再订货点模型

经济订货批量模型和经济生产批量模型回答了订多少货的问题，但还没有回答什么时候订货的问题。现在，通过介绍再订货点（ROP）模型来回答在多个期间上具有不确定需求的情况下什么时候订货的问题。

已知道再订货点模型的基本含义：一旦库存持有量降至某一事先确定的数量，就会发生再订货。这个数量一般包括生产或订货提前期内以及额外可能库存的期望需求，额外库存用于减少生产或订货提前期内的缺货可能。再订货数量取决于四个因素：需求率（通常基于预测）、生产或订货提前期、需求与生产提前期的变化、管理者可以接受的缺货风险。

由于需求率和提前期的变化，因此必须分析安全库存和服务水平之间的关系。安全库存是用于减少发生缺货的可能性的库存。由于提前期内的需求及提前期本身都可能发生变化，因此，在等待补货期间就有可能将库存耗尽，所以需要安全库存。而服务水平是用当前库存所满足的需求部分。服务水平可用多种方式衡量，如当前库存可满足的订单百分比，从当前库存发运的需求品目百分比等。安全库存与服务水平之间存在重要的关系：持有安全库存是为了实现企业所设定的服务水平。

图6-8　再订货点（ROP）模型

再订货点模型如图6-8所示。提前期的预期需求是Q1个单位。在时刻A，当前库存等于Q1再加上安全库存。持有安全库存只是一种保险措施，以防提前期中发生意外的高需求或提前期的意外延宕。因此，一般情况下不会使用它。点A代表再订货点ROP，在此当前库存的数量等于预期的提前期需求。换句话说，当现有库存达到Q1加安全库存时发出补货订单，则所购货物应当在恰好用完Q1个单位的产品，只剩下安全库存时到货。在图6-8中，补货订单在时刻B到货。预期提前期是A～B点的时间段。

再订货点模型可以区分为四种情形。

1.需求确定和提前期确定

如果生产提前期内的需求是常数，再订货点就很简单

ROP＝d×L

式中　d——需求率（每天或每周的平均或期望需求量）；

L——生产提前期天数或周数。

2.需求不确定与提前期确定

如果生产提前期内的平均（期望）需求发生变化，实际需求就有可能超过期望需求。因此，为减少生产提前期内耗尽库存（缺货）的风险，而持有额外库存即安全库存就十分必要。于是，再订货点应该再增加一个安全库存量，即

ROP＝生产或订货提前期内的平均（期望）需求量＋安全库存量由于在订货提前期内的平均需求可变且不确定，因此选择ROP时做出的实际决策与安全库存量密切相关。安全库存的大小关系到顾客服务水平和库存持有成本两者之间的权衡。确定ROP的常用方法是由管理层——以主观判断为基础——选定合理的服务水平，然后再确定可以满足这种服务水平的安全库存水平。

（1）服务水平选择。确定安全库存量的一种方法是设定服务水平，或周期服务水平——就是任一订货周期内不耗尽库存的期望概率。订货周期从发出订单开始，一直到这批订货入库时结束。例如，某商店经营者设定某商品的服务水平为90%，它意味着在提前期内需求量不超过供应量的概率为90%。为了将这种服务水平转化为具体的安全库存水平，需要知道提前期内需求量的分布形式。如果需求量围绕其平均值的变化幅度很小，安全库存就可以很小；反之，如果从一个订货周期到下一个订货周期，提前期内的需求量大幅度变化，那么安全库存就必须很大。

（2）计算安全库存量。在确定安全库存时，通常假定提前期内的需求量为正态分布，如图6-9所示。提前期内的平均需求为图中的中线，曲线下方左右两边的面积各占总面积的50%。因此，如果选择50%的周期服务水平，那么再订货点ROP就是这条中线所表示的数量。由于ROP等于提前期内的平均需求量加上安全库存量，因此，当ROP等于该平均需求量时，安全库存量为0。在50%的时间里需求量小于平均数，因此，在没有安全库存时只有50%的时间里可以满足顾客需求。

图6-9　用正态分布求解周期服务水平为85%时的安全库存量

要提供高于50%的服务水平，再订货点就应该大于提前期内的平均需求量。在图6-9中，需要把再订货点向右边移动，这样，曲线下方多于50%的面积将位于ROP的左边。在图6-9中，用ROP左边曲线下方85%的面积可以达到85%的服务水平，而ROP的右边仅有15%的面积。用实现服务水平所需的偏离均值的标准离差的个数z乘以提前期内需求量概率分布的标准离差值σL，可以计算安全库存量为

安全库存量＝zσL

z值越大，安全库存量和服务水平就应该越高。如果z＝0，就没有安全库存，而订货周期内将有50%的时间会发生缺货现象。

【例6-6】记录显示洗涤剂在订货提前期内的需求量呈正态分布，其平均需求量为250箱，且σL＝22。那么，在服务水平为99%的条件下，应该持有多少安全库存量？再订货点是多少？

解：首先要求出z值，即订货提前期内的平均需求右边的标准离差个数，该点左边曲线下方的面积占总面积的99%（在正态分布表附录中查0.990 0）。正态分布表中最接近的数值为0.990 1，该值行对应值为2.3，列对应值为0.03。将两者相加得出z值为2.33。利用该数据可以计算安全库存量和再订货点

安全库存量＝zσL＝2.33×22＝51.3（箱）或51（箱）

再订货点（ROP）＝提前期内的平均需求量＋安全库存量＝250＋51＝301（箱）

将安全库存量取接近于它的整数。在本例中，理论上的服务水平将小于99%。如果将安全库存量提高到52箱，则服务水平会大于99%。管理层可以通过选择服务水平来控制安全库存量。另一种减少安全库存量的方法是缩小提前期内需求的标准离差，这要借助于信息技术，通过与主要顾客进行密切协调来实现。

一旦确定了期望的服务水平，从正态分布表上便可以查得一个适当的z值。例如，当管理者期望一个97%的服务水平。从正态分布表中，可以找出一个离0.97尽可能近的值，然后确定其z值。离0.97最近的数值是0.969 9，其对应的z值为1.88。1.88的z值意味着97%的服务水平，必须持有超过需求1.88个标准差的安全库存。

根据以上分析，在需求不确定而提前期确定的情形下的ROP便可计算为

式中　——需求可变时的平均需求率；

σt——需求可变时的需求标准离差。

【例6-7】某一商店销售一种豆浆机，长时间以来很受消费者的青睐。假定这种商品的平均需求量为18单位／周，其标准离差为5单位，提前期为2周。如果管理层希望达到90%的服务水平，试确定安全库存量及再订货点。

解：在正态分布表中查找0.900 0，该值对应90%的服务水平。表中最接近的数值为0.899 7，相对应的z值为1.28，利用该数据可以计算再订货点如下

3.需求量确定与提前期不确定

在这种情形下，可以通过持有安全库存来防备拖长的提前期，或者说补充订货到达的意外延宕。其计算公式为

式中　 ——提前期可变时的平均提前期；

σL ——提前期可变时的提前期标准离差。

4.需求不确定与提前期不确定

需求与提前期均可变也许才是最现实的情形。这种情形下，两种变异源必须“合”在一起以得到一个衡量提前期需求（DL）总变异的指标。这里不作详细推导，只是指出在这种情形下计算提前期需求总变异的公式是基于两个独立变量（需求和提前期）的积。提前期需求的总标准差为

在此基础上，需求与提前期均可变的情形下的ROP便为