直角三角形面积计算公式

评析:曾令鹏(广东省教育厅教研室小学数学教研员)

教学内容:九年义务教育六年制小学《数学》第九册第84、85页“三角形的面积”。

教学目标:

1.引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式,理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。

2.通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。

3.理解三角形的面积与形状无关,与底和高有关,会运用面积公式求三角形面积。

4.引导学生积极探索解决问题的策略,发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力,并培养学生的数学思维。

教学重点:理解并掌握三角形面积的计算公式。

教学难点:理解三角形面积的推导过程。

教学准备:每两人一袋三角形卡片、多媒体课件。

教学过程:

(一)回顾旧知

师:同学们,你们已经认识了哪些平面图形?

生:三角形、长方形、正方形、平行四边形、圆形、梯形。

学生边回答教师边将图形竖贴于黑板左边,但调整了顺序:

师:你学过的知识掌握得真好,一个人就说完了。

师:那你们会计算哪些图形的面积呢?

生:正方形。

师:想一想,它的面积怎样求?

生:边长乘边长。

教师边说(哦,正方形的面积等于边长乘边长),边在正方形图片的右边板下写(=边长×边长)。

师:长方形的面积呢?

生:长方形的面积等于长乘宽。

教师在长方形图片的右边板下写(=长×宽)。

师:就学过这两个图形是吧?

生:不是,还有平行四边形。

生齐声:平行四边形的面积等于底乘高。

教师在平行四边形图片的右边板下写(=底×高)。

师:平行四边形是不是刚学呀?那你们还记得它的面积公式是怎样推导出来的吗?

生:把一个平行四边形,沿着它的高剪开,再把其中的一部分平移到另一边,就拼成了一个长方形,长方形的长就是平行四边形的底,长方形的宽就是平行四边形的高,所以平行四边形的面积就是底乘高。

学生边回答,教师边演示课件,加深学生对平行四边形面积公式推导的理解和内化。

师:哦,同学们把一个新的图形转化成一个旧的学过的图形,就推导出了平行四边形的面积公式,大家真聪明。板:转化。

师:那今天我们能不能采用这样的方法来推导出三角形的面积公式呢?(教师手指三角形图片)

揭题:今天我们就一起来探究三角形面积的计算方法。(板书课题“三角形的面积”于黑板上方)

师:请大家先猜一猜,三角形的面积跟它的什么有关呢?

生:底和高。

师:三角形的面积跟它的底和高有没有关系呢?有什么关系呢?今天我们一起来研究。

[评析]

课始开门见山,回顾学过的平面图形的面积公式为三角形的转化做好铺垫,并快速重播平行四边形面积的推导过程,为转化思想的进一步运用起到启发的作用,板书设计精心。

(二)探究新知

1.实践活动

(1)师:请同学们拿出桌面上的信封,数一数里面有几个什么图形?(两人一套,同桌合作)

生:一个正方形,一个长方形,一个平行四边形,6个三角形。

[评析]

精心设计了3个基本图形,即正方形、长方形、平行四边形,并与之相对应的三角形,无论形状和颜色都做到了一一对应。让学生在后面的开放性思维中能够思者有依。不同形状的图形都编上了编号,在后面的教学过程中方便称呼,同时教会学生数学地思考问题。

师:其中有三个图形的面积你们已经会求了,现在我给你们这三个图形的数据。(教师将贴于黑板的翻面,显示出数据)

师:请你们快速回答它们的面积应该如何计算?

生:1号正方形的面积=4×4=16(cm2)。

3号长方形的面积=6×4=24(cm2)。

5号平行四边形的面积=6×4=24(cm2)。

教师板书:

师:这三个图形的面积同学们轻而易举就算出来了,现在的问题是你们能不能借助已经算出的面积,求出2号、4号、6号三角形的面积呢?

[评析]

这里的借助,让学生学会科学严谨地学数学,要学生认真比较1号与2号图形,3号与4号图形,5号与6号图形,暗藏了它们都分别是“等底等高”这一概念。设计精妙绝伦。

(2)学生同桌动手操作,教师提示,操作一定要科学严谨,可将算式写在图形上。

师:你们求出了哪号图形的面积?借助的是几号图形?

生:我们求出了2号图形的面积是4×4÷2=8(cm2)。

师:为什么?

生:我们把两个2号图形拼成了1号图形,所以它的面积就是1号图形的一半。

教师将两个2号图形拼成的正方形贴于黑板,并在它的右边板书=4×4÷2=8(cm2)。

学生用同样的方式汇报了4号图形和6号图形的面积都是=6×4÷2=12(cm2)。

(过程略)

师:请大家观察,为什么三个算式都有“÷2”?

生:因为都是用两个完全一样的三角形拼成的正方形、长方形或平行四边形,一个三角形的面积都只是它们的一半。

教师板书:完全一样的两个三角形。

教师把三个所拼的图形都拿走一个三角形,只保留其中的一个三角形,并用虚线画出拿走的部分,补充完整正方形、长方形或平行四边形。

[评析]

用虚线补充完整正方形、长方形或平行四边形。目的是让学生将此图形形状储存在大脑中,实现从平行四边形到三角形的自然过渡。培养学生“用图形说话”的基本数学素养。

师:(手指图形)你们发现三角形的面积是不是跟你们刚才所猜测的底和高有关系呢?有什么关系呢?

师:需不需要同桌讨论?

生:要。

学生对这个问题表现出浓厚的兴趣,即兴安排学生短时讨论。

生:三角形的面积可以用边长×边长÷2,长×宽÷2,底×高÷2。

师:这三种方法有没有共通之处,可不可以归纳成为一种方法呢?

学生自觉聚头再短时讨论。

生:都可以用“底×高÷2”。

师:真聪明,长方形的长和宽相当于平行四边形的底和高,因为长方形是(生接:特殊的平行四边形),正方形的边长和边长是不是也相当于平行四边形的底和高?(生:是)因为正方形也是(生接:特殊的平行四边形)。所以三者可以统一成为“底×高÷2”,看来刚才那个同学的猜测跟我们现在的推理是完全一致的。

教师用红笔板书:底×高÷2。

[评析]

充分尊重学生,根据学生课堂学习现状,当学生需要交流时即时安排同桌讨论。打破当前为小组讨论而小组讨论的唯形式论风气。

师:刚才大家把两个完全一样的三角形拼成正方形、长方形、平行四边形,初步得出了三角形的面积的计算公式是(生齐说:底×高÷2)。你们在思考三角形的时候,脑子里浮现出的应该是什么(师手指黑板)?

[评析]

教师非常注重对学生空间想象能力的培养,多次让学生在思考三角形时,脑子里先想象出长方形、正方形、平行四边形。同时也是对课一开始时板出的“转化”的数学思想的强化。

(3)验证。

师:我给你提供两个完全一样的三角形你可以推,如果我只给你一个三角形又如何呢?你还能用刚才掌握的转化的方法,推导出三角形的面积公式吗?

师:有需要拿三角形去尝试的请举手(全班都举了)。教师每四人小组发了两张如下图的三角形纸片。(如剪坏一张还有一张备用)

要求四人小组先讨论方法,再动手。(教师边巡视边提示:可以用剪刀)

小组操作,课堂呈现一派思考的景象。

组1汇报:

生:先把三角形沿着它的高对折,再剪成一个三角形和一个梯形,把这个三角形放下来就拼成了一个平行四边形,这个平行四边形的底没变,高变成了原来的一半,所以得出三角形的面积=底×高÷2。

师:这里的“÷2”是指?

生:高是原来的一半。

师:所以三角形的面积公式可以写成(生:底乘高除以2的商)。

师板:底×(高÷2)。

师:这个方法跟“底×高÷2”是一样的。

师(兴奋异常):太棒了!还有没有别的方法?

组2汇报:

(过程略)

师板:(底÷2)×高。

课件再次演示以上两种方法及其他方法。

小结:同学们,看来老师只提供一个三角形也难不倒你们,你们也能把它破坏掉(教师语言幽默),再转化成学过的图形(师手指黑板上),推导出它的面积公式,你们真是太厉害了。

[评析]

此时学生情绪空前高涨,兴趣盎然。两个完全一样的三角形转化成平行四边形是教师巧妙提供的,具有偶然性。而只用一个三角形能否推导出面积公式也是“底×高÷2”呢?教师再一次精心设计了有方格的三角形,以暗示学生运用折叠或割补等方法,同样可以将一个三角形转化为学过的图形。学生经过小组合作,不太费劲就想到了两种方法,此时教师与学生们都异常兴奋。此环节既是一个科学的验证环节,更是让学生美美地体验了一回“小创造者”的喜悦。

(4)课件演示三角形面积公式的推导过程。

全体学生看着课件齐读:两个完全一样的三角形,可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底=三角形的底,这个平行四边形的高=三角形的高,因为三角形的面积=平行四边形面积的一半,所以三角形的面积=底×高÷2。

小结:我们通过先猜测,再进行操作、观察、分析、推理,最后进行验证(教师说以上几句时手都指着黑板上的相关部分内容),把新的图形转化成学过的图形(教师边说边板书),都是用了(教师手指,生齐说:转化)的方法,最后得出三角形的面积公式是:底×高÷2。

[评析]

这一环节设计的目的是让学生再回到最基本的方法上来,本节课在强调方法多样性的同时,也注重了基本方法的强化。

师:如果我们用s表示三角形的面积,a表示三角形的底,h表示三角形的高,那么三角形的面积公式用字母表示是:s=ah÷2。

师:在这个公式中,你认为哪一部分最需要注意?

生:“除以2”。

师:为什么?

生:因为不除以2,算出来的只是拼出的平行四边形的面积。

师:你有什么办法帮助你记住除以2?

生:脑子里想着。

生:想着那个底不变,高只有一半的平行四边形。

生:想着那个高不变,底只有三角形的底一半的平行四边形。

师:太棒了!同学们的记忆不是死记硬背,而是通过学习过程帮助记忆,这是最好的学习方法。

[评析]

每一个环节的设计都是那么巧妙绝伦,环环相扣,丝丝不漏,学生学得轻松,教师教得自然。真正体现了“教是为了不教”“活学活用”等思想。

2.应用公式

(1)利用三角形面积公式,计算一条红领巾的面积。

课件出示一条没有数据的红领巾图。

师:请你们计算这条红领巾的面积。

生:没有告诉红领巾的底和高。

课件再显示底100cm,高33cm。要求学生利用公式独立完成。

(2)书上“做一做”(只列式不计算,完成在书上)。

(3)①求右图面积的算式是(　　)。

A.9×4÷2　　B.15×4÷2

C.15×9÷2　　D.15×4

生:B。

②求右图面积的算式是(　　)。

A.25×20　　B.18×25

C.18×20　　D.18×20÷2

生:C。师:为什么18是20的底?

生:因为平行四边形对边相等,18所对应的边也是18,它们两条都是20的底。

(4)口算下面每个三角形的面积。

①底8m,高7m。

生:8×7÷2=56÷2=28(m2)。

师:请大家想想一定要这样算吗?

②底5dm,高12dm。

生:5×12÷2=60÷2=30(dm2)。

师:为什么不用简单的计算方法呢?教师手指板书提示:底×(高÷2)。

生(恍然大悟):5×(12÷2)=5×6=30(dm2)。

③a:4cm,h:20cm。

生:4×(20÷2)=4×10=40(cm2)。

④a:20dm,h:5.4dm。

教师手指板书提示:(底÷2)×高。

生:20÷2×5.4=10×5.4=54(dm2)。

师:我们学的知识要灵活运用,在口算的时候一定要学会巧算。

(5)看图填写答案。(每一格代表1cm2)

这些三角形的高都是＿＿＿＿cm,底都是＿＿＿＿cm。

这些三角形的面积都是:□×□÷2=□(cm2)。

师:我读题,你们认真听仔细思考,然后口答。

师:请你在投影幕上指出第3幅图和第4幅图的高在哪?

学生到黑板前指出它们的高。

师:通过这4个图形你发现了什么?

生:就算三角形的形状不同,只要它们的底和高分别相等,它们的面积就相等。

师:他说的底和高都分别相等,用4个字表示就是“等底等高”。

[评析]

练习题设计由浅入深,从基本练习,巩固、熟练公式;到选择练习,学生通过甄别对比,强化对公式的理解;第4题的设计是将前面的多种推导方法灵活运用到计算上来,这一点往往是许多教师想不到的;第5题拓展练习是让学有余力的学生展翅高飞。练习题的整体设计针对性强,巧妙、灵活。

(三)课堂小结

这节课同学们学得非常好,通过把不会求面积的图形转化为会求面积的图形,就推导出了新图形的面积公式。这种转化的思想在学习上和生活中都非常有用。

那么我们以后要学的梯形和圆形的面积,又能不能转化成我们现在学会的4种图形的面积来推导呢?请大家回家后做大胆的猜测,或者研究,可以写成一份小研究报告交给我,我们一起来探讨。下课。

[评析]

让学生大胆猜想我们还不会求面积的两个平面图形梯形和圆形,它们的面积公式可否运用转化的数学思想进行推导。真正体现了数学不是教会学生做题,而是教会学生用数学的思想思考问题,用数学的眼光看待问题的数学思想。

[全课评析]

本堂课的主要特点是用发现探索的方法引导学生学习、理解、掌握三角形的面积公式。教师的语言准确、生动、幽默,富有启发性和感染力;学生积极配合,情绪高涨,在紧张而又愉快的气氛中学习新的知识,进行智力活动。从认识心理学的角度去分析,表现为如下几点:

第一,将三角形的面积与已知正方形、长方形、平行四边形的面积公式联系起来,这是将新知识纳入学生已有的认知结构,有助于学生对三角形的面积公式的理解。

第二,让学生动手操作模型、卡片,根据学生需要组织学生小组讨论,选派学生上黑板演练,师生一起归纳得出三角形的面积公式,让学生体验数学知识的形成过程,符合从具体到抽象的认知规律。

第三,启发学生想出了三角形的多种推导方法,一个问题多种解法,有利于打开学生的解题思路,培养学生的多向思考。

第四,在三角形的面积公式的推导和运用中,提炼总结出“转化”的数学思想方法,并将这一方法贯穿在整个教学过程中,使学生的思维得以升华,使学生受到了“数学思想”的熏陶。

第五,设计典型的问题让学生练习。思维始于问题,通过这些问题,学生对刚学习的内容得以巩固、理解、精化,是对新知识的更进一步的迁移训练。

总之,本堂课围绕“三角形的面积公式推导及运用”这一主线,设计了丰富多样的数学活动,学生在学习过程中循序渐进,在学习数学新知识的同时,也得到数学思维能力的训练,同时也受到数学思想方法的熏陶。

他人眼中的我▶

家长抱怨小学数学太难　广东名师有“幸福数学”独特方法

《广州日报》记者　李立志

“现在的小学数学好难呀,我们都对付不了!”只要孩子上了学,不少家长都会发出这样的抱怨。昨天我们闻悉采访了广东省特级教师小北路小学校长彭娅,彭校长一说起她教了20多年的数学教学就滔滔不绝,她的感受可是一个接一个,就她看来,其实每个孩子都可以成为数学家。作为首批广东省名师工作室——小北路小学彭娅工作室的主持人,彭老师有一套独特的教学方式,上课时倡导“互动、探究、创新”的方法,主张“经验数学”的学习,对于目前广受关注的奥数学习,她几年前就开始了“大众奥数”的实践,深受学生的喜欢。

“再一般的学生都可成为数学家”

“数学哪有那么难,其实人人都可以成为陈景润!”昨日下午,在小北路小学广东省特级教师彭娅名师工作室,彭老师表示,家长过于担心了,只要弄点“小花样”,孩子热爱数学的兴趣就能大大提高。彭老师教数学20多年,对小学数学颇有心得,“小花样”之一,就是用孩子自己的名字给他发现的数学方法命名:人人都当“陈景润”。

“我发明的叫江伯谦法,其实就是用三角板画定高定半径的圆锥体,老师说要做得又快又准确。但其他同学没有发现。”一说起彭老师,学生们就七嘴八舌地说开了。“上彭老师的课最轻松了。”彭老师告诉记者,她最喜欢采用学生的名字对学生发现的数学方法进行命名,除了“江伯谦法”,还有“蔡立葳法”等。这些当了“陈景润”的学生,有的成绩并不太好,不过通过这种颇有成就感的学习,让学生感受到发明创造原来就在他们身边,数学原来并不那么神秘,我们也可以做“数学家”。“很多学生就是通过这种方式一下子就喜欢上了数学,被数学本身的学科魅力所吸引,成绩也一直挺好。”

奥数其实在课堂就可以学

让孩子喜欢数学,彭老师的秘密武器之二是“经验”。“其实奥数不能一棒子就打死,奥数的思维方法对学生的后继学习是很有启发作用的。”针对目前社会对奥数铺天盖地的批判,彭老师对奥数有她自己独特的看法:彭老师自己就编过奥数培训的教材,不过她几年前就开始尝试在日常课堂教学中培养学生“大众奥数”的思想,不专门上奥数课,只是在课本知识传授的过程中渗透奥数的思维方法,虽然没有经过专门的培训,但就是在课堂教出来的学生,都具有良好的数学素养,数学成绩非常优秀,真正达到了轻负高质的效果。升入初高中之后大多数学生还担任了数学科代表。

家长看法:佩服,没什么作业照样行

“数学其实是最简单的学科了。”记者采访时,不少学生得意扬扬地对记者说,“其实我并没花多少时间来做题,都是平时在课堂上学的。”对于学生如此的回答,彭老师还告诉记者一个小小的插曲:“就是蔡立葳他们那班学生,有一次我问他们数学难不难学,全班学生异口同声地不屑地回答说不难。我当时看到他们脸上那对我毫不在乎的表情,心里还很不服气:哼,你们这帮家伙!要不是我精心研究教材,将难学的知识转化为你们的生活经验,把复杂的思考过程整合后简单化再教给你们,看看你会觉得怎么样?不过我的心里很满足:这不正是我希望达到的效果吗?”家长们也对彭老师的教法非常佩服,每周至少有一两天不用做家庭作业,作为行政的她也从来不利用课余时间给学生补课。“不过孩子们对数学很感兴趣,数学学得最好”。

彭娅认为,学生获取一种数学结果,远远比不上让他经历这个过程更重要。“要让数学课堂充满生命活力”。怎样让学生在数学上有所发现,有所体验,这就在于学生学习的过程是否有思考,是否经过自己本身积极的研究而发现了数学结论,从而获得成功的喜悦。如果是这样,学生对数学的体验是幸福而自信的,学习自然就不难了。