有趣的数学知识小科普

一、学习与数学学习

（一）学习的内涵

“学习”是人们日常生活中经常接触的词汇，是影响和决定人类心理发展的主要因素，它是教育心理学中的一个术语。但由于出发点不同、立场不同、材料不同、方法不同，国内外学者对“学习”给出了各种各样的解释。

心理学界对学习的解释众说纷纭，归纳起来大致分为三类。[1]

行为主义学派认为：学习是指刺激——反应之间联结的加强，认为学习可定义为“由练习或经验引起的行为相对持久的变化”，这样以行为的变化来定义学习，使学习成为可观察、可测量的科学概念。

认知心理学派认为：学习是指认知结构的改变，认为学习是个体经由练习或经验引起的认知结构的相对持久的变化。这个定义强调将“认知结构是否发生变化”作为衡量学习是否发生的标志。这是认知学派关于学习实质的最具特色、最有价值的观点。不过，如果说行为主义学派将行为是否发生改变作为衡量学习是否发生的唯一标准有失偏颇的话，那么，认知学派在论述学习实质时过于强调认知结构而忽视行为也可能犯了以偏概全的错误。

人本主义学派认为：学习是指个体经由练习或经验引起的自我概念的变化。这个定义强调将“自我概念是否发生改变”作为衡量学习是否发生的标志，这也成为人本主义学派关于学习实质的最具特色、最有价值的观点。人本主义学派的定义从宏观上看是合理的，但是，如果只是强调一个自我概念而不将其细化，在教育实践中有可能缺乏操作性。

在我国古代的教育史中，“学”和“习”是分开的。《说文》中讲道：“习，数飞也”，意思是鸟反复地练习飞。孔子的“学而时习之，不亦乐乎”，就是把“学”与“习”看成是获取知识、技能的两种不同方式，“学”是知识、技能的获得，“习”是对已学的知识、技能的练习与巩固，强调“学习”是一个反复实践并获得真知的过程。

综上，我们可以认为：学习是在教育目标的指引下，学习者因获得经验而产生的行为、能力和心理的变化过程，既包括知识的获得、技能的习得、智力的开发及能力的培养，也包括情感、态度、观念的变化和行为、个性品质的形成或行为潜能上发生相对持久的变化等。

但是，必须认识到并不是所有的行为变化都是学习，积累知识经验基础上的行为变化才是学习。而且，学习是一个渐进的过程，学习的结果产生行为的变化并不都是可见的，行为的变化不仅表现为新行为的产生，有时也表现为行为的矫正或调整。学习后的行为变化不仅表现为实际操作上的行为变化，也包括态度、情绪、智力上的行为变化。

学生的学习活动一般具有如下几个特点：①基础性。随着社会发展，人类知识量越来越大。学生在有限的时间内，不可能学完所有知识，只能选择最基础的知识和技能，以便他们养成良好的个性品质和形成基本能力。②间接性。由于学习时间的限制，学生不可能再次亲身经历人类知识的发现过程。学生学习的主要是以定论形式出现的人类的间接经验。③指导性。学生在学校的学习，不同于人类一般的个人认识活动的主体和客体之间的二元结构，而是由学生、客体和教师构成的三体结构[2]。为了提高学习效率，学生的学习活动需要教师的科学指导。④计划性。为了在有限的时间内，高效地完成学习任务，学生的学习活动要受到国家、地方或学校的课程标准、教学计划限制。⑤加工性。与人类的一般学习不同，学生的学习内容是教育工作者根据学生的年龄特征和知识特点经过多次加工处理的。其成果一般为教材、多媒体教学资源和教案等形式。[3]

（二）数学学习的内涵及其特点

数学学习是指在特定环境下，学生依据数学课程目标、根据数学教学目标、依托数学教材，在教师指导下获得数学知识与技能，培养数学能力，发展个性品质的过程。

从数学认知结构的建构角度看，数学学习是个体数学认知结构的建构过程。这就是说，数学学习是学生在学习的环境中，在自己有经验的基础上主动地通过对外界信息的加工，重新建构自己的经验世界。因此，从本质上说，学生的数学学习是一个依据已有的经验自主构建自己对数学知识的理解的过程。

从心理学的角度看，数学学习是极其复杂的心理活动，它交织着兴趣、性格、动机、情感、意志等心理因素。由于数学的严谨性与数学知识的系统性，从感知数学事物到判断、推理等思维过程，需要更强的意志努力；数学思维的抽象性，更需要自信心与情感的支持；数学问题的复杂性需要良好的学习态度，数学中的问题解决更需要群体的竞争、参与、合作意识，数学认知结构的形成与完善需要良好的数学观与对数学美的情感体验。因此，学生的数学学习是认知因素与情感因素相互交织的过程。[4]

总之，数学学习首先是一种学习活动，因此它具有一般学习活动的基本特征。但由于学科的特殊性，它还具有自身的个性特征。

1.形式抽象与高度概括[5]

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，或者说数学是研究模式和关系的科学，高度的抽象性是数学的一个特点。在数学中不仅有从客观世界中直接抽象出来较低层次的概念，还有在这些概念基础上经过多次抽象概括出来的更高层次的概念；数学的这种逐级抽象概括过程，使得大量的数学概念、数学原理和数学符号都远远脱离于现实世界的具体事物。即使数学中最基本的原始概念，生活实际中也不存在。如点、线、面、体这些几何概念，任何几何图形都是由点、线、面、体组成的，但是由于数学中的点没有大小，线没有粗细，面没有薄厚，因而在生活实际中并不存在。几何体也决非生活中的物体，仅是一种抽象概念而已。正是数学的这种高度抽象性使得数学中的抽象概念可用来研究宇宙万物而被人们承认。另外，数学的抽象性、概括性还反映在高度形式化的数学语言上，这给数学知识理解造成了一定的困难。因此，数学是高度抽象概括的理论，它比其他学科的知识更抽象、更概括。

数学学科的这一高度抽象性、概括性容易造成学生在数学学习中仅掌握形式的数学结论，而不了解形式结论所反映的丰富背景事实；仅认识数学符号，而不理解它们的真正含义；仅能够解答与例题类似的习题，而不会举一反三，灵活运用数学思想与数学方法解决问题。这一切都说明了数学学习更需要积极的思考和较强的抽象概括能力。

2.逻辑严谨与概念精确[6]

数学科学是建立在公理化体系基础上逻辑极为严谨的科学，数学的一切结论都是用完美的形式表现出来，呈现在学生的面前，而略去了它发现时曲折的、艰辛的过程，这就为学生学习数学的“再发现”带来了一定的困难。数学科学的体系是作为演绎体系展开的，学习数学需要有较强的逻辑推理能力，熟练掌握推理论证的方法。虽然数学教材经过数学教学法的加工，但数学教材编写仍是演绎体系，学生进行数学学习不仅要看懂数学证明所采用的逻辑形式，而且要动手论证，进行数学上的再创造，保证熟练运用，也就是既强调数学教学要展现知识的发生过程，从演绎体系中看到数学是如何形成的、人们是如何思维的，又要求学生必须具备较强的逻辑推理能力。

3.系统严密与思维训练

数学中的每个概念、定理、数学表达式、几何图形，在学习者的头脑中都不能是简单的凑合和杂乱的堆砌，而应是有条理的、有秩序的、有规律的整理和归纳。因此，数学学习具有系统严密的特征。数学学习的关键在于学习数学的思维。数学在思维训练方面有特殊的作用，数学的学习当然是数学知识的学习，如果通过数学知识的学习没有学会数学地思维，没有把握数学思维的活动规律，那就等于没有学会数学。形式化地、表面化地学习数学知识，很容易产生思维障碍，使得问题的条件与结论中的思维网络的通道中断，或未能使隐含的思维链条显现出来。

4.循序渐进与不断反馈

数学具有很强的逻辑性与连贯性，因此数学学习是一个循序渐进的过程。后面的学习都要靠前面所学的内容来支持。这中间不允许间断或出现错误，故要求学习者在数学学习中每前进一步都要进行检验和调整，即需要及时反馈。在数学学习中，信息反馈主要有两种形式。一是教师对学生学习结果的反馈，如作业的批改、问题的解答等。二是学生的自我反馈，如对学习结果、学习过程、学习方法的自我反馈等。[7]

二、数学学习的分类

对于数学学科而言，学习就是掌握数学知识与形成技能的过程，其中既包括新知识技能的习得、记忆，也包括知识技能的运用。相应地，学习者在学习过程中的心理活动有感知、记忆、思维、想象、判断、推理等，这说明数学学习是一种极为复杂的认知活动[8]。为了教学与研究的需要，我们有必要了解数学学习的各种类型，认识不同类型学习的特点，从而根据不同的学习类型，采用与之相适应的教学方法与活动形式，从方法论的角度指导学生的数学学习，增进学习效果。

（一）奥苏贝尔的学习方式分类

奥苏贝尔针对认知领域中的学习现象，将学习按照两个维度进行划分：依据学习深度，分为机械学习和有意义学习；依据学习方式维度，分为接受学习和发现学习。

1.机械学习和有意义学习

机械学习是指学生通过机械地多次重复死记硬背数学知识，而不理解它们所表示的内在含义的学习。这种学习缺乏“理解”，往往“知其然，而不知其所以然”。

有意义学习是指学生在学习时，不仅能记住所学数学知识的结论，而且能够理解它们的内在含义，掌握它们与有关旧知识之间的实质性联系，并能融会贯通。

奥苏贝尔认为，进行意义学习的客观条件是所提供的学习材料自身具有逻辑意义，但是，有逻辑意义的材料的学习不一定是有意义学习，还要决定于学习者的内因，即学习者头脑中是否具有了适当的知识，是否具有了意义学习的心向。如果说学生头脑中已有的知识是意义学习的基础条件，那么学习者愿意将新旧知识建立联系的心向，则是进行意义学习的动力，否则，意义学习不可能发生。[9]

由于数学具有逻辑性、系统性，所以，数学材料一般都具有逻辑意义。奥苏贝尔的意义学习理论对于数学教学具有较大的启迪作用。

2.接受学习和发现学习

接受学习，是指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者的一种学习方式。即把问题的条件、结论以及推导过程等都叙述清楚，不需要学生独立发现，只要他们积极主动地与已有数学认知结构中适当的知识相联系，进行思维加工，然后与原有知识融为一体，以备进一步学习和应用之需。接受学习虽然具有一定的被动性，但是具有效率高的优点。

发现学习是指让学生通过独立发现，揭示问题的内在规律，进而得到新知识的学习方式。发现学习比接受学习复杂得多，但是这些经过自己发现而组织到认知结构中去的材料最容易保持，所以发现学习对于激发内部动机、掌握学习方法和培养创造精神都是有益的。

在学校教育条件下，发现学习往往是在教师的指导下进行的，可称为指导发现学习，以区别于独立发现学习。

所要说明的是，接受学习并不一定都是机械的，也可能是有意义的；发现学习并不都是有意义的，也有可能是机械的，而且每一个维度都存在许多过渡形式，其分类组合示例如图3-1所示。[10]

图3-1 奥苏贝尔的学习方式分类示例[11]

（二）加涅的学习结果分类

加涅（R.M.Gagne）根据学习结果水平的高低和学习内容的复杂程度，由低级到高级将学习分为八种类型。[12]

①信号学习。由单个事例或一个刺激的若干次重复所引起的一种无意识的行为变化，它属于情绪的反应[13]。②刺激——反应学习。一种对信号做出反应的学习，但它有别于信号学习的是：信号学习是自发的、情绪的行为变化，而刺激——反应学习是自觉的、肌体的行为变化。③连锁学习。两个或两个以上非词语刺激——反应学习的一个有序结合。在数学学习中，某些技能的学习带有一定的操作性，它们也是一种连锁学习。例如，利用直尺、圆规、量角器等工具进行画图或作图，制作几何模型等，都是连锁学习。④词语联想学习。也是一种刺激——反应学习链，只是这条链上的链环是词语刺激——反应，而不是运动刺激——反应。⑤辨别学习。学会对不同的刺激，包括对那些貌似相同但实质不同的刺激作出不同的识别反应。⑥概念学习。能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反应。概念学习的特点是抽取一类对象的共同特性，而辨别学习则是识别一类对象的不同特性。⑦法则学习。一系列概念学习的有序连锁，表现为能以一类行动对一类条件作出反应，它是一种推理能力的学习。由于数学是一个演绎结构系统，它的所有结果几乎都是以命题的形式给出的，而命题实际上是某种法则。因此法则学习是数学学习的一种主要类型。⑧问题解决学习。以独特的方式去选择多组法则，综合运用它们，最终建立起一个或一组新的、更高级的、学习者先前未曾遇到过的法则。

三、相关学习理论及其对数学学习的影响

（一）行为主义的学习理论及其对数学学习的影响

行为主义学习理论又称学习的刺激——反应（S-R）理论或学习的联结理论，认为学习就是形成或改变行为，外显的行为是其主要研究对象，其基本观点是用“刺激”与“反应”之间的联结来描述外显行为的形成与变化。这一理论代表人物有桑代克、斯金纳和巴甫洛夫等。

1.桑代克的试误说及其对数学学习的影响

美国教育心理学家桑代克（E.L.Thorndike）主张从外部行为的观察来研究动物和人的心理。他通过猫解决疑难笼的实验，认为动物是经过不断尝试错误（trial and error）而获得经验的，学习的过程就是尝试，失败，再尝试，再失败，直至成功的过程。学习的本质是在刺激（S）同反应（R）之间建立一定的联结，而这种联结通过不断的尝试得以加强。

通过一系列动物和人的学习实验，桑代克提出了三条基本学习定律，试图系统解释学习的行为：①准备律。在进入某种学习活动之前，如果学习者做好了与相应的学习活动相关的预备性反应（包括生理和心理的），学习者就能比较自如地掌握学习的内容。②练习律。对于学习者已形成的某种联结，在实践中正确地重复这种反应会有效地增强这种联结。③效果律。学习者在学习过程中所得到的各种正或负的反馈意见会加强或减弱学习者在头脑中已经形成的某种联结。

尽管桑代克的学习理论比较粗疏、机械，不能完全解释人类复杂的学习行为，但桑代克在教育心理学的发展中仍占有重要地位，他的学习理论是第一个系统的教育心理学理论，它在数学学习中有一定的指导作用和实践意义。如学生要解决一个新的问题，不知道用什么方法，就试着用某种方法去解，失败了，找出失败的原因，试着用另一种方法去解，直到最后解出来为止。用这样的方法学习解决数学问题，能使学生学到很多解决问题的经验，而不仅仅是某个问题的解答。因此，在数学的教学过程中，要特别注重培养学生的数学学习情绪，引起学生的学习动机，引导学生在尝试过程中应用分析和推理的方法，在学习概念、定理、公式、法则、性质等后进行必要的重复练习，并在后续学习中加以应用。

2.斯金纳的操作性条件反射学说及其对数学学习的影响[14]

斯金纳是当代新行为主义学派代表人物，他继承和发展了桑代克的联结主义学习理论，提出了刺激——反应——强化的学习模式。斯金纳在20世纪30年代发明了一种所谓斯金纳的学习装置，在箱内装有一操纵杆，操纵杆另一端与提供食丸的装置连接。他把饥饿的白鼠放在箱内后，白鼠在箱内到处乱爬，一个偶尔的机会，它爬上了横杆，将杠杆朝下一压，供丸装置就自动落下一粒食丸，白鼠吃了食丸之后，爬来爬去，又爬上了横杆，再将杠杆下压时，又得到一粒食丸，多次“得手”之后，白鼠就逐步减少多余的错误动作而直接压杠杆取食。这样，白鼠就学会了按压杠杆以取食物的反应。斯金纳还用鸽子做过同样的实验。斯金纳将他“教会”白鼠或鸽子等所进行的“学习”，叫作操作性（或工具性）学习。斯金纳在实验中发现白鼠连续压杆数十次之多，说明强化很重要。他指出，在操作性活动条件的场合，强化刺激和反应的形成是关联的。如果在操作性活动发生之后，随即呈现强化刺激物，反应就会增强；如果在操作性活动反应之后，没有强化刺激物出现，反应就会减弱。

斯金纳把它的刺激——反应——强化的学习模式也用于人类的学习。但他的理论也是将动物实验推及人类，因而对人的复杂的学习行为也难以作出令人满意的解释。当然，我们也可以根据斯金纳的操作性条件反射理论得到一些启示，学生要获得有效的数学学习效果，就必须通过适当的“强化”，就数学学习而言，最好的办法是让学生知道自己的学习效果。正确的学习行为能得到肯定，错误的学习行为能得到纠正。为此，在数学学习中，对学生的学习效果要及时作出评价，而且要以正面评价为主，通过及时评价，不但能调整学生的学习行为，而且在情感上也能产生积极的效果。

3.巴甫洛夫的经典性条件反射学说及其对数学学习的影响

巴甫洛夫认为学习是大脑皮层暂时神经联系的形成、巩固与恢复的过程，“所有的学习都是联系的形成，而联系的形成就是思想、思维、知识。”他所说的联系就是指暂时神经联系。他说：“显然，我们的一切培育、学习和训练，一切可能的习惯都是很长系列的条件反射。”巴甫洛夫利用条件反射的方法对人和动物的高级神经活动作了许多推测，发现了人和动物学习的最基本的机制。

此外，巴甫洛夫还指出了引起条件学习的一些基本机制：习得律、泛化和分化。[15]

（1）习得律。有机体对条件刺激和无条件刺激（如狗对灯光与食物）之间的联系的获得阶段称为条件反射的习得阶段。这阶段必须将条件刺激和无条件刺激同时或近于同时地多次呈现，才能建立这种联系。巴甫洛夫称这是影响条件反射形成的一个关键变量。无条件刺激，在条件反射中起着强化作用，强化越多，两个兴奋灶之间的暂时神经联系就越巩固。如果反应行为得不到无条件刺激的强化，即使重复条件刺激，有机体原先建立起条件反射也将会减弱并且消失，这称之为条件反射的消退。

（2）泛化。指条件反射一旦建立，那些与原来刺激相似的新刺激也可能唤起反应，这称之为条件反射的泛化。

（3）分化（辨别）。分化是与泛化互补的过程。泛化是指对类似的事物作出相同的反应，辨别则是对刺激的差异的不同反应，即只对特定刺激给予强化，而对引起条件反射泛化的类似刺激不予强化。这样，条件反射就可得到分化，类似的不相同的刺激就可以得到辨别。

巴甫洛夫经典条件反射的学习理论对刺激的信号意义进行了辨别，对数学教学的理论和实践都有重要的影响。如在数学概念学习过程中同时进行泛化与分化的学习，注意区分概念的定义与概念的属性，有利于学生准确的理解概念。

（二）认知主义的学习理论及其对数学学习的影响

认知是指认识的过程以及对认识过程的分析。认知学派的心理学家认为学习在于内部认知的变化，学习是一个比S-R联结要复杂得多的过程。他们注重解释学习行为的中间过程，即目的、意义等，认为这些过程才是控制学习的可变因素[16]。这一理论代表人物有布鲁纳和奥苏贝尔等。

1.布鲁纳的认知发现论及其对数学学习的影响

布鲁纳认为，学习的本质不是被动地形成刺激——反应的联结，而是主动地形成认知结构。学习者不是被动地接受知识，而是主动地获取知识，并通过把新获得的知识和已有的认知结构联系起来，积极地建构其知识体系。布鲁纳十分强调认知结构在学习过程中的作用，主张应当向学生提供具体的东西，使人能够超越给定的信息，举一反三，触类旁通，以便他们“发现”自己的认知结构。他特别强调学习的主动探索，认为从事物变化中发现其原理和原则，才是构成学习的主要条件。此外，布鲁纳还认为，学生发现答案之前，会依据自己的知觉和经验，对问题情境先作一番直觉思维。在直觉思维时，一旦发现解决问题的线索，此直觉思维就变成了发现学习的前奏。他把学习过程分为新知识的获得、知识的转化和知识的评价三个阶段。

从布鲁纳的报告和书中可以看出，他对数学学习和数学教学很感兴趣。布鲁纳和他的同事们进行了大量的数学学习实验，从中总结出了四个数学学习原理。[17]

（1）建构原理。学生开始学习一个数学概念、原理或法则时，要以最合适的方法建构其代表。年龄较大的学生，可以通过呈现较抽象的代表掌握数学概念。但对大多数中学生，特别是低年级学生，应该建构他们自己的代表，特别应从具体的形象的代表开始。

（2）符号原理。如果学生掌握了适合于他们智力发展的符号，那么就能在认知上形成早期的结构。数学中有效的符号体系使原理的扩充和新原理的创造成为可能。布鲁纳认为，应当用螺旋式的方法来建构数学中的符号体系。这里的螺旋式方法指的是以直观的方式引进每一个数学概念，并使用熟悉的和具体的符号表示数学概念的方法。简单地说，符号原理就是要根据学生的智力发展水平，使其达到相应的抽象水平。

（3）比较和变式原理。比较和变式原理表明，从概念的具体形式到抽象形式的过渡，需要比较和变式，要通过比较和变式来学习数学概念。况且有些概念本身就是通过比较定义的。布鲁纳认为，比较是帮助学生直观地理解数学概念和发展其抽象水平的最有用的方式之一。

（4）关联原理。关联原理指的是应把各种概念、原理联系起来，置于一个统一的系统中进行学习。在数学教学中，教师不仅要帮助学生发现数学结构间的差别，而且也要帮助学生发现各种数学结构间的联系。布鲁纳认为，如果要使学生的学习卓有成效，就必须说明和理解数学概念间的联系。

发现学习有助于发挥智慧的潜力，使外来动因向内在动机转移，有助于所学材料的记忆保持。所以，认知发现论是值得特别重视的一种学习理论。认知发现论指导教师应当指定和设计各种方法，创设有利于学生发现、探究的学习情境，使学习成为一个积极主动的“索取”过程，即“要我学”变为“我要学”，充分发挥学生主体自我探究、猜测、发现的自然倾向。具体而言，在数学教学过程中，不仅应使学生掌握数学知识的概念、定理、公式等，还应理解数学知识的来龙去脉，注重知识的产生过程。在表示数学知识时，要根据学生的情况，采取相应的教学形式。此外，在数学教学过程中，应把学习过的数学知识按一定的方式构造好，以便于学生记忆和保持；应使学生对数学基本原理有深刻的理解，从而根据原理的结构，把掌握的模式应用到类似的事物中，为具体的“迁移”做准备。

2.奥苏贝尔的认知同化论及其对数学学习的影响

奥苏贝尔认为有意义学习的实质，就是以符号代表的新观念与学习者认知结构中原有的适当观念建立起非人为的和实质性联系的过程。奥苏贝尔所定义的认知结构是一个人的观念的全部内容与组织或一个人在某个知识领域的观念的内容与组织。认知结构中原有的知识是“观念的支架”，或称之为起固定作用的观念。有意义学习的过程就是新观念被认知结构中起固定作用的观念同化、储存和相互作用，原有的观念同时发生变化，新知识纳入原有的认知结构中，从而获得意义的过程。奥苏贝尔的所谓非人为的、实质性的联系是指新知识与学习者认知结构中已有的表象、已有意义的符号、概念或命题的联系。建立起非人为的、实质性的联系是有意义学习的两个标准。非人为的联系是指新的观念与原有观念建立了内在联系，而不是任意的联系；实质性的联系是指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系。[18]

奥苏贝尔认为有意义学习的过程就是原有观念对新观念加以同化的过程。原有观念与新观念之间有三种关系：类属学习、总括学习和并列结合学习。

要想实现有意义的学习，必须同时具备如下两个条件：第一，学习者应具有有意义学习的心向，即积极主动地把新知识与学习者认知结构中原有的适当结构联系起来的倾向性；第二，学习材料对学习者应具备潜在的意义，即学习材料可以和学生认知结构中的适当观念相联系。如果学习材料本身具有逻辑意义，学习者认知结构中又具有同化新知识的适当观念，这种学习材料对于学习者就构成了潜在意义。另外，除了这两个必备条件之外，奥苏贝尔认为在有意义学习中，影响新知识学习的最重要条件是学习者原有认知结构的适当性，包括在认知结构中是否有适当的、起固定作用的观念可利用，新观念与同化它的原有观念的分化程度，原有观念的稳定性与清晰性三个方面[19]。

从奥苏贝尔的学习理论，至少可以得到以下几点启示。[20]

（1）在数学教育改革进一步深化的今天，数学教育界提出了各种教学方法，例如“启导发现法”“茶馆式教学法”[21]“六课型单元教学法”[22]等。那么究竟应该选择哪种教学方法呢？奥苏贝尔的观点告诉我们，在提供某种教学方法时，不要贬低甚至否定另一种教学方法，也不要把某种教学方法夸大到不恰当的地步。实际上，教学方法的作用是不能离开特定的教学情境的，某种教学方法在这种教学情境中有效，也许在另一种教学情境中无效或效果很小。

（2）在班级授课制这一教学组织形式下，以接受前人发现的知识为主的学生应以有意义的接受学习作为主要的学习方法，辅助以发现学习，因为发现学习对于激发学生的智慧潜能，学会发现的技巧具有积极意义。这样，数学教育工作者就应当把更多的精力放在有效的讲授教学方法上。

（3）教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么。教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系，以及激发学生有意义学习的心向。

（三）建构主义的学习理论及其对数学学习的影响[23]

在诸种学习理论中，建构主义学习理论逐渐引起人们的普遍关注，其基本思想与观点对80年代以后的数学教育产生较大影响。作为对认知理论的继承与发展，建构主义学派从认识论的角度提出了关于学习的基本观点：学习不应看成是对于教师所传授的知识的被动接受，而是学习者在自身已有知识经验基础上的主动建构过程。他们认为，由于知识信息是主观产物，学生接受知识信息不可能像接受物那样完全处于被动的地位。他们若要获得老师利用媒体或信号所传授的知识信息，则必须对其进行一系列的加工处理，以达到对知识的理解与消化。事实上，这种理解与消化主要指的是学习者根据自身已有的知识经验对外界提供的新知识作出自己认为合理的解释，从而使新的知识在头脑中获得特定的意义。

根据建构主义的基本观点，我们在数学教学中必须注意以下几点。

（1）主体原则。即在数学学习活动中，学生应是认知活动行为的主体。学生的这种主体地位，体现为全身心地投入到学习活动之中。在教学过程中，教师应留给学生一隅观察、想象、假设、验证的空间，设法调动学生的参与意识，让学生进入主体角色；应选择恰当的数学建构材料帮助学生挖掘已有认知结构中的知识经验，去理解、消化新的数学知识，分析、解决面临的数学问题。

（2）适应原则。即数学教学不应仅考虑如何分析教材，如何讲得细、讲得透，还应考虑到学生已有的知识经验及学习方式，也就是说，数学知识的传授、教学活动的安排，必须适应学生的认知结构与建构活动的特点，切实做到数学教学要从学生实际出发，深入了解学生真实的思维活动；通过提供适当的问题或实例引起学生观念上的不平衡，促使学生努力通过自己的建构活动达到新的、更高水平的平衡；重视对学生的错误的诊断与纠正，使学生通过必要的认知冲突和自我否定，寻找产生错误的原因，从而最终通过其主动建构，建立起新的认知结构。

（3）教师的作用。在教学过程中，教师不应是将书本上的知识力图明白、准确无误地搬运给学生的“搬运工”，而应该是学生数学建构活动的深谋远虑的导向者、设计者、组织者、参与者、指导者和评估者。

[1] 罗新兵，罗增儒主编，《数学教育学导论》，陕西师范大学出版社，2008，22～23。

[2] 王策三著，《教学认识论》，北京师范大学出版社，2002。

[3] 沈南山主编，《数学教育学》，中国科学技术大学出版社，2012，79。

[4] 杨高全主编，《数学教育新论》，中南大学出版社，2003，154。

[5] 罗新兵，罗增儒主编，《数学教育学导论》，陕西师范大学出版社，2008，24。

[6] 罗新兵，罗增儒主编，《数学教育学导论》，陕西师范大学出版社，2008，25。

[7] 杨高全主编，《数学教育新论》，中南大学出版社，2003，157。

[8] 季素月著，《数学教学概论》，东南大学出版社，2000，114。

[9] 季素月著，《数学教学概论》，东南大学出版社，2000，115。

[10] 沈南山主编，《数学教育学》，中国科学技术大学出版社，2012，80～81。

[11] 资料来源于：沈南山主编，《数学教育学》，中国科学技术大学出版社，2012，81。

[12] 沈南山主编，《数学教育学》，中国科学技术大学出版社，2012，82。

[13] 叶立军，方均斌，林永伟主编，《现代数学教学论》，浙江大学出版社，2006。

[14] 叶立军主编，《数学课程与教学论》，浙江大学出版社，2011，140～141。

[15] 耿步健主编，《大学生心理学》，东南大学出版社，2005，104。

[16] 罗新兵，罗增儒主编，《数学教育学导论》，陕西师范大学出版社，2008，30。

[17] 王培德著，《数学思想应用及探究：建构教学》，人民教育出版社，2003，86～87。

[18] 廖策权编，《心理学教程》，西南交通大学出版社，2013，106。

[19] 廖策权编，《心理学教程》，西南交通大学出版社，2013，106～107。

[20] 王培德著，《数学思想应用及探究：建构教学》，人民教育出版社，2003，92～93。

[21] 这是上海育才中学在教学中总结出来的一套方法，也叫“八字”教法，即“读读、练练、议议、讲讲”。这种方法的特点是：实事求是，因势利导，因材施教，循序渐进。运用这种方法进行教学，能较好地处理教与学的关系，较符合学生的学习规律和认识规律。

[22] 六课型指：自学课、启发课、复习课、作业课、改错课、小结课。将教材分为若干单元，按六课型要求进行教学的方法，叫“六课型单元教学法”，也叫“八六六”教学法。这是武汉大学心理学教授黎世法提出的教学理论。他将中学生学习的客观认识过程归纳为紧密联系的八个环节，并提出了作用于每一环节的六种因素和相应的六种教学课。

[23] 季素月著，《数学教学概论》，东南大学出版社，2000，121～122。