如何进行习题评价

8.2　如何进行习题评价？

就目前的习题评价来看，戴再平教授在习题理论的研究方面开了先河，赢得了广泛尊敬。他对习题的评价主要集中在习题的科学性上。顾泠沅先生在1990年与2007年的“青浦实验”中采用大样本测试，从初中二年级学生在数学学习中大量外显行为所表征的教学目标中析取其主要因素，继承和发展了布卢姆、威尔逊等人的认知目标分类学，确定四种数学认知水平：①“计算操作”性记忆水平；②“概念概念”性记忆水平；③“领会说明”性理解水平；④“分析探究”性理解水平。国内的一些专家学者利用此框架作习题分析取得过一些成果。^[2]

笔者曾经参与过国家教育部质量监测中心开展的一个相关课题研究，受其启发，我把一道习题的分析与评价分成习题本身的“情境特征”（外显）和解题时所需要的“能力水平”（内蕴）两个维度。

1.情境特征

就像一颗谷粒首先让人看到的是金灿灿的谷壳，同样，对于一个数学问题，学生首先看到的是问题情境。对问题情境，可以进一步分为现实性、趣味化、开放度三个取向。

如：长方形的长是2cm，宽是1cm，它的面积是多少？

这是一个单纯的数学习题，条件充分，问题明确，学生在解决问题时思维活动比较简单，只要按长方形面积公式“对号入座”就行了。此题的优点是有利于巩固对公式的记忆。但对于面积的理解与应用价值则显得功能不足，因此需要把数学问题嵌入情境（实际上数学正是来源于现实情境）让学生能获取、辨别出数学本质，才能提高问题解决能力。在习题中，情境的作用是作为现实的一种替代，以此让学生获得“现实数学”互相对应、促进理解的经验。以上题为例，同样是求面积的题目，可以变换成不同的情境。

（1）情境的现实性

例：小明爸爸准备给一个大衣柜配一块长2米，宽1米的长方形镜子，镜子每平方米15元，小明爸爸配这块镜子要花多少钱？

在本题中没有出现“面积”或“求面积”这些字眼，但实际上要求学生从习题所设的配镜子情境中转译出“求面积”这一信息。

一个有着现实背景的数学问题，不仅能让学生体会到数学与生活的联系，更有利于促进学生思维水平，特别是识别、抽象、概括能力的提升。为表明习题现实性的程度，我把此题定为“现实性★★★级”，其他习题如果比他更接近现实程度则增加星级，反之减少，最高五星，最低一星。

（2）情境的趣味性

单调的习题形式容易让学生生厌，如果习题能契合儿童的天性，他会觉得有趣、好玩，有利于形成数学学习的积极情感。同样是求长方形的面积，给出不同的条件叙述方式，生动、形象的程度会不一样。

例：两只小蚂蚁出去找食物，找呀找，终于在草地上发现两块饼干。好大的饼干哟！他们只能抬动一块，先抬哪一块呢？当然是大的！哪块大呢？想啊想，蚂蚁聪聪想了个好办法，他沿着两块饼干分别走了几步，然后高兴地对蚂蚁亮亮说，嘿！我们就抬这块！聪明的小朋友，你知道他们抬的是哪一块吗？

本题是小蚂蚁比较饼干的大小，实质是求长方形面积的问题。在本题中借助童话情境融合了测量与求积，有一定的趣味性和思考性，对于学生在实践中比较面积的大小也有一定的启发性。

习题的趣味性现在越来越受到教育者的重视。据笔者从教的经验来看，现在的学生智力水平明显高于以往，但学习的动机、需求越来越淡薄，厌学现象严重。原因是多样的，其中习题的枯燥、教条、刻板对于儿童来讲也是一个不小的因素。因此，设计出趣味盎然的系列习题，使之引起绝大多数学生的兴趣，激发他们的求知欲，促进他们积极思考，应该成为我们教师的一项基本的专业能力。为表明习题的趣味性程度，我把此题定为“趣味性★★★级”，其他习题如果比它更富童趣则增加星级，反之减少，最高五星，最低一星。

（3）情境的开放度

如果将原题的结论与条件倒置，就是一道开放题：

例：一个长方形的面积是24平方分米，它的长和宽可能是多少？

符合面积是24平方分米的长方形长和宽有多种可能，结果不唯一。这是一道开放题，结论开放。

一般来说，条件不充分或者结论不确定的习题是开放题（戴再平）。但也有学者认为“具有多种不同的解法，或者有多种可能的解答”也可称之为“开放性”问题（郑毓信）。

开放题不是一个已经审定的规范数学名词，在概念上有多种解释，但其学习价值却得到一致肯定。学生在解答数学开放题的过程中，能克服其思维定势，强化发散思维，从而有利于领悟数学本质。因此，开放题越来越受到师生的关注，已经从习题延伸到了考题，特别是现在的中考、高考中，已经把开放题作为一种常见的题型了。为表明习题的开放程度，我把此题定为“开放度★★★级”，其他习题如果比它更开放，如同时含有条件性开放和策略性开放则增加星级，反之减少，最高五星，最低一星。

上文，我们已从习题情境所蕴含的现实性、趣味性、开放度三个方面进行了讨论。当然，一个数学问题的情境不一定都需要现实的、有趣的、开放的，纯数学问题也有其学习价值，如能让学生聚焦数学关系的思考，基本技能的熟练等，应该说各有各的作用。除了习题的表现特征，一个习题所蕴含的数学知识技能水平又应如何区分呢？

2.能力水平

布卢姆把认知领域的学习目标按水平不同分为六类，对于习题所蕴含的数学能力水平分析有一定的启发。依据课程标准，国家教育质量监测中心副主任辛涛教授等把数学学科欲考查的主要的数学能力水平分为四个层次（见下，略有改动）。这一分类具有层次清晰、本土气息浓厚、学科特色明显等诸多优点。

（1）水平1：知道事实和简单技能

当学生知道了某一数学上的事实性知识，他便可以在具体情境中识记或再认出有关的对象。简单的技能主要包括四则计算或代数运算的技能以及运用数学和测量工具进行计算、作图和测量等技能。

特征：

①识记或再认：能根据对象的特征，从具体情境中认出这一对象。

②根据法则简单运算。

③简单使用工具：简单使用数学和测量工具，用直尺和圆规根据给定的条件作图。

案例：

①填空题

一个长方形的长是5分米，宽是4分米，面积是（　　）平方分米。

②操作题

量一量、算一算，下图的面积是多少？

（2）水平2：理解概念

当学生理解了概念，他就能够根据概念的定义、性质和特征在具体的情境进行表示、举例和判断。对概念的理解还包括能够识别出那些可以根据给定的信息（如数据）解决的问题，以及明确对象与有关对象的区别和联系，对事物进行比较、分类、排序等。

特征：

①表示：使用模型来表示数字；用图形、表格、图表、坐标图等来呈现数学信息或数据；能用等价的表示法来表示给定的某种数学本质或关系。

②举例：能举例说明对象的有关特征，对于一个给定的方程或表达式，能够用问题或情境来进行解释。

③判断：能根据概念的意义、性质和特征，判断对象与有关对象之间的区别和联系。

④辨别：能够识别出那些可以根据给定的信息（如数据）而解决的问题。

⑤分类：根据共同的属性将物体、图形、数字、表达式、概念进行分类；能正确地将某一对象进行归类，并按某一属性进行排序。

案例：

①填空题

一个长方形的面积是16cm²，它的长和宽有（　　）种可能。

②选择题

给一个长40厘米、宽50厘米的窗框配一块玻璃，玻璃的大小是多少？

A.90平方厘米　　　B.2000平方厘米　　　C.180平方厘米

③判断题

边长是2cm的正方形，周长和面积相等。（　　）

④操作题

在下面的方格图（每格为1cm²）中画出面积是16cm²的长方形和正方形。

（3）水平3：运用规则

当学生掌握了程序性知识，就意味着他能够准确地选择和运用适当的程序，在各种变化的情境中运用规则，能够使用具体的模型或符号的方法解决问题。学生对程序性知识的掌握常常会在把计算方法和给定的问题情境联系在一起、正确使用运算法则、交流运算结果的能力中得到反映。程序性知识还包括阅读、构思图表、进行几何建构和解释模型的意义等非计算性的技能。

特征：

①选择适当的算法：选择适当的算法、模型、法则、公式、单位等解决问题，而其中的算法规则或解决问题的方法是学生所知道的。

②模式化：用一个适当的模型如等式、图表，解决常规的问题。

③解释：对给定的数学模型（等式、图表等）进行解释。

④简单应用：应用事实、程序、概念等知识解决常规问题（包括现实生活中的问题），也就是说，问题与学生在课堂上可能遇见的问题相似。

⑤验证：能够证实或检查解决方法或结果的正确性；评价问题解决方法或结果的合理性。

案例：

①填空题

将一根长10厘米的铁丝折成长是2厘米的长方形，它的面积是（　　）。

②选择题

将一个长方形的长和宽分别延长3cm得到一个新的长方形，与原来相比，增加的面积（　　）。

A.大于9cm²　　B.小于9cm²　　C.等于9cm²　　D.无法判断

③应用问题

学校想给教室里的黑板涂一层保护漆。每个教室的黑板都是长5米，宽1米。每平方米保护漆大约要2元钱，一共有18个教室，要花多少钱？

④操作题

测量步长，利用步长估计教室的面积。

（4）水平4：解决问题

当学生到达这一能力水平时，意味着他能够从给定的信息中做出合理的假设或猜想、有效的预测或推断，在新的环境中使用推理，进行分析和评价，能够把他所知道的所有的数学概念、程序、推理和信息交流的技能都联系到一起解决问题，并且能够用数学的方法和理由来证明或反驳某一陈述的真实性。

特征：

①假设或猜想或预测：从给定的信息中做出合理的假设或猜想、有效的预测或推断。

②分析：在数学的情境下，决定、描述或运用变量或对象之间的关系；分析单变量统计数据；将几何图形进行分解以简化问题等。

③评价：对数学思想、猜想及问题解决的策略、方法、证明等进行讨论和批判性的评价。

④推广：用一种更一般或更广泛的术语重新描述结果，使得数学思考和问题解决的结果具有一般性，以此来对结果进行推广。

⑤联系：将新的知识和已有的知识联系起来，将知识的不同元素和相关的表示法联系起来，将相关的数学思想和对象联系起来。

⑥综合：将数学过程进行整合，以获得结果；再将结果进行整合，以获得进一步的结果。

⑦解决非常规问题：将数学过程应用于不熟悉的情境中，解决学生在课堂中没有遇见过的、与这样的问题相似的问题。

⑧证明：根据数学结果或属性，证明某一结论的真实性，或用数学理由证明或反驳某一陈述。

案例：

①填空题

一个长方形的长和宽都增长5厘米后，形成了一个新的长方形，它比原来的面积增加125平方厘米。原来长方形的周长是（　　）厘米。

②判断题

长方形的对角线越长，面积越大。（　　）

③将一张长10cm，宽6cm的长方形纸，四周分别剪去一个正方形，折成一个容积最大的长方体（无盖），这个长方体的长、宽、高分别是多少？（适合六年级学生）

应该说，评价一道习题的标准有很多，上述的标准也只是提供了一个参考。按照上述两个维度，我们再选取《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）样题中的两道题，进行分析。

例1　选自课标第80页：

a）测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积。

b）测量步长，利用步长估计教室的面积。

例2　选自课标第54页：

用长为50厘米的细绳围成一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积达到最大？

上面课标中的两个例题无疑是好题，情境中既有一定的现实性和趣味性，也有较大的开放性。学生在解决问题时，能得到长方形面积和面积计算的丰富体验。更难得的是，这两题难度不大但思维层次不低，适合不同水平的学生，是两道好题。

附：

对三种新课标实验教材的习题评价^[3]

（一）教材中的习题分类

1.人教版教材第六册第78页～81页，共12题

评价简析：

①这一系列习题，编者非常重视能力水平的梯度设计，并且也较重视习题背景的现实性，但趣味性、开放度考虑较少。

②最令人遗憾的一道题是练习课第81页第11题。如果编者省略此题的习题附图将是一道开放度较大且能力水平达到4级的好题。教师在上练习课时，此题应该先出现题干（不必出现教材中的附图），让学生独立思考，提醒学生画图分析，然后教师组织交流、学生回顾反思解决问题的过程，以促进学生的能力提升。

③能力水平2级的习题需要教师适当补充，可以以表格填空题等形式附加。

2.北师大版《数学》第六册第46～52页，共14题，另外安排了“小调查”“数学游戏”和“实践活动”。

评价简析：

①北师大版教材的“长方形面积计算”这一课之后安排了面积单位的换算（不是直接安排练习课），因此，面积计算的部分习题是放在了单位换算这一新课中。这一系列习题，编者重视习题背景的现实性，也较注重开放性，但从能力水平来看，习题的跨度较大。

②北师大版教材非常重视习题背景的现实性，这和新课程理念相一致。

③能力水平2级的习题需要教师适当补充，可以以表格填空题等形式附加。

3.浙教版教材第六册：第51页新课1题，第53页面积拓展6题，第56～59页练习课15题，共22题，是前两种教材总和的85%。因题量多，且在前两个教材习题分析中已有明确的分类示例，故省略篇幅在下表中将相近的题放在同一栏中。

评价简析：

①从数据统计来看，浙教版教材习量数量最多，其主要原因是练习课比其他教材多一节。如果我们把教学目标重点放在长方形面积计算技能的熟练上，那么练习课设置一节就足够了（北师大版教材在新课之后安排了“面积单位换算”，其中含面积计算练习）。但是，如果教学目标中包含了发展空间观念，那么在新授课时要让学生经历长方形面积计算公式的再创造，几乎没有做习题的时间。因此，一节练习课的时间对学生来说略显不足。浙教版教材安排了两节练习课有一定的现实需要。

②教材的习题非常重视数学思维的发展，重视数形结合。54.6%的习题在能力水平3以上，更有18.2%的习题达到能力水平4。这些习题都不是能直接套用公式就可以得到结果的，而是涉及隐含数据、图形变换、模式识别等。

③能力水平2级的习题需要教师适当补充，可以以表格填空题等形式附加。

（二）教材中的习题对比

1.从习题的数量观察

就“长方形面积计算”的新课和练习课习题量统计来看，人教版教材12题，北师大版教材17题（综合实践活动计为1题），浙教版教材22题。仅从量上来看，似乎人教版教材偏少，但考虑到北师大版、浙教版教材的练习是2课时的内容，这样折算下来，三种教材习题量的差距并不明显。

2.从能力水平所占的比例观察

不同能力水平的习题在教材中如何配置，即分别应该安排几题才能达成课程目标？按照范·希尔的框架分析，似乎应该大致相当，但从统计的结果来看并非如此，不知道各教材编者是否有意而为？不过，有一点还是明显的：从各类习题的配置来看，体现能力水平2的习题过少，这不利于学生巩固基本技能。新课程实施以来，一直有一种声音，认为学生的基础有所削弱，从习题的认知水平分析来看，也不完全是捕风捉影。

另一个共性是三种教材都比较重视能力水平3的习题数量，三种教材分别达到58.3%、35.3%、36.4%，特别是浙教版教材提供了能力水平4的习题，比例达到8.2%。这样的安排和以往的教材编排迥异。以往，我们认为要促进理解首先是打好基础，打好基础就要多做基本题。而上述教材的编排则体现了另一种学习观，即“以应用促进理解”，这样的思路不仅是长方形面积计算如此编排，其他内容也是如此。或者说，教材的编排透露出的信息是：注重思考，改变机械学习的弊端。

3.从能力水平呈现的顺序观察

仔细观察上图，你会发现习题所呈现的能力水平分布情况在各个版本教材中是很不一样的。

人教版教材大致按照循序渐进的顺序出现。这样的分布方式，学生容易通过习题获得持续深化。并且从第6题开始，教材连续安排了形式各异、情景不同但能力水平相同的七道练习题，有利于学生在解题中领悟长方形面积计算的方法。这样的编排比较适合新知的学习，学生解题时不会感到难度突兀，教师也比较认同循序渐进的编排。但遗憾的是，没有编入同样处于能力水平3层级的面积计算逆向题。一般来说，学生要达到“理解”这一目标，往往需要在建立“正向思维”的同时，也需要教师提供“逆向思维”的机会。

北师大版和浙教版的教材，从习题的顺序来看，所对应的能力水平高高低低，规律性不明显。从现代教学论来看，循序渐进是一种认知的方法，螺旋往复式上升也是一种促进能力发展的方法。因此，这两种教材的编排有其合理之处。但是，一般来说，对于尚处于“具体运算阶段”的三年级孩子来说，能力水平的起伏不应过大，以相邻能力水平的变化（如能力2～能力3之间往复）为宜。实际上，我们一线教师有一个感觉，人教版教材学生易懂老师好教。而其他两种教材，老师们感到教材确实“活”，对好学生来说，能力提升明显，但对于一般学生来说很容易形成“夹生饭”———基础知识和基本技能不够巩固。这也是教师在使用过程中感到比较困惑和纠结的地方。

4.从外显特征观察

人教版、北师大版、浙教版教材都重视习题的现实背景，分别达到66.7%、85﹒7%、68.2%。对于小学生来说，学习数学的目的不仅仅是学习数学知识掌握技能，更是通过学习数学理解现实，解决问题，从而体会学习数学的价值。因此，习题的素材来源于学生身边的、看得见的、听说过的、与他们密切相关的事情，如求玻璃、桌布、手帕大小等不出现“面积”两字其实求的是面积的题比比皆是。在三种教材中，出现较多的现实素材是：求篮球场面积、教室或黑板面积、课本面积、草地或绿化面积、花坛面积、地砖面积、镜子面积、席子大小、手帕大小、桌布大小等。

从习题的开放度来看，有策略性开放题，如“求教室的面积”，学生既可以测量整个教室的长和宽，也可先计算教室每块地砖的面积，然后算出整个教室的面积；有条件性开放题，如“用一根24厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的面积是多少？”此题长和宽不确定，可按长和宽按序递增（减）来解决；有结论性开放题，如“在一块长6米、宽3米的长方形地面上铺草皮，有下面两种草皮供选择：3dm×2dm每块2元，4dm×5dm每块5元。你有哪些选择方案？铺满整块地，买草皮需要多少元？”等。

令人略感遗憾的是，诸多习题中，蕴含儿童情趣的习题较少。比如，笔者看到一道同样是给定周长求最大长方形面积的题，在某儿童读物上是这样编的：很久以前，有位老人，他有三个徒弟，人们都夸小徒弟最聪明，但是，其他两个徒弟不服气。一天，老人把三个徒弟都带到一块田地边，对他们说：“你们都从这里出发，每人各走200米，只能沿直线走，然后回到这里。每人所走的路线都将围出一块地，谁围成的土地最大，这块地就送给谁。”三个徒弟想了一想以后，都开始走了起来。大徒弟第一个走，走了一个长90米，宽10米的长方形，二徒弟走了一个长40米，宽60米的长方形。小徒弟最后一个走，他走了一个特别的线路。因为他走的路线围出来的面积最大，老人把这块地送给了他。你知道小徒弟走了一条什么样的线路吗？为什么另外两个徒弟都服气了呢？虽然此题同样是让学生探索长方形的周长和面积关系，但此题以讲故事的方式呈现又有一定的挑战性，对于小学生来说更易激发问题解决的兴趣与欲望。

综上所述，对习题广泛而深入的研究已成为数学新课程逐渐深入的一大特征，但人们的注意力似乎集中于解法方面。诚然，在数学教学活动中，“解题”是最基本的活动形式，无论是学生数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得，还是学生智力的培养和发展，都必须通过解题。但是，我们必须看到，也有相当一部分数学教师沉湎于解题之中，忘记了“解答数学习题本身不是目的，而只是一种训练手段”（弗里德曼），他们不是把解题看成是培养学生创造力的机会，而是要求死记硬背各种套路和模式，把学生训练成对习题作出“快速反应”的解题机器。这种情况的危害性正如柯朗所说：“数学的教学逐渐流于无意义的单纯的演算习题的训练，这固然可以发展形式演算的能力，但却无助于提高独立思考的能力。”因此，我们在重视解题的同时更应该加强对习题本身的研究。余元庆说过：“习题配备得好不好，直接影响到学生学习质量的高低。”对于一线教师来说，理解教科书中的习题编排意图是每天要面临的教学工作，因此习题的评价显得十分重要：既需要实践归纳，更需要理论厘清。