课堂中的教师讲解通常是整堂课教学的主要形式。
于是课堂中教师如何剖析与解读概念、定义、定理，如何教授例习题，这些都对学生的思维感悟有着举足轻重的作用。
表达可以是文字上的，也可以是语言上的。教师的语言并非越通俗化越好，也并非越理论性强越好。在数学教学中，借用条理干净的言语或图表进行表述往往能起到事半功倍的效果。
让我们来看一例——研究抽象函数图像的对称关系。
对于抽象函数的研究一直是学生的弱项，很多时候通过举具体的实例就能够非常轻松地得到正确答案。
如果每次都是举具体的函数来搪塞的话，即便学生接受，但作为教师的我们恐怕也没法给自己一个满意的交代。
以下是对两个抽象函数图像对称关系问题的解析。
（1）已知x∈R，则函数y＝f（a－x）与函数y＝f（a＋x）的图像关于直线x＝0对称。
解析：
由于函数y＝f（x）和函数y＝f（－x）的图像关于直线x＝0对称。函数y＝f（a－x）的图像是由y＝f（－x）向右平移a个单位所得，而函数y＝f（x＋a）是由y＝f（x）向左平移a个单位所得。通过以上对应图表，可清晰、明了得到函数y＝f（a－x）与函数y＝f（a＋x）的图像关于直线x＝0对称。
（2）已知x∈R，则函数y＝f（a－x）与函数y＝f（x－a）的图像关于直线x＝a对称。
解析：
由于函数y＝f（x）和函数y＝f（－x）的图像关于直线x＝0对称。而函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图像都向右平移a个单位，分别得到函数y＝f（a－x）与y＝f（x－a）的图像。直线x＝0向右平移a个单位得到直线x＝a。借助以上对应图表，可得函数y＝f（a－x）与函数y＝f（a＋x）的图像必然就关于直线x＝a对称。
以上两个关于抽象函数图像对称关系的问题，应该说用特殊化的方法也能够非常轻松地得到正确答案。诚然，特殊化也是发现真理的一条途径。如果我们仅仅通过特殊化举几个具体函数的例子话，的确也可以敷衍一下。可是，严谨的数学要求不失一般性。
在这两题中，借用了图表，以这种简洁的表达形式，展现出一种对应的形式，有利于学生清晰地理解，也有助于学生欣赏到这样一种解决问题过程中的对应之简洁美。
对于本题，无论是特殊化也好，还是像这里借用图表来严格推理也罢，都应该是寻求正确答案的有效途径。我举这个例子并非想厚此薄彼地凸显这种借用图表推理的方法。事实上，在我的课堂里两种方法我都会讲。不过，寻找一个简洁、干净、清晰，又不失严格的数学解释，总归是数学教师不能推卸的职责。
数学解释直接关系到数学理解。数学知识作为一种静态的文化要顺利地传递给学生，那就需要数学解释。只有正确无误、符合学生思维水平的数学解释，才能让思维透亮地呈现。有时我们通过设置辨析题，通过条理清晰的讲解，从而为学生进行逻辑地思辨做好良好的示范。
我们再以讲解命题“单调函数必有反函数”为例。
很多学生对这个命题与其逆命题孰真孰假分辨不清，以为两者皆为真。
我们知道，三段论法是演绎推理的主要形式。所谓三段论法，是由三个判断组成，其中两个判断为前提，最后一个判断是结论。第一个判断是提供性质的判断，叫做大前提；第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提；第三个判断是联合前两个判断并根据它们的联系而推出的新的判断，叫做结论。
三段论的一般形式是：
一切M都是P，（大前提）
S是M，（小前提）
所以S是P。（结论）
一个非常经典的例子是：
凡人都会死。（大前提）
苏格拉底是人。（小前提）
苏格拉底会死。（结论）
“单调函数必有反函数”这个真命题可以用三段论来解释：
一一对应函数必有反函数。（大前提）
单调函数是一一对应函数。（小前提）
所以，单调函数必有反函数。（结论）
波利亚曾说过类似这样的话，上课时对某一内容的解释可以借用乐曲中的变奏方式。如一开始用这样的语言来解读某个定义，后再用另一种语言来阐释该定义，这样更有利于学生通过不同的表述从而对定义的理解更为深刻。
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