念；或者S和P都分别为从属概念的判断，称为“从属判断”。

第一种情况的例子如：“九年来我国各项建设事业都在突飞猛进”和“九年来我国教育事业在突飞猛进”；“中国人民热爱自己的国家”和“我热爱祖国”。

第二种情况的例子如：“鲁迅是我国的伟大作家”和“鲁迅是我国的伟大的革命现实主义作家”；“《阿Q正传》的作者是我国的伟大作家”和“鲁迅是我国的伟大的革命现实主义作家”。

第三种情况的例子如：“我国的各项建设事业都是我国人民所拥护的”和“我国的人民教育事业是我们所拥护的”。

从属判断中，知道前一个判断是真的，就可以推出后一个判断也一定真；知道前一个判断是假的，却不能推出后一个判断的真假——后一个判断可真可假。知道后一个判断是假的，就可以推出前一个判断也一定假；知道后一个判断是真的，却不能推出前一个判断的真假——前一个判断可真可假。

（三）矛盾关系

有矛盾关系的两个（只能是两个）判断，以两个矛盾概念分别作宾词组成的一对判断，而此时无第三种情况的判断，称为“矛盾判断”。^[84]

如“《胡笳十八拍》为蔡琰所作是真的”和“《胡笳十八拍》为蔡琰所作是假的”，“唯心论是非科学的世界观是真的”和“唯心论是科学的世界观是假的”。

此外，矛盾判断有另一种，它的形式较为特殊，即两个S为一个判断（或同一判断），而P分别为“真的”和“假的”。

又如：“这个国家是社会主义国家”和“这个国家是非社会主义国家”，“所有文章是好的”和“所有文章是不好的”^[85]，“所有教师是脑力劳动者”和“所有教师是体力劳动者”。^[86]

矛盾判断在反映同一时间、同一关系下的同一对象时，一个真另一个必假，一个假另一个必真。

（四）对立关系

有对立关系的两个（或更多）判断是其中一个判断肯定S有P（P1），另一个不仅否定S有P（P1），而且还肯定了S有其他的和P（P1）对立的P（P2）的两个判断，称为“对立判断”。

如：“这个国家是社会主义国家”和“这个国家是帝国主义国家”。^[87]

对立判断在反映同一时间^[88]、同一关系下的同一对象时，必然至少有一个是假的，也可能两个都是假的。因为有第三种、第四种……情况存在。如上例“这个国家”也许是和平中立的国家。

以上四种判断的具体形式，大多没有穷尽其可能，有待隅反。

（五）各种判断间的复杂的通变。（略）

【注释】

[1]如：“石油是矿产”，石油是完全确定的思想对象，对它肯定着“是矿产”这一性质。

[2]因而某人把这个概念只归之于位于欧洲的国家，则表示它“是一个真的欧洲国家”的概念。

[3]负判断：一判断前加“并非”，即判断的否定，属复杂判断，如：“并非所有金属都比水重。”公式：
“并非P”（设P为一判断）。

[4]“所谓关系即对象与对象间，对象与属性间，属性与属性间的一种联系的表现”，“对象和属性是关系的承担者”。关系是多种多样的，如：空间关系、时间关系、数量关系、亲属关系、包含关系……不过就关系的性质来说，大致可分为两类，第一表示对象之间同一性的等于关系（A＝B，A是B），第二表示对象之间差异性的等差关系。如：（A＞B）、（A＜B）。因此构成等于推理和等差推理两型。

[5]“苏联愈弄得好〖A〗，它们〖B〗愈〖急于〗要进攻，因为它们愈要趋于灭亡〖另一因〗。”共进关系。

[6]一位宾词，二位、三位……宾词。

[7]“准”；“一定”；“管保（准保）”；包管。
“所有”最初的意思只是“有”，后来“所有”本身就表示“一切”之意。
“任何”是无论什么的意思。“任何人”等于说“无论谁”，“任何”有时等于“一切”，但若在否定语的后面，咱们只说“任何”，不说“一切”。如“人们一直以为北极上不会有任何生命存在”。

[8]是任何一个判断在量这一方面的属性和标志，是客观事物的数量方面在思维中的反映。

[9]一切、全部、凡（凡是）、每一个、任何、任何一个、没有一个……不是、没有一个……是。

[10]（不是“个体判断”只有P属性为S所特有的，才称为个体判断。如“白居易是《长恨歌》的作者”、“火星是一个发红光的行星”。单独判断中P却不一定为S所特有。）

[11]某些、一些、不少、几乎所有、至少有一个、至少有些、一般、仅仅有些、绝大多数……

[13]不确定的特称判断。

[14]“只是有些金属重于水”。确定的特称判断。

[15]实际是综合了两个特称判断的知识，即“有些S是P”和“有些S不是P”，而其中一个则是暗含着的。

[16]不同的模态是反映客观世界的必然性和可能性的。

[17]不可能性判断、可能性判断。

[18]“可能”是说基本有实现的可能，是说那事或者（也许）会实现。但最近也有种新用法，即不代“或者”意，如说“社会主义社会或为可能”就等于说“社会主义社会能够实现”了。

[19]联断判断（复合宾词判断）据此可认识同一对象（单、特、全）的许多不同属性的相容性与共存性。“S是（不是）P1、P2、P3……”
复言判断（复合主词判断）其宾词可以是简单的，也可是复合的。这反映出不同对象或几类对象属性的共性。“S1、S2、S3……是（不是）P。”简略式。
复合主宾（连主合宾）判断：“S1、S2、S3……是（不是）P1、P2、P3。”

[20]成为联断，（复合宾词判断），公式——

[21]成为复言（复合主词判断），公式——

[22]连主合宾，公式——

[23]其他复杂化判断也有之。

[24]实即简单判断。为P，为S，则是它（简单判断）在省略式中的表现。

[25]简称选言判断，它是最重要的一种选言判断。确定范围、认识、推理方面。

[26]排他的二元选言判断，尖锐地提出问题无法避开（从逻辑方面看有一种逻辑力量）。
“关于世界大战问题，无非是两种可能：一种是战争引起革命，一种是革命制止战争。”

[27]否定选言，并非A或B

[28]“既是……又是……”（相容）＝或是A，或是B；或是A，又是B。“或是……或是……”“不是……就是……”“要么……要么……”和只用“还是”的。

[29]反映客观事物之间的条件制约关系。

[30]“……的话”放在句尾，表示假言。“不的话”在某种情况下等于说“如果不如此的话”。

[31]此四式为非区别假言判断之所有者。

[32]还有联系词为“除非……不……”的一种，形式是“除非A是B，C不是D”。这种形式中，前后件关系与上说的相反，即前件为后件的必要条件，而非充分条件，后件是前件的充分条件而非必要条件。其详可略，“当……时”、“假如……就……”、“倘若……就……”、“只要……就……”、“只要……总……”、“当……就……”、“没有……就……”

[33]前后件这种关系是客观赋予的——备忘。
为充分条件与否，有时是某一条件（标准）所赋予的。如二难推理中所举普洛太哥拉斯师生打官司时所说即是：“法律”使前件为后件之充分条件，“合同”使前件为后件之充分条件。这虽可说是主观的，但说到底也是为客观（社会生活的秩序）所决定的。是否充分条件，是客观决定的；但有时不推到最后则也可是主观的记于此备忘。
构成假言判断的前后件可以都是假的，但假言判断本身不一定就是假的。例如：“如果能找到长生不老的药，那么太阳就会从西边出来。”此中前后件都是假的判断，但整个假言判断却是真的。因为前后件间的依赖关系是真的，是与客观相符合的，所以说假言判断的真实性不决定于前后件是否真实，正因此，有时前后件都是真的，却假言判断本身是假的。如：“喜鹊叫，客人到”、“雪是白的则水银就有弹性”。因为，现实中并不存在这种依赖关系。（人大说）

[34]必要条件，有之未必然，无之必不然。

[35]四边形的一组对边平行是该四边形为平行四边形的必要条件（非充分），有时具备这一条件，四边形也可能不是平行四边形（梯形）。必要条件常常叙述为否定理或逆定理，如：“如果一个数各位数字之和不能被3除尽，则该数也不能被3除尽。”“一个数能为3除尽，则它的各位数字的和也能被3除尽。”

[36]不是只要有了工人阶级就能在这个国家胜利地实现社会主义革命。

[37]（“仅仅是充分的”）。

[38]若二数均能被5除尽，则其和也能被5除尽（每一个数的可除性对于和的可除性是充分的）。（在此能为2除尽，则是既充分又必要的条件）（非必要的，仅是7＋8＝15。）“若二角是对顶角，则它们相等。”另一种说法：“为了使二角相等，充分的条件是该二角为对顶角”。
前一正定理可看作为充分的特征；当（非对顶角便可能为相等的）定理或逆定理不成立时，特征只是充分的。

[39]充足理由非即充分条件；必要条件也可作为充足理由论证什么。

[40]当同志间没有协调时，他们的事情就不会成功。

[41]非区别的假言判断又径称为假言判断（蕴含判断）。

[42]数学里的命题都是有条件的，数学命题有四种形式。1．若甲则乙，2．若乙则甲（1的逆命题），3．若不甲则不乙（1的否命题）（不甲即甲的否定，即“甲不成立”），4．若不乙则不甲（1的逆否命题）。
某一命题成立时它的逆命题或否命题不一定成立，但它的逆否命题必成立，反之亦然。事实上1成立，4也必成立，因为4 的前项（提）“不乙”能得到“不甲”，若不然，当甲成立时，由1就有2成立，这事与前项（提）不合。反之4成立时，1就成立。1、2非区别。
（必要而且充分的特征是两个定理的总和：正定理和否定理，或正定理和逆定理。）

[43]它在数学中被广泛应用着（因之区别的假言推理也广泛应用于数学中）。
“三角形的内角在其对边相等时，而且仅在这时相等。”“苏联是无产阶级专政的，知识阶级就要饿死。”鲁迅先生是把它作为区别（假言）判断来驳的（即说者以为是）（来说的）。是否当作假言判断？

[44]练习一例：用三种方法，即利用术语①“必要而且充分的”，②“在……时，而且仅在……时”，③“那些……而且仅仅那些……”以充分而且必要的特征的形式把下列两个定理叙述为一个定理：平行四边形的对角线互相平分；如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是一平行四边形。
又一例：如前把两个定理叙述成一个定理：如果一个数的个位数字是偶数非零，则它能被2除尽；如果一个数的个位数字不是偶数，又不是零，则它不能被2除尽。

[45]“～”等值性判断的结构符号。

[46]表中注：·“当（在）……时，而且仅当（在）……时”，（“必要的”相当“仅在……时”或“仅仅那些”）意思是“那些……而且仅仅那些”。（当判断A中所确定的事实存在时，判断B中的事实才会发生；当判断B中所确定的事实存在时，判断A中所确定的事实才能发生。如果A则B，并且如果B，则A）实为这两个假言之结合。
·如三角形是等边的，并且只在此时，三角形也是等角的。
·当你找到了长生不老药，并且只在此时，你就能长生不老。

[47]“只有抗战到底，才能团结到底，也只有团结到底，才能抗战到底。”这区别的假言判断才能把当时“抗战”和“团结”之间既是互为充分条件又是互为必要条件的关系如实而恰当地表现出来——其间的辩证关系。

[48]而基本上都是它决定的。

[49]大反对判断、小反对判断、从属判断、矛盾判断。

[50]同一素材的四种不同判断，正表示判断对于同一判断对象的四种不同反映（对于同一对象反映在判断中时，可以有全称和特称的量上的不同和肯定与否定的质上的差别）。四种不同的反映互相关联，其中总有某些是对的，某些是错的，它们不可能都对，也不可能都错。我们只要知道其中之一的对错，就可推知其他方面的对错。

[51]一、P应是非全S所有者。

[52]据矛盾律，不可同真而可同假。

[53]二、由正可以推误。

[54]三、由误不能推正。

[55]所有S不是P。A之假在质上即把S本无的P错误地肯定其有时。

[56]有些S是P。

[57]A假在量上即把部分S有的P错误地肯定为全S所有时。

[58]所有S是P。

[59]E假在质上即把S本有的P错误地否定其无时。

[60]有些S不是P。

[61]E假在量，即把部分S所无的P错误地扩充为全S都无时。

[62]四、如A、E为单称，此时关系即为矛盾关系。如“×××热爱专业”、“×××不热爱专业”此正则彼误，此误则彼正；其间无第三种可能。（量上使然）不能同真，可以同假。

[63]I：有些是指“部分的”意思（义），并非指“只有一些”。一、可同真同假。

[64]二、全称真，特称真。

[65]三、特真不能推出全真，全可真可假。有些S是P′假，则所有S是P′也假；有些S不是P假，则所有S不是P也假。

[66]“一些金属是传热的”I真，“所有金属是传热的”A真（因传热为金属的本质属性）。但P是非本质的（如我举的例），则未必如此。如特对（真）在质上，则全真，如特真（对）在量上，则全假。

[67]确乎“全体喜欢”则A真，除这一些外，再无喜欢的则A假。

[68]确乎“全部不喜欢”则E真，并非全部不喜欢则E假。
如全□在质上，特仍假；如假在量上，即将部分S有或无的P错误地推到全S去了，则特真。即S全无（或全有）的P的错误的肯定或否定了）

[69]五、全假不能推出特假（部分可真可假）。

[70]此时I真。

[71]此时I假。

[72]“我班全体同学都不喜欢画画”假；事实在有部分不喜欢时则（空）“我班有些同学不喜欢画画”真，事实上全体都喜欢时，则假。

[73]据排中律里第三可能，故一真一必假，一假一必真。

[74]任何事物不是没有原因的（E真）；一些事物是没有原因的（I假）。不能同真，不能同假。
I真，一些事物是有因的，E假，所有事物不是有因的。

[75]一、可同对，不可同错。指的同一部分S1。。

[76]“所有中文科同学不是热爱中文专业的”E真。

[77]“有些中文科同学不是热爱中文专业的。”

[78]（矛盾）“所有中文科同学是热爱中文专业的”，A真。

[79]二、由一假推出一必真。

[80]（从属）“有些中文科同学是热爱中文专业的”，Ｉ真。

[81]（矛盾）A假，（从属）I可真可假。

[82]二、不能由一真推另一假，可真可假。
可以同真（可疑，应先说到“否定”为止），不能同假。

[83]关键是概念间的（从属、包含）等关系。

[84]此时P为全S所有。
“这个国家是资本主义国家”和“这个国家不是资本主义国家”。

[85]“所有的发明家都是青年”和“所有的发明家都是非青年”（S应是非全S所有的）。

[86]

[87]第三可能：“这个国家是和平中立国家。”

[88]“所有发明家都是青年”是非青年，因有第三种情况（有些发明家是青年）。“所有人是勇敢的”A、“所有人是怯懦的”A（P非全S所有）——第三可能：“有些人是勇敢的。”