－模型的空间版本

第二节　D－S模型的空间版本⁽¹⁶⁾

在任何一个存在规模报酬递增的理论模型中，市场结构都是一个无法回避的问题。传统城市模型的处理办法是假定对厂商而言规模报酬递增是完全外生的，因而模型继续可以适用完全竞争市场结构。空间经济学的基本模型将迪克西特和斯蒂格利茨的垄断竞争模型（Dixit and Stiglitz，1977）（下文简称D－S模型）应用于经济活动的空间分析中，可以视之为D－S模型的空间版本，这样就避免了对外部经济的任何直接假定，以单个厂商水平上的规模经济为基础，厂商在市场上相互影响的结构就会产生外部性，相当于用D－S模型的建模处理方法将规模报酬递增内生化。尽管D－S模型近乎苛刻的假设看起来很不现实，但其巧妙的设置和灵活的处理方法为报酬递增和不完全垄断研究提供了崭新的工具。D－S模型被广泛应用到很多领域的经济建模中。从20世纪70年代末，一些理论家开始把新产业组织理论的分析工具应用到国际贸易中；几年后，同样的分析工具又被应用到技术变革和经济增长中。新贸易理论出现在1984年左右，新增长理论出现在1990年左右，而新经济地理学的模型可以视作D－S模型的空间版本，很好地解决了地理与贸易的建模难题。

“核心—边缘”模型（Core Periphery Model）作为空间经济学的基本模型可以说是完整的拓展的D－S模型的空间版本。空间经济中存在多个区位，区位之间存在运输成本，克鲁格曼（Krugman，1991）将运输费用以萨缪尔森的“冰山成本”形式导入到修正的D－S模型中，从而将规模报酬递增和运输成本之间的权衡作为空间经济理论的基础。

模型考虑一个只有农业和制造业两个部门的经济体，农业部门是完全竞争的，生产单一同质的产品，而制造业部门则提供大量的产业化产品，制造业部门是不完全竞争的，而且具有收益递增的特征。因此，我们也可以把农业部门看成是从事制造业之外生产活动的完全竞争部门。同时假定存在大量潜在的工业制成品，可以把整个生产活动的空间看成是连续的，从而避开产品数量必须是整数的限制。

一、消费者行为

对于这两类产品而言，所有消费者都具有相同的偏好，效用函数是柯布—道格拉斯（Cobb-Douglas）函数形式：

其中，M代表制成品消费量的综合指数；A是农产品的消费量；μ是常数，表示制成品的支出份额。数量指数M是定义在制成品种类的连续空间上的子效用函数；m（i）表示每种可得制成品的消费量；n表示制成品的种类的范围，通常为可得制成品种类的数目。假定M符合不变替代弹性函数（CES）：

在该表达式中，参数ρ表示消费者对制成品多样性的偏好程度。当ρ趋近1时，差异化产品几乎是完全替代的；当ρ趋于0时，消费者消费更多差异化产品的愿望越来越强。令σ≡1/（1－ρ），则σ表示任意两种制成品之间的替代弹性。

给定收入Y和一组价格：p^A是农产品的价格，p（i）是某种制成品价格，那么消费者预算约束条件是：，消费者面临的问题是在这个约束条件下如何使其效用最大化。

可以分两步来解决这个问题：第一步，不论制成品集合M是多少，我们都要选定一个m（i），使得获得制成品组合M的成本最低。这意味着求解下面方程的最小化问题：

解决这个支出最小化问题的一阶条件（FOC）是边际替代率等于价格比率，即：

对任意一组i和j，都有m（i）＝m（j）（p（j）/p（i））^{1/（1－ρ）}。将其代入最小化的约束条件：

并将公共项m（j）p（j）^{1/（1－ρ）}放到定积分符号的外面，就可以得到：

方程（5.2.5）仅表示第j种制成品的补偿需求函数（compensated demand function）。

据此还可以推导出获得制成品集合M的最低成本的表达式。第j种产品的支出是p（j）m（j），利用方程（5.2.5）对j求定积分，即：

现在可以把（5.2.6）式右边与M相乘的那一项定义为价格指数，从而价格指数与数量组合相乘就等于支出。将制成品的价格指数记为G，得到：

其中，ρ≡（σ－1）/σ或者σ≡1/（1－ρ）。价格指数G是购买一单位制成品组合的最小成本，正如前面把M看成是效用函数一样，这里我们也可以把G看成是支出函数。将（5.2.7）式代入方程（5.2.5），可以把m（j）的表达式写的更紧凑些：

消费者需要解决的下一个问题是如何把总收入在农产品和制成品之间进行分配，也就是如何选择A和M，使：

求解得：M＝μY/G，A＝（1－μ）Y/p^A。

将上述两步结合起来可以得到下面的非补偿消费需求函数（uncompensated consumer demand functions），对农产品有：

对每种制成品有：

观察上面几式注意到，保持G为常数，则每种可得种类制成品的需求价格弹性也是常数且等于σ。

现在，通过上述计算结果我们重写开始的效用函数，把最大化效用看成是收入（Y）、农产品价格（p^A）以及制成品价格指数（G）的函数，由此得到间接效用函数：

其中，G^－μ（p^A）^{－（1－μ）}是该经济体的生活费用指数（cost-of-livingindex）。

到目前为止，上面的假定和推导都只是对经典需求理论的直接运用，D－S模型的与众不同之处还在于制成品的种类数n也是模型的一个关键变量，下面我们接着求解制成品种类数n以及其变化对消费者的影响。

随着出售的制成品的种类的增加，由（5.2.7）可知，制成品价格指数随之下降（因为消费者偏好多样化消费），获得给定效用水平的成本也随之降低。为了简化和求解这个问题，我们假定所有可得到的制成品价格都是p^M，则价格指数（5.2.7）式就可以简化为：

价格指数对可得制成品种类的敏感度取决于不同种类制成品之间的替代弹性σ，我们看到，σ越低（即各种产品之间的差异越大），产品种类增加引起价格指数下降的幅度就越大。它对消费者福利的影响由间接效用函数（5.2.12）给出。

从方程（5.2.11）的单一产品的需求曲线可以看出，改变可得制成品的种类会使现有产品的需求曲线发生移动。因为n增加引起G下降，从而使每种产品的需求曲线向下移动。当我们确定生产出的制成品的均衡数目时，这一影响起着重要作用。随着制成品种类的增加，产品市场竞争更加激烈，使得现有产品的需求曲线向下移动，并使这些产品的销售量下降。

二、生产者行为

下面转向经济的生产者方面，假设农产品是完全竞争的，并且采用规模收益不变的技术进行生产。而工业制成品的生产存在规模经济。假设规模经济只在产品生产数量水平上存在，即随着某种产品产量的增加，平均成本趋于降低，不存在范围经济（economies of scope）和协作经济（economies of multiplant operation）。假设所有地区所有工业制成品的生产技术都相同，固定投入为F，边际投入为c^M。暂且假定生产中只有一种要素投入即劳动，在给定地区生产数量为q^M的任何产品需要的劳动投入为l^M，即：

由于规模经济、消费者对差异产品的偏好以及存在无限种潜在差异品的原因，没有一家厂商会选择与别的厂商生产同类产品，这就意味着每种产品只在一个地区由一个专业化厂商生产，所以现有厂商的数目与差异产品的种类数相同。

（一）运输成本

根据所要建立模型的需要，为方便起见，我们可以把整个经济看成是由有限个区域组成的，分布在连续的空间中。目前我们假设存在R个独立区位，每种产品只在一个地区生产，而且所有特定地区生产的产品都是对称的，有相同的生产技术和相同的价格。用n_r表示r地区生产的产品种类数，用表示各类产品的价格（出厂价或离岸价）。

农产品和制成品可以在不同地区间运输，可能会产生运输成本，为了避免一个单独的运输成本的建模，我们假定运输成本采用冯·屠能和萨缪尔森的“冰山”形式。即一单位产品（农产品或制成品）从地区r运到地区s只有其中一部分（可设为（1）能够到达，其余部分都在运输中“融化”了。因此要使1单位产品能送到目的地，在生产地必须装运单位的产品。

“冰山”运输的处理方法是指如果某种制成品在生产地r的售价是，那么这种制成品在消费地s的价格（交货价或到岸价）就是：

各个地区制成品的价格指数可能都有所区别，我们把地区s的价格指数记为G_s。冰山运输成本和特定地区所有制成品价格相同的假定意味着可以利用（5.2.7）式把价格指数写为：

现在，根据（3.11）式可以知道地区s对地区r生产的一种产品的消费需求为：

其中Y_s是地区s的收入，上式给出了地区s的消费量，但是为了达到这样的消费水平，在地区r装运的产品数量必须是它的倍。把这种产品在各个地区的消费量相加，就可以得到地区r此种产品的总销售量：

从（5.2.18）可以看出，销售量取决于各地区的收入、价格指数、运输成本以及出厂价。请注意，由于所有地区同种产品的交货价与出厂价成比例变化，而且消费者对每种产品的需求都存在一个不变的价格弹性σ，所以每种产品相对于出厂价的总需求价格弹性也是σ，与消费者的空间分布无关。

（二）利润最大化

考虑一家位于地区r的厂商生产一种特定产品，该特定厂商支付给制造业工人的工资率是给定的，产品的价格为，则利润可以表示为：

其中由需求函数（5.2.18）式确定。在价格指数G_s给定的情况下，假设所有厂商都选定各自的产品价格。因此需求弹性就是σ，根据利润最大化原则求解可知对于所有地区r生产的产品种类有：

假设当厂商盈利或亏损时，可以自由进入和退出（垄断竞争的假设）。如果定价原则是给定的，那么地区r的厂商的利润为：

零利润条件意味着任何自由厂商的均衡产出为：

相应的均衡劳动力的投入为：

在该经济体中，所有自由厂商的q^*和l^*都是相同的常数。因此，如果表示地区r的制造业的工人数量，n_r表示地区r的制造业厂商数目（恒等于制造业的产品种类数），那么：

上述均衡解的结果与D－S模型的均衡的结果是一样的，在整个分析过程中这个结果是非常重要的，它表明，市场规模既不影响边际成本加成定价也不影响单一产品的生产规模，因此所有的规模效应都是通过产品种类的变化发生作用的。显然，这个结论有点出乎意料，我们一般认为，市场越大竞争越激烈，而经济体利用市场优势的途径之一是扩大生产规模。然而加入了运输成本的D－S模型依然表明，所有的市场规模效应都是通过产品种类的变化起作用的。

进一步考虑问题的求解过程，我们在前面的假设中在解决厂商解决利润最大化时把价格指数G_s看成是常数，这是一种非策略性行为，再加上需求弹性不变的假设，两者共同作用的结果就是上面的结论。如果我们放松非策略性行为的假设，即所有厂商都意识到自己的选择可能会影响价格指数，这种对市场权利的认识往往使厂商降低产量，提高边际价格成本。如果我们采用一种特定的合作寡头垄断形式，例如古诺竞争或伯特兰竞争，那么就可以得到具体的定价表达式，而且在这两种情况下，边际价格成本是每个厂商市场份额的减函数⁽¹⁷⁾。在这些假定条件下，市场规模的扩大会促进竞争的效应。这会引起更多厂商的进入，从而降低了边际价格成本，使得厂商必须以更大规模（更低的平均成本）进行生产以保持收支相抵。在本节“消费者行为”部分中已经知道，种类效应是如何在市场规模和价格指数之间建立一种负向关系；而促进竞争效应是加强这一负向关系的又一力量。我们模型其实是忽略了促进竞争效应，再加上其他假设简化了分析过程，使得模型得以求解。

（三）制造业工资方程

厂商零利润的条件也就是产出为q^*的条件。根据需求函数（5.2.18）式可知，如果下列方程得到满足，那么地区r的厂商的产出就能够达到该水平：

对上面的方程变形后可知，自由厂商的定价当且仅当满足下面的条件时才能达到收支平衡：

利用方程（5.2.20）式的定价法则可以把方程（5.2.26）表示为：

我们把上式叫做工资方程（wage equation），下面的模型中将经常用到它。如果给定所有地区的收入水平、价格指数以及运输成本，那么就可以计算出各个地区制造业厂商收支相抵时的工资水平。从工资方程可知，市场的居民收入水平越高、厂商进入市场越容易（越低），厂商面临的市场竞争越少，那么工资水平就越高（前面论述过，价格指数是所售产品种类数的递减函数）。

关于工资方程还需要注意两点：（1）我们假定自由厂商总是零利润，因此这个方程中的表示的是厂商数目不为零的任何地区制造业现行的工资，从长期来看，这个工资水平也就是制造业劳动力供给的价格，但从短期来看，两者可能不相等，只要两者有出入，就会产生动态调整，这在下文中会有论述。事实上，我们一直假定厂商的自由进出是瞬间完成的，所以利润总是零，但是劳动力在部门或地区之间的再分配却较为缓慢，我们会建立动态模型对此进行阐述；（2）方程（5.2.27）决定的制造业工资不适用于不存在制造业的地区。它可以用来衡量这些地区的潜在进入厂商所愿意支付的最高工资。

此外，各个地区的实际收入与名义收入成比例，可以由名义收入除以生活费用指数而得到。也就是说，地区r的制造业工人的实际工资为：

三、两种效应

（一）适当标准化

制造业价格指数和工资方程是本节讨论的重点，贯穿始终。为此，我们可以选择合适的计量单位对他们加以简化。请注意，首先可以自由选择产出的计量单位。选择的单位要使边际劳动需求满足下面的方程：

这一标准化是定价方程（5.2.20）变为：

同时产量方程变为q^*＝l^*。

其次，正如我们已经知道的，厂商的数目仅是实轴上的一个区间［0，n］，在不失一般性的前提下，我们可以为这一范围选择合适的计量单位，使固定投入需求F满足下列方程：

根据方程（5.2.24）可知，各地区的厂商数目与该地区制造业劳动力规模有关，此时方程（5.2.24）变为：

这些单位的选择也决定了厂商的规模。方程（5.2.22）厂商零利润时的产出水平变为：

运用适当的标准化的处理方法，我们就可以把价格指数和工资方程写得更为简洁，其中价格指数变为：

工资方程变为：

我们会反复使用这两个方程来说明均衡的特征并研究其稳定性。实际上，在选择了合适的计量单位后，研究的注意力就从制造业厂商的数目与产品的价格转移到了制造业工人的数目和其工资率上了。

（二）价格指数效应和工资方程效应（本地市场效应）

价格指数方程（5.2.34）和工资方程（5.2.35）并不能界定一个完整的经济模型，但是它们却包含着几个重要的关系，我们可以从这些关系中推导出结论，为了找到它们，有必要进行更为详细的研究。

下面我们只考虑一个两区位（代码下标为1、2）模型下的价格指数方程和工资方程。

完整的价格指数方程为：

完整的工资方程为：

在上面的方程中，我们没有把上标M写出来基于下面三个理由：（1）我们现在只研究制造业；（2）我们已经将区位之间的运输成本记为T；（3）我们自始至终都假设同一地区内不存在运输成本。这两组方程是对称的，因此存在一组对称解。也就是说，如果L₁＝L₂且Y₁＝Y₂，那么就有G₁＝G₂且w₁＝w₂。通过检验，很容易发现这些对称的均衡值满足下列关系：

也正因为均衡值是对称的，所以在这个方程里没有标出下标。

把价格指数方程和工资方程在均衡点附近线性化，我们就可以揭示其中所包含的关系。在这个点附近，一个地区某个变量的增长总会引起另外一个地区同一变量大小相等但方向相反的变化。所以，可令d G＝d G₁＝d G₂，…，并分别对（5.2.37）和（5.2.38）求微分：

从方程（5.2.39）中我们可以看出制造业地区分布的变化对制成品价格指数的直接影响。假定制造业劳动力供给具有完全弹性，则d w＝0。在前面的论述中，已知1－σ＜0且T＞1，从方程（5.2.39）可知，制造业就业的变化d L/T对价格指数产生了负效应，即d G/G是个负数。我们称之为价格指数效应（price index effect）。价格指数效应意味着，如果一个地区的制造业部门较大，那么制造品价格指数也较低，理由很明显，即该地区全部制造业的消费中只有很少部分承担了运输成本。

接下来，我们考虑相对需求是如何影响制造业地区分布的。为方便起见，引入一个新变量：

z是取值介于0～1之间的数值，称之为贸易成本指数。如果贸易完全没有成本，即T＝1，那么z＝0；如果贸易是不可能的，那么T＝0，Z＝1。利用z的定义，并消去方程（5.2.39）和（5.2.40）中的d G/G，可得：

可以从这个方程中得出以下结论：

第一，若将我们的经济模型放宽，假设制造业劳动力的供给具有完全弹性，d w＝0，那么就会产生本地市场效应（home market effect，也称国内市场效应）。制成品的需求变化（d Y/Y）为1%，制造业的就业（乃至制造业的产量）变化（d L/L）就会达到1/Z%（＞1）。也就是说，在其他条件相同的条件下，一个地区的制造业部门增长速度要快于国内（国内）市场的增长速度，因而国内市场大的地区出口工业制成品。

第二，尽管我们已经分析了劳动力供给具有完全弹性条件下的本地市场效应，但是实际情况也许并非如此；如果劳动力供给曲线向上倾斜，那么国内市场的部分优势就会转化为高工资而非出口（因为0≤z≤1，所以d w/w的系数为正）。因此，一个地区对制成品的需求较大，其名义工资可能也较高。

但要注意的是，在其他条件相同的条件下，随着L的增长，G逐渐下降。由此可见，如果某个地区的收入Y比较高，那么它的实际工资也会比较高，因为该地区的名义工资高而物价指数低。所以，在其他条件相同的条件下，对制成品需求较大的地区其制造业工人的实际工资也较高。

当然，其他条件不一定相同，但上述讨论已经概述了累积因果关系的几个要素。在我们的模型中，这种因果关系往往会导致集聚。由于存在价格指数效应，在制造业部门较大的地区，工业制成品的价格指数较低。由于存在本地市场效应，在制成品需求较大的地区，制造业部门的增长速度要快于国内（本地）市场的增长速度。如果我们再考虑一种关系，即制造业工人本身对制成品也有需求，因此制造业集中的地区对制成品的需求往往也较大。

（三）“非黑洞”条件

我们已经知道，扩大制造业部门的规模会引起实际收入的增加。然而，有必要为该效应的作业设置一个上限。这种情况只有在封闭经济（当Z＝1时）才能得到很好的解释。

考虑一个制造业工人的实际收入（参见方程（5.2.28））。假定农产品的价格不变，那么对方程（5.2.28）求全微分可得：

这里再次忽略了上标M和表示区位的下标，因为研究的是单一经济。现在综合方程（5.2.39）、方程（5.2.40）与Z＝1，可以得到：

从这个方程可以得出以下结论，保持整个行业的支出不变（d Y＝0），从而名义上收入不变。那么增加一个封闭经济制造业部门的劳动供给会对制造业工人的实际工资造成什么影响哪？显然，制成品的支出不变，工资支出也不变，这就意味着L增加使工人工资ω同比例下降。然而，制造业就业的上升会增加制成品的种类，从而降低价格指数G，并往往会提高实际收入。在以上两种效应中，后者的影响无疑会超过前者，因此，工人数量的增加实际上提高了他们的实际工资。

我们对规模报酬递增特别明显的经济不做更详细的论述，因为，正如我们看到的，集聚力在这种经济中占据了绝对优势，经济体最终会塌陷为一个点。为了避开这种“黑洞区位”（black-hole location）理论，我们通常加上一个所谓的非黑洞假设（assumption of no black holes）：

四、核心—边缘模型

我们接着考察上面的经济体，已知该经济体由两个部门组成，垄断竞争的制造业部门M和完全竞争的农业部门A，这两个部门分别使用一种劳动力资源，即工人和农民。此外，我们还假定各部门的要素供给量不变。

资源的地理分布由外生因素和内生因素共同决定。假设地区数为R，世界上的农民数量为L^A，且每个地区的资源禀赋即农业劳动力份额是外生变量且既定，记为φ_r。与此相对应，制造业的劳动力是随时间变化的。我们用L^M表示全世界的工人数，并且用λ_r来表示地区r在任何时点上的制造业劳动力份额。适当的选择单位可使得L^M＝μ，L^A＝1－μ。

各地区间的工业品的运输成本的表现形式仍然是“冰山成本”，即如果1单位的工业制成品由地区r运往地区s，那么只有1/T_rs单位的产品可以运抵目的地。与之相对应，我们假设农产品的运输是无成本的（这会使得模型简化很多）。

由于农产品的运输是免费的且生产收益不变，所以各地区农民的工资率相同。我们以此工资率为计量单位，即。然而，各地区制造业工人的名义工资和实际工资都可能有所不同。我们将w_r和ω_r分别定义地区r制造业工人的名义工资和实际工资。

哪些因素决定了地区间工人的流动呢？我们简单假定工人会流向实际工资高的地区，而离开实际工资低于平均水平的地区。特别地，我们将平均实际工资定义为：

同时假定特别动态方程为：

（请注意，λ_r的增量必须能够保证所有地区份额变化的总和为零。）

在模型中，各地区间制造业的分布在任一时点上都是给定的，但随着时间的流逝，这种分布会因地区间实际工资的差别而变化；另一方面，地区实际工资本身也依赖于制造业的分布。下面来研究这种均衡（瞬时均衡）依存关系。

1.收入

由于农产品的运输不需要成本，因此各地区农民的工资相同，将其度量单位设置为1，之前假设制造业的工人和农民数分别为μ和1－μ，则地区r的收入为：

2.价格指数

第二个瞬时均衡的结果就是工业制成品的价格指数。由方程（5.2.34）可知，由于地区s的制造业工人数为＝μλ_s，因此价格指数为：

方程（5.2.49）显示了价格指数效应，在前面已经论述过。如果假定各地区的工资都相同，那么从方程不难看出，与地区r保持低运输成本的那些地区制造业的份额越高，地区r的价格指数将会越低。尤其是在仅有两个地区的情况下，如果其他条件相同，那么制造业从一个地区转移到另一个地区将会降低后者的价格指数，从而使得该地区对于制造业工人更有吸引力。这其中蕴含了产生集聚倾向的经济地理结构的原始动力。

3.名义工资

由工资方程（5.2.35）可知：

假设所有地区的价格指数都相似，则根据（5.2.50）可知，如果与地区r之间运输成本较低的那些地区的收入较高，那么地区r的名义工资将会更高。理由很简单：如果厂商能够接近较大的市场，那么它们就有能力支付较高的工资。

4.实际工资

定义当地工人的实际工资为ω_r，由于工业制成品在工人支出中所占的份额是μ，由此可得：

各地农产品价格均为单位价格，如方程（5.2.38）所示，生活消费指数会导致名义工资下降。

5.均衡的确定

此模型的瞬时均衡由收入方程（5.2.48）、价格指数方程（5.2.49）、工资方程（5.2.50）和实际工资方程（5.2.51）确定。很显然，我们很难找到这些方程的一般解。然而，我们可以通过考察一个显而易见的特例来深入理解这个问题。该特例是一个仅有两地区的经济体，农业在两地区平均分布。这就会产生一个问题，制造业是在两地区平均分布，还是集中在一个地区？也就是说，该经济体是否会分化为制造业“核心”和农业“边缘”。这个特例因此被称为核心—边缘模型（或中心—外围模型，coreperiphery model）。

在D－S模型中显示出的因果关系所示，由于存在价格指数效应，在制造业部门较大的地区，制造品的价格指数较低；由于存在本地市场效应，在制造品需求较大的地区，制造业部门的增长速度要快于国内市场的增长速度。本地市场效应扩大开来，对国际贸易的影响不仅仅局限于集聚所带来的增长效应，而在世界范围内影响贸易的转移和产业的重新定位。从而本地市场所导致的国际专业化在世界经济发展中的影响成为国际贸易研究的另外的重点领域。