“最短路径问题”学习体验案例

古通海

一　教学设计

（本课时是2013年11月6日在贵州省遵义市习水县第七中学八三班，用人教版八年级教材中的利用轴对称的性质解决生活中的“最短路径问题”这一知识点上的课。）

（一）知识点

（1）“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”。

（2）利用轴对称的性质和有关作图解决问题。

（二）教学目标

（1）知识与技能：已知直线同侧（或异侧）两点A、B，会在直线上求一点P，使PA+PB的距离最短。

（2）过程与方法：通过引导学生观察、分析、思考和讨论等，用轴对称的性质进一步探究最短路径问题的解决办法。

（3）情感态度与价值观：经历探索轴对称性质简单的应用过程，培养学生观察、分析、应用所学知识解决问题的能力，并掌握一些尺规作图的基本技巧和方法。

（三）教学重难点

教学重点：利用轴对称的性质解决生活中的最短路径问题。

教学难点：已知直线异侧两点A、B，会在直线上求一点P，使PA+PB的距离最短。

（四）设计思路

（1）由生活中的修建泵站问题入手创设情境

引导学生回顾：“两点的所有连线中，线段最短”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”。（引导学生举例，然后板书——“最短路径问题”。）

（2）引导学生合作学习

引导学生就“最短路径问题”展开讨论，通过观察、分析、画图等对“最短路径问题”有更进一步的认识。（小组合作学习，在此过程中可能会出现争论，老师需引导学生自行解决。）

（3）展现类似的最短路径问题：将军饮马问题。

老师引导学生完成作图，并让学生思考、完成该作法的证明。整节课按照“情境—问题”教学模式的“设置数学情境—提出数学问题—解决数学问题—联系实际应用”展开，把“提出问题—解决问题”贯穿于课堂教学的始终，从而培养学生的问题意识和实践能力。

二　教学过程

片段一　情境激趣引入——用课件展示最短路径问题

师：两点的所有连线中，________最短。

生A：直线。

生B：线段。

（老师引导学生讨论：生B正确。）

师：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短。

生A：垂线。

生B：垂线段。

（老师引导学生讨论：生B正确。）

（教学反思：引导学生探究直线、线段的图形特征，正确理解它们的区别与联系。在此，应引导学生正确认识到数学概念的严谨性。）

师：我们称它们为最短路径问题。

教师揭题：板书——“最短路径问题”。

片段二　自主探索，合作学习

师：如图所示。要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

生：应建在线段AB与L的交点处。如图所示。

师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

师：这是一个实际问题，你打算首先做什么？

生：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。

师：你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

生：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；

（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A、B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

师：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

（老师引导学生完成作图，并让学生思考、完成该作法的证明。）

生A：我们的作法是：

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l相交于点C，则点C即为所求。

生B：这样证明：

如图所示，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′。由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′。

∴AC+BC=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′=AC′+B′C′。

在△AB′C′中，

AB′<AC′+B′C′，

∴AC+BC<AC′+BC′。

即AC+BC最短。

师：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC<AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？

生：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A、B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小。

师：说得太好了。非常棒！

（教学反思：这里不应该将“修建泵站问题”和“将军饮马问题”进行独立的分析和讨论，我们应找到这两个问题的区别与联系，并知道如何将后者转化为前者来进行解决，这才算是抓住了最本质的东西。）

片段三　联系生活实际，加强知识应用

师：如图所示，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。

（1）若要使厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

（2）若要使厂到A、B两村的水管最短，应建在什么地方？

讨论：（1）到A、B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点。

（2）类似于“修建泵站问题”和“将军饮马问题”，要使厂到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B）点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求。

生：（1）如图1所示，取线段AB的中点G，过中点C画AB的垂线，交EF于P，则P到A、B的距离相等.也可分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求。

（2）如图2所示，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短。

图1

图2

师：如图所示，从A地到B地经过一条小河（河岸平行），今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

圈1

图2

师：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM+BN最短即可，此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建。

生：它的作法是：

（1）如图2所示，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽。

（2）连接BC与河岸的一边交于点N。

（3）过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M。则MN为所建的桥的位置。

（教学反思：通过特殊情形下问题的解决，增强学生探索问题的信心，同时运用转化的思想将两个实际问题的解决化为前面“修建泵站问题”和“将军饮马问题”来解决，有效突破了教学的难点，让学生学会探索一般与特殊、复杂与简单之间的联系。利用轴对称解决生活中的实际问题，借以增强学生数学学习中应用数学的意识。）

三　学习体验

（一）联系生活创设情境，体验最短路径问题

本节课在引导学生复习线段、垂线段的性质的基础上，由生活实际问题导入问题情境，以问题唤醒学生的回忆，引起学生的思考。提出问题：让学生带着问题开始学习活动，让学生自主研讨分析问题、积极与他人合作，探究解决问题的思路和方法。提出猜想，通过画图观察、展示和组内合作，探索发现、实验验证、完成证明过程，归纳解决思路和方法。让全体学生经历合情推理和演绎推理的全过程，使“双基”得到有效落实，推理能力得到锻炼。与此同时，情感、态度、价值观等伴随着知识技能的学习与运用过程而得到相应的发展。这节课始终以学生的思维为主线，探求路径最短问题的奥秘，让他们真正体验到数学美的奥秘，在“美”中学习，又在学习中创造“美”，从而使大家都得到美的享受。

（二）猜想、尝试、合作学习，分享学生学习体验

让学生自己动手、实验，亲历最短路径问题的解决过程，并通过画图、观察、猜想、验证、归纳等，经历知识的发展形成过程，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究。作图方法的证明是一个难点，因此采用先由教师引导，让学生充分认识到在直线L上任意取一点的必要性，再让学生完善相应的证明过程，使学生有一个不断的自我矫正的过程，突破了难点，学生理解深刻。不过，在课堂上我未能充分倾听每一位学生的想法、建议，也未能让他们进行相互间的充分评价。我们应加强学生间的交流，充分让他们各抒己见、激烈讨论，且能认真倾听别人的意见。在此过程中，学生既有自己的主见，合作学习中又能吸取他人的长处，在互相交流中共同进步，在动手操作、合作交流中获得自己的数学学习体验。

（三）问题中探索转化，解决中体验思维

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同。通过探索与交流，学会用全局的观点看问题，体会数学中分类讨论的思想方法，在充分讨论、交流的基础上学会转化的思想和方法，最终解决路径最短的相关问题。

“修建泵站问题”和“将军饮马问题”实质上就是“两点的所有连线中，线段最短”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”这两个知识点的转化与应用。

建厂问题、桥的选址问题都可以转化为前面的两个问题，解决问题的关键是把各条线段转化到一条线段上。解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题。我们不难得出：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题。

通过教师适当的提问、引导，让学生获得发现问题、提出问题、探索问题、转化问题、解决问题的体验，更有利于促进学生问题意识的培养和思维能力的训练。

［参考文献］

［1］马复，陈怡，程燕云.初中数学教学策略［M］，北京：北京师范大学出版社，2010

［2］陈旭远.新课程推进中的问题与反思［M］，北京：首都师范大学出版社，2004

作者单位：贵州省习水县第七中学　564600

【点评】

本节课以一个实际应用问题导入新课学习，对于如何求最短路径问题，教师通过回忆旧知，触发学生相关的储备知识，因此问题解决水到渠成，整节课自然平和。教师在教学内容处理上，借鉴了我国传统教学“变式”理论，采用“问题驱动”，引导教学进程。从“修建泵站问题”到“将军饮马问题”，再到建厂问题和桥的选址问题，层次递进，故本节课不失为一节精彩的课。

四个问题的设计，对于求最短路径在方法上给予强调和突破，同时也重视相关知识的联系，如第三个问题，设计了两个问题：最短路径是多少？到两个村相等又如何解决？强化了学生通过“数学化”方式处理相关问题。

本节课对数学体验，更多充分强调的是思维体验，对于发展学生数学能力有重要帮助。但本节课教学环节尚可进一步完善，如对于求最短路径问题的方法进一步提炼出来，以示强调。其实对于所有程序性知识教学，均可把方法步骤凸显出来，以便于学生更加熟练掌握和运用这类方法解决问题。

点评人：王宽明