6.1 要求出长方形的面积，就必须要知道它的长与宽吗？
有一些老师在引导学生经历、发现这个长方形面积公式之后，常常会“善意”地提醒学生说：“根据公式S＝ab，大家要注意，如果我们要求出一个长方形的面积，那么就必须要知道它的长与宽。”这样的表达其实是错误的。如果我们能弄清四种命题的关系以及“充分条件”“必要条件”和“充要条件”的含义，就能找到错误的原因。
每个几何命题从结构上分析，均由两部分组成，即条件部分与结论部分，它表明条件与结论之间的某种因果关系，形式上可以表达为：“如果……（条件），那么……（结论）。”用A表示条件，B表示结论，就可以写成：
如果有A，那么有B。或者A→B。
用“如果……（条件），那么……（结论）”这种形式，对长方形的长与宽和面积之间的关系进行表达，可以有以下一些表达方式：
（1）如果已知一个长方形的长与宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积；
（2）如果已知一个长方形的面积，那么就可以求出（或确定）这个长方形的长与宽；
（3）如果不知道一个长方形的长与宽，那么就不能求出（或确定）这个长方形的面积；
（4）如果不知道长方形的面积，那么就不能求出（或确定）这个长方形的长与宽。
在上面表达的这些命题中，有肯定语气的命题和否定语气的命题。一个肯定语气的命题，以否定语气叙述时就得到了另一个命题；再把这两个命题的条件和结论交换位置又可以得到两个不同的命题。所以命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题。上面列举的四个命题（1）～（4）依次为原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
如果不管命题的具体内容，只从它的结构形式来研究，以上四种命题可以简单表示为：
原命题：如果有A，那么有B，或A→B。
逆命题：如果有B，那么有A，或B→A。
否命题：如果没有A，那么没有B，或－A→－B。
逆否命题：如果没有B，那么没有A，或－B→－A。
上面的四种命题之间存在着以下的相互关系：
由上面的例子可知：成互逆或互否的两个命题，不一定同真同假，但互为逆否的两个命题，真则同真，假则同假。这种真则同真，假则同假的两个命题叫作等价命题。因此，原命题与它的逆否命题是等价的，原命题的逆命题与否命题也是等价的。利用命题的等价关系，要证明一个数学命题时，可以用证明和它等价的命题来代替，这样数学命题的证明就多了一条思路。
弄清了四种命题及它们的关系后，我们可以进一步研究“充分条件”“必要条件”和“充要条件”的问题。
一个命题表示条件与结论之间的某种关系。某一事物的发生与存在，会促使另一个事物的发生与存在，或某一事物的不发生与不存在，也会促使另一事物的不发生或不存在。事物之间的这种关系，叫作条件关系。其中有充分条件、必要条件和充要条件等关系。
如果A成立，那么B成立，即A→B，这时我们说条件A是B成立的充分条件。“充分”的含义是：为使B成立，具备条件A就足够了。用日常语言表达“充分条件”的含义是“有之必使然”。
命题：如果知道一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积。
这个命题的条件和结论分别是：
条件：知道一个长方形的长与宽；
结论：求出（或确定）这个长方形的面积。
显然上面的条件是结论成立的充分条件。
如果A不成立，那么B不成立，这时条件A是B的必要条件，即－A→－B。必要条件的特征是“无之必不然”。由命题之间的等价关系可知，命题－A→－B与命题B→A等价。也就是说我们要判断条件A是否是结论B成立的必要条件时。只要把B作为条件，A变为结论，判断条件B是不是结论A成立的充分条件即可。
综上所述，我们可以得出：如果A→B，那么A是B成立的充分条件。如果B→A，那么A是B成立的必要条件。
如果既有A→B又有B→A，那么A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件。这时我们就说A是B成立的充分而且必要条件，简称充要条件。充要条件的特征是“有之必然，无之必不然”。
有了上面这些逻辑的知识，我们就可以判断本文开头时，一些老师在课堂上说的命题的正确性。“如果我们要求出一个长方形的面积，那么就必须要知道它的长与宽。”显然知道长方形的长和宽，并不是求出长方形面积的必要条件。也就是说，要求出一个长方形的面积，不是必须要知道它的长与宽。如我们要求出长方形M的面积，而知道长方形N的面积是10平方米，长方形M的面积是长方形N面积的2倍。显然我们就可以求出长方形M的面积是20平方米。而如果知道一个长方形的长和宽，当然就可以求出这个长方形的面积。就是说条件“知道长方形的长和宽”是结论“求出长方形面积”的充分条件，但并非必要条件。
一个命题的条件对于结论来说是“充分条件”、“必要条件”还是“充要条件”的问题，不但在空间与图形的教学中会遇到，在其他的领域中，如数与代数的教学中也有这样的问题。
在小学数学中，有一些命题的条件对于结论来说是充分而不必要的。也有一些命题的条件对于结论来说是必要而不充分的，如，“一个三角形的两边相等”是“这个三角形是等边三角形”的必要而不充分条件。还有一些命题的条件对于结论来说是充要条件。如，“一个自然数各个数位上数的和是3的倍数”是“这个数是3的倍数”的充要条件。一个小学数学教师只有明确条件与结论间的各种关系，才能更好地实施数学教学。
【注释】
[1]沈徐建、朱乐平：求长方形的面积必须知道它的长和宽吗———谈充分条件、必要条件和充要条件，《小学青年教师》2006年第1期。
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