数学方法论的研究意义

数学方法论是数学教育学学科群中的一个重要学科，是研究数学的发展规律，数学的思想、方法、原则，数学中的发现、发明和创新法则的学科，它隶属于科学方法论的范畴，是科学方法论在数学中的具体体现。研究数学方法论，无论是对数学学科自身，还是数学教育来说都具有重要的意义。

一、从数学学科自身的发展来看

纵观数学发展史，每一项重大的成果，无一不是首先在思想方法上得到突破和创新，如笛卡尔的“坐标法”、伽罗华的“群论”思想等。当今科学发展的重要特征之一就是各门科学的数学化趋势，这不仅表现为数学知识的普遍运用，更重要的是数学的思想方法向各门科学的广泛渗透与应用。荷兰数学家斯蒂文指出：“比起任何特殊的科学理论来，对人类的价值影响最大的恐怕还是科学的方法论”[1]。马克思则更深刻地指明：“只有掌握了数学方法，科学才能尽善尽美”。

（一）有助于认识数学的本质

数学的本质不仅反映在它的客观基础和数学内容的辩证性质方面，而且在它的发展方式上也有深刻的表现。数学是人类对世界的一种认识，是客观世界在人脑中的反映，它源于客观世界，产生于实践之中，又必须回到实践中接受实践的检验。从这一认识过程来看，数学与所谓的经验科学是相同的，但数学的发展具有相对于人的实践的“独立性”，数学科学的体系正是这种独立发展的结果。数学方法论是关于认识规律的科学，它不仅总结了数学的科学认识方法、数学推理的逻辑方法和非逻辑方法，而且揭示了数学发现和创造的规则，研究数学的客观基础，从而可以使人们从数学的发展方式中把握数学内在的本质和规律。

在数学方法论研究中，我们可以通过对数学内容辩证性质的探讨，进一步认识数学的本质。马克思和恩格斯在自己的著作中，都对微积分内容的辩证性质作过精辟的分析，并从而概括其本质。马克思在《数学手稿》中，着重对导函数概念作了探讨，他认为，导函数生成的过程就是原函数经历了“否定之否定”的发展过程，并深刻指出：“理解微积分运算时的全部困难（正像理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微积分运算是怎样区别于这样简单手续并因此导出实际结果的。”恩格斯在谈到微积分的本质时，也曾经明确指出：“变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用。”事实上，微积分中所运用的思想方法就是辩证法。就拿微积分中最基本的牛顿——莱布尼茨公式来说，就是通过常量与变量的相互转化而推得的。本来作为曲边梯形面积的定积分是一个确定的常量，但为了推导牛顿——莱布尼茨公式，却特地把此定积分看作是上限函数，即把常量转化为变量。然后，在证明一个定理成立的基础上，又反过来把变量转化为常量，最终得到了这一公式。因此可以说，牛顿——莱布尼茨公式就是常量与变量辩证统一的结果。[2]

（二）有助于全面把握数学的发展规律

通过数学思想方法的研究，可从数学内部的矛盾运动这个侧面来发现和认识规律，以弥补过去只注重从外面研究的不足，更加全面地把握数学发展的规律。比如，在关于数学潜形态的研究中，一方面可以提高对数学新思想萌发和形成规律的认识；另一方面，还可以加强对数学由“潜”到“显”转化机制的掌握。研究表明，对新事实的解释、对理论体系自身矛盾的研究、对个体结论的推广等，均是科学新思想产生的有效途径，树立科学成效观、积极开展自由论争、大力倡导科学伯乐精神、实行科学的组织管理等，都是加速科学由“潜”到“显”转化的重要机制。这对深入探讨数学由“潜”到“显”转化的规律，显然是有启示意义和参考价值的[3]。

（三）有助于不断促进数学的发展

研究数学方法论对于促进数学的发展具有重大意义。纵观数学发展的历史可以清楚地看到，数学上每一项重大成果的取得，无不与数学思想的突破及方法的创新有关。因此，掌握数学方法论并努力开拓新的思想方法是数学创造的巨大动力。

例如，笛卡尔十分重视数学方法论的研究，他创立的坐标法把长期分道扬镳的数与形结合起来，实现了数学思想与方法的重大突破。这不仅创立了解析几何，为微积分的诞生奠定了理论与方法的基础，而且大大促进了后期数学的进一步发展。又如，对数学作出了重大贡献的许多著名数学家，如伽罗华、罗巴切夫斯基、黎曼、维纳等，也都是基于数学方法的总结和创新，才开辟了群论、非欧几何、控制论等崭新的研究领域，推动了数学的发展。

（四）有助于充分发挥数学的功能[4]

数学功能的发挥，同数学能力的培养一样，关键不在于知识的积累与传递，而在于思想方法的领会、运用以及创造新的思想方法上面。实践越来越证明，数学在科学技术各领域、社会科学各部门以及生产、生活的各行各业，都有广泛的应用。这是因为，任何事物都是量与质的统一体，要想真正认识某一事物，不仅要把握其质的规定性，而且还要了解其量的规定性，因此，数学能够应用于各种物质运动形态，马克思曾指出：一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。

那么怎样在各方面更加广泛地应用数学呢？我们认为，加强数学教育，特别是加强数学思想方法的教育，是至关重要的。数学的科学功能的发挥，主要是靠数学思想方法向科学各领域的渗透与移植，把数学作为一种工具加以运用，从而促进其发展。当代科学数学化的趋势明显地反映出这一点。数学的思维功能的发挥也是如此。我们说数学是一种思维工具，实质上就是指它的思想方法。我们往往通过数学的考核来判定一个儿童的思维能力与智力水平，其根据也在于此。至于数学的社会功能的发挥，同样还是靠数学思想方法的运用。我们说某人办事有数学头脑，无非是说他能灵活地运用数学思想方法。欧拉作为一位数学家，之所以不仅在代数、数论、微积分等数学分支研究上取得了突出成果，而且还在力学、物理学、天文学、航海、造船、建筑等许多非数学领域做出重大贡献，集中到一点就是他具有深刻的数学思维和非凡的运用数学解决实际问题的才能。

二、从数学教育来看

（一）有助于培养数学能力

数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思维方法的利用。对一个科技工作者来说，数学思维方法是创造的源泉、发展的基础，也是数学能力的集中体现。加强以数学知识为载体的数学思想方法的学习和研究，有助于树立正确的数学观，真正理解数学的价值，提高自己的认识能力和数学思维水平。

数学思想方法比纯形式化的数学知识更重要，前者比后者更具有普遍性，这是人们的共识。可以说，数学上的发现、发明主要是方法上的创新。典型的例子是伽罗瓦开创的置换群的研究，用群论方法确立了代数方程的可解性理论，彻底解决了一般形式代数方程根式解的难题。再例如，解析几何的创立解决了形、数沟通和数形结合及其互相转化的问题；对应的思想方法解决了无穷集元素“多少”的比较问题，可把无穷集按“势”（或基数）分成不同的“层次”；运用新的一种隶属函数的数学方法，使模糊数学取得了广泛的成功，等等。我们从中可以体会到：有了方法才是获得了“钥匙”，数学的发展不仅仅是材料、事实、知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有创新、才会有发现和发明。[5]

（二）有助于提高数学教学水平

自觉地以数学方法论来指导数学教学，有利于揭示数学概念和定理的发生、发展过程和研究方法，提高教学水平。数学教学中十分重要的一点就是要培养和提高学生分析问题、解决问题的能力，教给学生寻找真理、发现真理的手段。然而传统的教学和大量的著作，几乎都是从概念到概念，从定理到推论的逻辑演绎，过于强调演绎法的形式化，强调概括性和统一性，而对如何形成数学概念、如何发现定理的过程却很少分析讨论。

善于揭示数学思维过程和提炼数学的思想方法既是现代教学思想的要求，又是数学教学的艺术，而深刻地理解和正确地分析数学思维过程、善于把握数学方法则是数学教师的基本功。教学方法是从属于一定的教学思想的，教学思想的发展必然导致教学方法的深刻变革。任何富有成效的数学教学方法，都有利于发挥教师主导和学生主体的和谐作用。

如果我们在教学过程中注意渗透方法论的思想和方法，通过观察、实验、归纳，探索规律，丰富经验，以取得猜想和证明的方法，或者以开展数学方法论的专题研究来弥补这方面的不足，就会在学习数学的过程中，或者说是在对数学真理的“再发现”“再创造”的教学过程中，真正发挥教师的主导和学生的主体作用，调动学生学习数学的主动性和积极性，促进学生通过运用数学科学研究方法去发现新知识。这不仅大大提高了学生对数学知识的理解和认识水平，增强了教学效果，而且对培养学生的科学研究能力、发展智力发挥了极其重要的作用。[6]

当前，我国的数学教育正在蓬勃发展，伟大的时代对数学教育提出了更高的要求。为了适应数学工具发生深刻变革和科学数学化趋势日益增强的需要，我们的数学教学要特别强调培养学习数学的才能、运用数学的才能和发展数学的才能。正是在这个意义上，加强数学方法论的研究具有重大的现实意义和深远的历史意义。

[1] 斯蒂芬·F.梅森著，《自然科学史》，上海人民出版社，1977。

[2] 叶立军主编，《数学方法论》，浙江大学出版社，2008，14～15。

[3] 叶立军主编，《数学方法论》，浙江大学出版社，2008，15。

[4] 叶立军主编，《数学方法论》，浙江大学出版社，2008，14。

[5] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，9。

[6] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，9。