结构主义思想及其发展

一、结构主义思想的相关认识

结构主义以法国的布尔巴基为代表，思想的来源是公理化方法，布尔巴基采用这一方法，反对将数学分为：分析、几何、代数、数论的经典划分，而要以同构概念对数学内部各基本学科进行分类。结构主义认为数学是以数学结构作为研究对象的科学，所谓“结构”就是在某个抽象集合的元素之间引进了运算或变换所组成的系统。结构中必须包含元素间的关系，而这些关系是由运算或变换来决定的。

全部理论数学或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类，可以利用公理化方法抽象出各个学科的各种结构，找出各个数学分支间的结构差异。这样，就可以获得各个数学分支的内在联系的清晰图景。

具体说来，数学结构可分为代数结构、序结构与拓扑结构三大类。这三大类结构称为母结构，由它们还可导出各种子结构或通过交叉，形成各种分支结构。

（一）代数结构

代数结构，也称为代数系统，是离散性对象加运算构成的结构系统。它可以分为多种类型，基本的代数系统包括群、环、域、向量空间等基本内容，当然也包括加、减、乘、除四则运算，但还包括更抽象的运算。

其中，群结构是最基本的代数结构，它反映了抽象代数的本质。群论研究在数学中经常遇到的代数运算的最一般性质：数的加法、数的乘法、向量的加法、变换的合成等都是这种运算的例子。

采用数学结构主义方法考察群时，不是注意各种具体的数学集合，而是注意集合（按群的运算）所表现的内在关系结构。为此，我们必须注意群运算所具备的基本性质，如群的公理等，这些是我们所要研究的对象。

在有理数范围内，所有的有理数运算——加、减、乘、除均可无限制地进行，这样一个数的集合叫作一个域。数域是抽象代数中的一个基本概念，有理数域是我们遇到的第一个数域。有理数域，克服了自然数系的缺陷，相对而言，是比较完美的，对四则运算是封闭的，而且具有稠密性，它为日后数学的发展提供了一个重要的工具。在此基础上，全体实数对于加法、乘法构成域，全体复数对于加法、乘法构成域。

从0和1出发，通过有理数运算可以构造出全部的有理数。事实上，通过加法可构造出2，3，4，…的任何自然数；再通过减法可得到全体整数；再通过除法运算就可得到全体有理数。正因为如此，英国数学家哈代曾说：“数学家同画家或诗人一样，也是造型家。”[1]

同样，我们还可以建立环、线性空间的理论等，这样就把代数系统使用的范围扩大了。

（二）序结构

序结构是由某种特殊的关系定义的，它通常表示为“小于或等于”，例如在实数集R中，任意两个实数总有一个比另一个大，这种关系“＜”就在R中定义了一个顺序结构。

序结构较为常用的有两种：半序集和全序集。如果集合A的元素之间定义了一个关系“R”，它具有自反性、反对称性和传递性，则称R为A上的半序关系。如果集合A上定义了一个半序关系，则称集合A为半序集。同一集合可以给出不同的半序关系而成为R的半序集。

如果集合A的元素之间定义了一个关系“R”，它具有自反性、反对称性、可比性和传递性，则称R为A上的全序关系。满足自反性、反对称性、可比性和传递性的集合A为全序集（或有序集）。相同的两个有序集，不但这两个集合的元素相同，而且它们的全序关系也必须相同。全序关系不同的两个集合是不同的有序集。

（三）拓扑结构

拓扑结构是指在一个集合X中分出一族子集作为邻域，依邻域系可研究极限过程。这种结构可以用邻域公理、开集公理等加以描述。为了刻画图形的拓扑性质，就要运用拓扑空间，这是比欧氏空间更为一般的新的空间。拓扑空间是在开集公理上定义了开集的非空集合。

拓扑方法是研究局部性质过渡到整体性质的方法。整体和局部是一对哲学范畴，全局由各个局部组成，但并非各个局部的简单总和，它高于局部。局部是整体的一部分，但有时局部会影响整体，甚至起主要的决定性作用。[2]

从某种意义上说，拓扑学研究拓扑变换下保持不变的性质，因此有人把拓扑学形象地比喻为“橡皮几何学”。这是因为它所研究的图形的性质在图形作橡皮变形（如随意的挤压、拉伸或扭曲等）时，只要不撕裂和不粘连，就保持不变。这种变形就是拓扑变换。连续映射直观上就是使图形作各种连续变形，只要不破裂、不粘合，那么，图形的大小、长短、形状都可能会改变。

像上述谈到图形的“不破裂”和“不粘合”的连续变形，就是拓扑不变性。图形边界的封闭性、内部连续性、维数等，也都是图形的拓扑性质，这是图形的最一般的本质属性。在拓扑同胚的意义上，一个圆和一个正方形是没有区别的，它们都把平面分成两个连通部分。我们通过一个“一一对应的同胚下保持不变的双方连续变换”可将圆变为正方形，反之亦然，这种变换就是拓扑变换。

但是，研究整体性质的几何拓扑学并不能够脱离局部性质。上面说到的拓扑变换定义中就有双方连续的提法，而连续正是局部性质。连续依赖于极限定义，而极限可用邻域描述。由于数学对象的扩展，邻域可以是区间，可以是平面上的圆、空间中的球、曲面体上的一小块，甚至可以是无穷维空间上的一个特定的子集。点集拓扑学正是处理最一般空间中的局部性质与整体性质的学问。它的任务是研究点集的特性，按某种特征将点集分类。[3]

数学结构主义揭示，数学广大领域上众多的数学部门所体现的多样性，可以通过它们共同的内在渊源——“结构”而获得统一，数学发展的内在生命就源于这种对数学统一性的追求。“结构”是数学进一步发展的基础，同时又是数学中新概念、新理论的归宿，在“结构”基础上的统一性促进着今天、明天和未来的数学进展。“数学就像一座大城市，当它的远郊在多少有点杂乱无章的向外伸展时，市中心却进行着一次接一次的重建。每一次都依据构思更为新颖、清晰和合理的计划，在拆除陈旧的、迷宫般的小胡同时，又修筑更方便、更宽敞、更笔直的林荫大道通向四方。”这段话是对数学结构主义基本思想方法极形象的概括。

二、结构主义思想的形成与发展

谈到结构主义，不得不先讨论一下公理化方法。数学的公理化方法是数学自身发展的一种结果，是数学严格表述的基本方法之一，自从公理化方法问世以来，它对推动数学的发展起了积极的作用。

公理化方法（也称之为公理方法），就是从尽可能少的无定义的概念（基本概念）出发去定义其他的一切概念，从一组不证自明的命题（基本公理或公设）出发，经过逻辑推理证明其他的一切命题，进而把一门学科的知识建构成为演绎系统的一种方法。人们通常也把由原始概念（或称之为基本概念）、公理所构成的演绎系统称之为公理系统。[4]

几何《原本》的成功，使人们开始广泛地运用公理化方法来发展数学。公理化的现代发展就是结构方法。20世纪30年代，法国的布尔巴基学派运用公理化方法，对整个数学加以整理，发现数学分支之间的区别在于结构不同。

布尔巴基学派的观点和主张对数学教育改革思潮起到了推波助澜的作用。20世纪60年代前后国外曾兴起的中学数学教学革新运动，即所谓“新数学运动（new mathematics movement）”，就是在结构主义观点影响下所形成的一个浪潮。

布尔巴基学派一贯坚持共同讨论，合作研究。他们运用公理化方法力图把一些数学分支中进行论证的最基本、最重要的出发点分离出来，并加以比较，这样便形成了各种结构的概念。他们分工合作，陆续出版了一大套书籍，名为“数学原本”。1939年出版了第一卷，名为“数学史原本”，此书完全按照结构发展的观点叙述了数学发展史。到1973年，《数学原本》共出版了36卷，但这一进程仍未结束。

在《数学原本》内，许多数学分支都经过仔细的结构分析，并安放到适当的位置上。《数学原本》是一套博大精深的著作，它涉及现代数学的各个领域，并概括了一系列最新成果，其内容包括集合论、代数、一般拓扑、实变函数、线性拓扑空间、积分、Riemann几何、微分拓扑、调和分析、Lie群等。

结构主义本质上可以看成是近代形式公理化思想的一个发展。数学公理化思想仅限于分析、探讨每门数学的公理化方法，并设法把每门数学搞成纯形式的演绎系统。而结构主义则采取全局观点，旨在分析各个数学分支之间的结构差异和内在联系，对每门数学而言，也着重分析其结构特征或关于它的某些基本结构的组成方式（当然，在以结构观点来分析问题时，同构的概念特别重要，因为凡是具有同构性质的一些结构，本质上都是同一种东西）。

可以说，布尔巴基的结构主义学派为专业研究的数学家提供了一张解剖图和一把手术刀，它能帮助人们认清一些数学对象的本质。但是，它的缺点也是明显的。结构主义对数学用演绎方法、公理化方法进行整理，却没有提供创造性的思维导向。因此，在数学教育改革历史上，试图把中学数学全盘结构化是有极端化倾向的，并因此成为导致新数学运动失败的原因之一。结构主义忽视应用也是其自身存在的问题。结构主义试图概括整个数学的愿望最终归于破灭。[5]布尔巴基的结构主义观点，自20世纪30年代形成以来，在20世纪50、60年代盛极一时，在中学数学教材改革中也曾奉为经典， 20世纪70年代以来，结构主义观点开始走下坡路了。

[1] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，126～127。

[2] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，130。

[3] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，131。

[4] 王宪昌主编，《数学思维方法》，人民教育出版社，2010，127～128。

[5] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，134。