普拉托问题

普拉托问题

等待飞翔

Plateau's problem（普拉托问题）

这个问题看上去非常简单，就是问在边界固定的情况下，什么样子的曲面面积最小。这在物理上是一个很显然的问题。根据普拉托定律，你拿个铁丝弯成边界，然后吹肥皂泡就好了。但是这个在数学上来说，是一门学科，几何测度论（Geometric measure theory）的核心问题。

为什么说这个问题难呢？我们考虑一个简单的情形，即在三维空间中边界为圆弧的曲面。这个问题答案很显然，就是圆盘。但是从数学角度而言，这个不简单。

通常的想法就是，我们可以把曲面视为一个从二维圆盘到三维空间的映射，然后利用变分法去考虑这个问题。但是这个方法有着很多毛病，其中最大的问题就是缺乏紧性。我们不妨试着跟着这个思路走一下，看看会出怎样的问题。

1．遍历所有可能的曲面，然后取一个面积趋近于最小（infimum）的序列；

2．找出一个收敛子序列；

3．证明极限就是我们想要的曲面，即最小曲面。

在这三步计划中，第二步就会出现很大的问题。比如：

【我是一个有理想的曲面，我的目标是要成为极小曲面】

【嗯，我的面积缩小了。感觉好棒！】

【我的面积又缩小了。可是为什么我感觉怪怪的呢……】

【啊……肯定有……有什么不对……啊……怎么回事……我的面积明明缩小了啊……为什么……我感觉好奇怪啊……不行啊……为什么会变得这么奇怪呢……啊……】

【图片来源：Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide 作者：Frank Morgan】

看看，物理中多么显然的东西，在数学中就是这么的让人纠结。存在性就已经够难了，更别说正则性（即最小曲面是否光滑等等）……这个问题直到 20 世纪中期才有解决方法。具体方法涉及专业知识较多，我自己也不是很熟悉，就不细说了。

其实这种问题很多。比如在给定条件（比如边值）下的拉普拉斯方程

的解的问题。这个问题在物理上也是几乎显然的，因为电势就是解。但是在数学上这个问题并不简单，一般而言需要 Sobolev 空间等知识进行解决。

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那些说我是在黑数学的，请仔细思考一下：普拉托定律仅仅是经验性定律，根本无法保证在所有的情况下结论都成立。而数学就是将特殊到一般的过程。

另外，下面知友 @王醒 的回答（https://www.zhihu.com/question/30015911/answer/46436812 ）中已经补充了数学上关于曲面面积的定义。在上面第二步中，我说找到一族收敛子序列，其实是很不严谨的。因为我没有说是什么收敛，也没有说收敛极限在哪儿。事实上我们需要的极限必须是可求面积的曲面（请跟可求长度的曲线比较起来理解）。所以如何保证极限不会很奇怪，就是存在性的主要工作。

2015-05-06

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