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等产量线和等成本线最佳要素组合

时间:2022-05-27 百科知识 版权反馈
【摘要】:在长期内,所有的生产要素的投入量都是可变的。边际技术替代率等于两种要素的边际产量之比。生产要素的最优组合也称为生产者的均衡。

在长期内,所有的生产要素的投入量都是可变的。在两种可变投入生产函数下,生产者经常要考虑的一个问题是如何使生产要素投入量达到最优组合,以使一定产量下的生产成本最小,或使用一定成本时的产量最大?西方经济学家运用了与无差异分析、等成本分析类似的方法,即等产量线与等成本线的分析。

一、等产量曲线

等产量曲线是在技术水平不变的条件下,生产同一产量的两种生产要素投入的所有不同组合点的轨迹。与等产量曲线相对应的生产函数是:

Q=f(L,K)=Q0

式中Q0为常数,表示等产量水平,这一函数是一个两种可变要素的生产函数;这一函数在坐标轴上的曲线叫等产量曲线。

图4-4 等产量曲线

等产量曲线的特点:第一,距原点越远的等产量曲线表示的产量水平越高,反之,则低。第二,同一坐标平面上的任何两条等产量曲线不会相交。因为每一条产量线代表不同的产量水平,如果相交,则与上述说法相矛盾。第三,等产量线向右下方倾斜,凸向原点。主要原因是等产量曲线上任何一点的边际技术替代率为负,意味着在产量水平一定时,增加某一要素的投入量,会减少另一要素投入量。这样的调整才是有意义的。

为什么等产量曲线向右下方倾斜并凸向原点?主要原因是边际技术替代率为负。我们必须认识它。

边际技术替代率与边际产量的关系

边际技术替代率是研究要素之间替代关系的一个重要概念,它是指在维持产量水平不变的条件下,增加一单位某种生产要素投入量时所减少的另一种要素的投入数量。以MRTSLK表示劳动对资本的边际技术替代率,则:

式中,ΔK和ΔL分别表示资本投入量的变化量和劳动投入量的变化量,式中加负号是为了使MRTSLK为正值,以便于比较。边际技术替代率等于两种要素的边际产量之比。边际技术替代率是建立在等产量曲线的基础上,所以对于任意一条给定的等产量曲线来说,当用劳动投入代替资本投入时,在维持产量水平不变的前提下,由增加劳动投入量所带来的总产量的增加量和由减少资本量所带来的总产量的减少量必然相等。

边际技术替代率是递减的,是因为边际产量是逐渐下降的。其一,当资本量不变时,随着劳动投入量的增加,则劳动的边际产量有递减趋势;其二,当资本量也下降时,劳动的边际产量会下降得更多。

二、等成本线

等成本线是在既定的成本和既定的生产要素价格条件下生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的轨迹。其表达公式称之为成本方程,也称为厂商的预算限制线,表示厂商对于两种生产要素的购买不能超出它的总成本支出的限制。设w为劳动的价格,r为资本的价格,则有C=w·L+r·K。对上式进行恒等变形,可导出K=055,由此式可得出等成本线。如图4-5所示。图中等成本线在纵轴上的截距055-2表示全部成本支出用于购买资本时所能购买的资本数量,等成本线在横轴上的截距055-3表示全部成本支出用于购买劳动时所能购买的劳动数量,等成本线的斜率为055-4,其大小取决于劳动和资本两要素相对价格的高低。

图4-5 等成本线

在图4-5中,在等成本线以内的区域,其中的任意一点(如A点)表示既定的总成本没有用完;等成本线以外的区域,其中的任意一点(如B点)表示既定的成本不够购买该点的劳动和资本的组合;等成本线上的任意一点表示既定的全部成本刚好能购买的劳动和资本的组合。

三、最优的生产要素组合

在长期生产中,任何一个理性的生产者都会选择最优的生产要素组合进行生产,从而实现产出的最大化。所谓生产要素的最优组合是指在既定的成本条件下的最大产量或既定产量条件下的最小成本。生产要素的最优组合也称为生产者的均衡。下面分两种情况来分析。

图4-6 既定成本下产量最大的要素组合

(一)既定成本下最大产量的要素最佳组合

成本既定、价格既定、技术既定,要求最大产量,如何选择最优生产要素组合?

如图4-6,假定厂商的既定成本为C,劳动的价格为w,资本的价格为r,把一条等成本线和3条等产量线画在同一个平面坐标系中。从图4-6可以确定厂商在既定成本下实现最大产量的最优要素组合,即生产的均衡点。

逻辑分析:

(1)Q3曲线上的任何一点都不是最优的生产要素投入组合点。图中等产量线Q3代表的产量水平最高,但处于等成本线以外的区域,表明厂商在既定成本条件下,不能购买到生产Q3产量所需的要素组合,因此Q3代表厂商在既定成本下无法实现的产量。

(2)Q1曲线上的任何一点都不是最优点。因为在A点至B点之间虽然可以购买得起。但是不是最大的商品数量组合,所以效用没有达到最大化。

(3)Q2曲线上的E点是最优的生产要素投入组合点。等产量线Q2与等成本曲线相切于E点,则此时等成本线斜率的绝对值与等产量线斜率的绝对值相等。即:MRTSLK=056,此时无论厂商减少劳动投入量或减少资本投入量,在维持产量不变的情况下,都不可能多得到另一种生产要素的投入量,因此也不能使总产量增加,所以此时厂商不再变动生产要素组合,实现了生产者均衡,也达到了生产要素的最优组合。

所以达到生产要素最优组合的条件是:056-3

(二)既定产量下最小成本的要素最佳组合

产量既定、价格既定、技术既定,要求最小成本,如何选择最优生产要素组合?

假设厂商的既定产量为Q,则可用图4-7来分析既定产量下的最优生产要素组合。

图4-7 既定产量下成本最小的要素组合

图4-7中有一条等产量线Q,三条等成本线AB、A′B′、A″B″。等产量线Q代表既定的产量,三条等成本线斜率相同,但总成本支出不同:CAB>CA′B′>CA″B″

逻辑分析:

(1)A″B″等成本线上的任何一点都不是最优的生产要素投入组合点。图4-7中等成本线A″B″与等产量线Q没有交点,等产量线Q在等成本线A″B″以外,所以产量Q是在A″B″的成本水平下无法实现的产量水平。

(2)AB等成本线上的任何一点都不是最优的生产要素投入组合点。等成本线AB与等产量线Q有两个交点a、b,在a、b之间的产量虽然可以达到,但是此时所花的成本不是最小成本。沿着a点往下走或者沿着b点往上走都可以使成本变小,所以厂商不会在a、b点达到均衡。

(3)A′B′等成本线上的E点是最优的生产要素投入组合点。等成本线A′B′与等产量线Q相切于E点,按照上述相同的分析方法可知:厂商不会在a、b点达到均衡,只有在切点E,才是厂商的最优生产要素组合。因此厂商最优生产要素组合的约束条件是:

057

该式表示厂商应该选择最优的生产要素组合,使得两要素的边际技术替代率等于两要素的价格之比,从而实现成本既定条件下产量最大,或产量既定条件下成本最小。

上式说明如果劳动和资本可以实现替代,那么生产要素最优组合比例不仅要视它们各自的生产力,而且要视它们各自的价格而定。既定成本条件下的产量最大化与既定产量条件下的成本最小化所推导出的两要素的最优组合原则是一致的。

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