对数学的特别爱好并且得到了

非欧几何_我想知道的西方科

第十三章　非欧几何

有这样一个问题：自从数学诞生之日起，或者说从数学这门学科进入人们的视野之日起，什么是它最伟大或者说最引人注目的发明呢？

可能的答案有两个：一是微积分，另一个是非欧几何。

其中非欧几何对我们的触动也许更大。因为它太不平常了，它的发现有如哥伦布发现新大陆、弗洛伊德发现无意识，在人类的视野中打开了一片广阔的新天地，一片无人走过的、肥沃的处女地，人类在这里可以尽情地耕耘、收获。

我们在前面讲古代数学时，比较详细地讲过欧几里得及其《几何原本》，他系统地整理了当时已有的几何学知识，使之成为一门严谨的科学，他所表达的几何学就被称为欧氏几何。

千年以来，欧氏几何一直被认为是唯一的几何学，《几何原本》中的内容也被当成不可更改的至高真理，而欧几里得在《几何原本》中提出的五个公设也当然地被视为这至高真理的核心。

这五个公设您还记得吧？它们分别是：

1.给定两点，可连接一线段。

2.线段可无限延长。

3.给定中心和圆上一点，可作一个圆。

4.所有直角彼此相等。

5.如一直线与两直线相交，且在同侧所交的两个内角之和小于两个直角，则这两直线无限延长后必定在该侧相交。

这五个公设被欧几里得认为是理所当然、无需证明的，是他整个几何学的基础理论。

那么实际情形是不是真的这样呢？

前面四个公设大家都没有什么意见，它们都简单明了、一目了然、令人信服。这第五公设就不大一样了，它要长得多，作为一个应该是不言而喻的公设显然不够自明。

因此之故，便有许多数学家试图通过各种方法，例如通过前面四条公设以及欧几里得的五条公理，来证明之。但结果无一成功。

于是便有聪明人反其道而行之，否定它，看会有什么结果。

这一否定便掀开了几何学乃至整个数学史上革命性的一页——非欧几何的诞生。

—数学的新大陆—

最早创立非欧几何的是高斯。

但由于高斯一贯的谨慎作风与对完美的追求，他没有将这种肯定会引来大量争论的新几何学公之于众。与高斯的谨慎，甚至是过于谨慎相比，另一个人就不同了，他就是罗巴切夫斯基，伟大的俄罗斯数学家。

罗巴切夫斯基全名叫尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基，他是伊万·马克西莫维奇·罗巴切夫斯基和普拉斯科维亚·亚历山德罗娃·罗巴切夫斯卡娅的次子，1793年生于俄罗斯的下诺夫哥罗德。他的父亲是一个小小文官，不但挣钱少，而且体弱多病，当小罗巴切夫斯基还只有7岁时就去世了。由于家境太贫困，他的母亲被迫搬到了比下诺夫哥罗德更加偏远的喀山，在那里尽力地抚养孩子们。

俗话说自古贫寒多豪杰，从小生长在贫寒之家的三个小罗巴切夫斯基学习一个比一个勤奋，成绩也一个比一个优秀，都得到了奖学金，免费上了学。我们要讲的这个罗巴切夫斯基8岁时开始上学，进步神速，6年之后就上大学了，进的是当时刚成立不久的喀山大学。

在大学里，罗巴切夫斯基很快显示了对数学的特别爱好，并且得到了当时比较著名的数学家巴特尔斯——他是高斯的朋友——还有天文学家利特罗夫的青睐，他们从这个年轻人身上看到了难得的数学天赋。

1811年，罗巴切夫斯基从喀山大学毕业了，被授予硕士学位，这时他才只有18岁。

大学毕业后，由于成绩优秀，他被留在了喀山大学。又过了两年，还只有20来岁的他就成了喀山大学的“特命教授”，相当于现在的副教授。再三年之后，罗巴切夫斯基更成为年轻的正教授。

在学校里，罗巴切夫斯基不仅是数学教授，还要负责天文学、物理学等课程的教学工作。校长看到这个年轻人似乎什么都干得好，便把越来越多的工作交给他做。例如他是大学图书馆馆长兼博物馆馆长，甚至成了整个喀山所有学生的学监，从小学生直到研究生都要受他的监管。他主要负责监督学生们的“思想工作”，使他们不要想些革命之类的事儿。据说罗巴切夫斯基连这事也做得很好，得到过政府授予的许多勋章。

罗巴切夫斯基的职位还在不断增多，又成为物理数学系的系主任，直到1827年成为喀山大学校长。这是他最荣耀也最有权力的职位了。

罗巴切夫斯基从来是一个谦逊而负责的人，从不摆校长的谱。作为校长的他时不时还去博物馆干一些粗活呢，例如陈列摆设文物之类，因此全馆就数他对馆藏最熟。据说有一次，他正穿着工人的粗布衣服干活时，一位重要的外宾来了，请他导游博物馆。罗巴切夫斯基便带他参观了馆里最好的收藏，由于他讲解得好，满意的外宾离开时要给他一笔不菲的小费。罗巴切夫斯基生气地拒绝了，不过仍没有暴露他的身份，直到这天晚上在省长举行的宴会上，那个外宾又看到他时才明白过来。

日子就这么过着，成天忙得不亦乐乎的罗巴切夫斯基几乎忘记了时间，喀山大学也在他的努力之下成为一座著名学府，成为俄罗斯最好的大学之一。转眼就到了1830年，这年，喀山遭遇了大瘟疫，在罗巴切夫斯基的努力下，喀山大学的教职员及其家属的死亡率远远低于城中的平均数。同时，他这时也已经发表了他的非欧几何学，得到了全欧洲广泛的承认。

这之后两年，他结婚了，对象是一个小贵族，他们共生了7个子女，后来罗巴切夫斯基被封为世袭贵族。

1842年时，喀山大学发生了一场大火灾，许多重要建筑化为一片灰烬。在罗巴切夫斯基的努力下，仅仅两年后，学校就恢复了原来的模样，好像从来没有过那场火灾一样。

至此，罗巴切夫斯基的生活一直一帆风顺，直到1846年。这年，不知道什么原因，因为政府并没有对其行为作出解释，突然撤销了罗巴切夫斯基的校长职务，连教授都被撤掉了。这年罗巴切夫斯基54岁。

这种侮辱性的解职沉重打击了罗巴切夫斯基。为大学服务以来，他对大学以至政府当局一直忠心耿耿、任劳任怨，竟然落得个如此结果。他简直被打垮了。

此后，从身兼数不清职务到几乎无所事事的罗巴切夫斯基便埋首数学研究。他的身体迅速垮了下去，1855年，适逢喀山大学建校50周年，他这个老校长也前往参加典礼，随身带去一部《泛几何学》，系统地记录了他的非欧几何思想，这也是他一生思想的总述。

又几个月之后，1856年2月，罗巴切夫斯基去世了，时年62岁。

罗巴切夫斯基是非欧几何的创立者，或者说是第一个公开宣布非欧几何之存在者。

他之所以会产生非欧几何思想同样源于对欧几里得第五公设的怀疑。一开始他试图证明之，早在1816年时他就这么做了，不过后来发现自己的证明有误。7年后他写了一本名为《几何学》的教科书，里面别出心裁地将已知的几何命题分成两部分：前一部分不依靠第五公设，他称之为“绝对几何学”，再转向后一部分那些必须依赖平行公设才能成立的命题。

他将这部教科书交给当时俄罗斯一个数学权威，一位科学院院士，请他审查，却遭到他的严厉批评。创新的思想就这样被守旧的权威封杀了。

罗巴切夫斯基第一次公开其非欧几何思想是1826年。那年他将一封公开信寄给了喀山的物理—数学协会。由于喀山的物理—数学协会影响太小，他的公开信没什么效果，后来那封信也遗失了。

这年2月，他在喀山大学物理数学系的一次学术会议上，作了题为《附有平行线定理的一个严格证明的几何学原理之简述》的学术报告，在报告中他阐述了一种“虚几何学”存在的可能性。这“虚几何学”就是非欧几何，这一天后来被公认为非欧几何的诞生之日。

由于罗巴切夫斯基的思想与传统的欧几里得几何学思想太过冲突，又与我们的常识不符，因此遭到了一部分同仁的冷遇甚至讽刺。

但罗巴切夫斯基并没有退缩，他坚信自己是正确的。过了三四年，他又在喀山大学的《喀山通讯》上发表了研究论文《论几何学原理》，又一次阐述了他的非欧几何思想，不过这份通讯太不起眼，仍未得到注意。

罗巴切夫斯基继续坚持不懈地传播他的思想，又在《喀山大学学报》上发表了好几篇论文，例如《虚几何学》、《虚几何学在某些积分中的应用》、《具有完善的平行线理论的新几何学原理》等，系统阐述了他的非欧几何思想，包括其原理及应用等。

他的努力仍如在空屋中呐喊——没人听见，这也难怪，当时的俄罗斯在科学上远远落后于英、法、德等先进国家，怎么可能理解罗氏那在整个欧洲也是最先进的思想呢！

后来，罗巴切夫斯基想到了国外。1837年，他把《虚几何学》一文经修改后译成法文，发表在《纯粹与应用数学杂志》上，3年后又用德文出版了《平行线理论的几何研究》，向全欧洲的同行们系统地介绍了他的新思想。

这下他成功了，他的思想开始得到承认，其中包括伟大的高斯，当时的数学家之王。他使罗巴切夫斯基成为他所在的哥廷根科学协会的成员。

到1855年，这时罗巴切夫斯基已经像当初的欧拉一样双目失明，仍然用口述完成了《泛几何学》一书，并分别用俄文与法文出版。

新作得到了一定的承认，但并不广泛，也不说明他的非欧几何已经完善。事实上，非欧几何得到公认还要等上一些年头，而罗巴切夫斯基所创立的非欧几何也只是非欧几何大厦的一部分。可以说，罗巴切夫斯基的非欧几何与欧几里得的古典几何学都只是一种更为广泛的几何学的一部分，在它们之上还存在着一种更新、也更为根本的几何学。

这种更为基本的几何学就是黎曼几何学。

罗巴切夫斯基几何与黎曼几何合起来才是完整的非欧几何。

—英年早逝的天才—

黎曼是德国人，1826年生于德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是一个新教路德派的牧师，牧师先生共有6个孩子，黎曼是第二个。由于家庭庞大而收入微薄，这个家庭很是贫困。这严重影响了孩子们的健康，使他们生来就体弱多病，他们的母亲也在生下最后一个孩子后不久就去世了。

不过，黎曼的牧师父亲是仁慈而博学的，使他不仅没有失去家庭的关爱而且从小在父亲那里接受了丰富的知识。

大约从6岁起黎曼开始学习数学，很快便显露出了这方面的天才，十来岁时已经开始学习高等数学了。

14岁时，黎曼到了汉诺威，与他的祖母生活在一起，并在那里上了中学。由于他个性十分羞怯，使得他成为同学们取笑的对象，就是成绩好也没用。

两年后，因为祖母去世，他又转到了吕内堡，在那里的中学一直学习到19岁。那里距他的家不远，但对于步行来说却又不近，为了与他所热爱的家人经常见面，黎曼总是步行很长时间回家。

这样经常的长时间步行对黎曼的健康大大不利，那太累了。后来，一个善良的希伯来语教师让他住到了自己家里。这所中学的校长也注意到了黎曼不平常的数学天才，给了他许多优惠条件，例如他可以不上数学课，因为老师都没他懂得多，他还可以自由使用学校的各种图书资料。

从这些图书里黎曼学到了更为精深的数学知识并用惊人的速度掌握了它们。

到1846年，黎曼19岁时，他进入哥廷根大学神学系学习。这主要是为了让他敬爱的父亲高兴，不过在父亲的同意下他很快转到了数学系。

但他对哥廷根大学并不感到满意，于是第二年就转到了更著名的柏林大学，那里有好几位数学大师在执教。

在柏林大学度过了两年后，黎曼又回到了哥廷根大学。这时黎曼的爱好有了一点变化，他对哲学与物理学表现出了相当的爱好与天赋。他似乎有将数学与物理学，或者说将高深的数学与具体的自然世界的空间与时间联系起来的天赋。我们以后将会看到，这种联系也正是他的数学的特征之一，而黎曼也被称为是一个物理数学家。

由于埋头钻研物理学，黎曼的数学博士论文交得比较迟，直到1851年才完稿，然后他将博士论文呈给了伟大的高斯。

我们前面说过，高斯是哥廷根大学的天文学教授兼天文台台长，他居住在天文台，也不喜欢教授学生，他的少许学生里的一个便是黎曼，而且黎曼也只是他的“博士生”而已，实际上只审查了一下他的论文。高斯对这个学生表露出了难得的称赞，他在递交给哥廷根大学的对黎曼博士论文的审查报告中说：

黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的问题作了全面深入的研究，说明作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，具有极为丰富的创造力。表达方式也是清晰简明的，某些地方是优美的。……整篇论文是有内容有价值的著作，它不仅满足了博士论文所要求达到的标准，而且远远超过了这些标准。

数学家之王竟然如此称赞一个人，由此可以想象黎曼的水平有多高了，不久他就顺利得到了博士学位。

获得博士学位之后，他希望在哥廷根大学取得一个数学职位，哪怕是一个编外讲师职位。这种职位只提供在大学讲课的权利，但没有薪俸，收入得靠那些愿意听他课的学生交的听课费。

为了获得这个说不上很好的职位，黎曼足足准备了两年半，直到1853年底才递交了他的讲师就职论文《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》并顺利获得讲师资格。

为了正式上课，他还得进行一次就职演讲，这是一种当堂讲演，类似于上课，听课的学生则是考评他讲课能力的教授们，其中包括高斯。

这是一次严峻的考验，但黎曼这时已经胸有成竹。他提出了三个题目给考官们任意选择，其中第三个题目是有关几何基础的，这正是高斯自己思索了几乎整整60年的问题，也是最艰难的。黎曼接过了高斯递过来的题目，他所作的就职演讲就是《关于构成几何基础的假设》。

这个讲演被称为数学史上最著名的讲演之一，夸张点说，黎曼仅凭一个讲演就勾勒了一套全新的几何学，这就是黎曼几何学。

这次讲演被热烈地接受了，它最热烈的赞美者是高斯。

黎曼的这次讲演不仅思想深邃先进，而且用语通畅明白，具有数学独特的、激动人心的美感。

这次演讲是1854年6月的事，几个月后他就开始讲课生涯了。

成功出乎他的意料，竟然有8个学生来听他讲课，而他原来以为只有两三个或者更少哩！这使得黎曼信心更足，这种信心对于一向羞怯的他是极为重要的。

第二年，由于高斯的去世，另一个杰出的数学家狄利克雷接替了高斯的职位，他帮助黎曼获得了一笔固定的薪金，虽然为数不多，但比他靠学生听课收取的微薄费用要高。就在这年，他热爱的父亲和一个妹妹相继去世，这对黎曼是一个沉重的打击。

照料剩下的三个姊妹的担子便落在了他当邮政职员的兄弟身上。

这时已经到了1857年，黎曼终于得到了晋升，成为正式的副教授，收入增加了。但不久命运便使他更加贫困。因为他的兄弟死了，照料三个姊妹的担子便落在了他的肩膀上，他得用微薄的收入来养活四口人。

黎曼咬牙忍着，快乐而贫困地与姊妹们生活在一起。

到1859年，幸运之神终于眷顾了已经被生活的担子压得喘不过气来的黎曼——他成了高斯的第二位继任者。

原来，这年5月，狄利克雷去世了，去世之前，他感到黎曼的天才足以胜任这个职位，便向政府郑重推荐了黎曼。政府也接受了他的推荐。狄利克雷去世后，黎曼就成了哥廷根大学的天文学教授兼天文台的台长，他还被特别准许像高斯一样一家子都生活在天文台。

这年黎曼只有33岁。

此后黎曼的生活就顺多了，各种荣誉也随之而来，他成为英国皇家学会会员和法兰西科学院院士，这直到今天都是一个科学家所能得到的最高荣誉之一了。

第二年，即1860年，黎曼应邀访问了巴黎，得到了法国数学家与物理学家们的热情接待与衷心赞赏。

也在这年，黎曼写出了论文《关于热传导的一个问题》，在其中他发展了二次微分形式。

这篇文章有什么意义呢？很简单，50多年后，爱因斯坦的相对论就是用这种方法为基础的。

由于成了大教授，黎曼的生活条件大为改善，不过他的年纪也大了，所谓男大当婚，女大当嫁，黎曼在36岁这年结婚了，对象是他一个姐妹的朋友。

婚姻并没有给他一向比较脆弱的健康带来好处，婚后仅一个月，他就得了胸膜炎，紧接着又患上了肺病。他的健康迅速恶化。由于他这时已经是卓有影响的学者，汉诺威政府给了他一笔钱，让他去意大利度假，希望那里温暖的阳光有助于他的康复。

黎曼在意大利度过了整个冬天，直到第二年春天才动身回德国，在意大利时他的身体本来已经好多了，但德国的阴冷使得他的肺病更严重了。于是，他在这年8月份又回到了意大利。这是1863年的事。

他到了比萨，第二年5月住进了比萨城郊的一栋小别墅，他的妻子、姐妹和新生的孩子陪着他。但他的健康仍然不好，本来他准备接受比萨大学提供的教职，但哥廷根大学执意挽留他，并且让他继续在意大利待着，他甚至可以在那里再过一个冬天。不过他在这年10月份就回到了哥廷根。

在哥廷根度过一个冬天后，黎曼为恢复健康做了最后一次努力，又到了意大利。这次他到了一个叫塞拉斯加的地方，在那里有一个叫骄利的小湖，湖畔有一栋别墅，黎曼就住在那里。

在那里黎曼度过了他一生最后的时光。

虽然健康状况极度恶化，但黎曼仍然拼命工作，也许是看到自己时日无多，想要抓紧时间将他脑海里那如大海一般丰富的思想尽力多表达一点吧！

然而命运对人类毫无怜悯之情，黎曼很快地走向死亡，他的朋友戴德金是这样记述黎曼最后的日子的：

……但是他的力气迅速衰退，他感到他的终点临近了。去世的前一天，他坐在一棵无花果树下工作，在环绕着他的美丽风景中，他的心灵充满了愉悦……他的生命缓慢地衰竭，没有斗争或死亡的痛苦；看起来他仿佛很有兴趣地注视着自己的灵魂脱离肉体。他的妻子不得不替他领圣餐，……他对她说：“吻我的孩子们”。她同他一起背诵主祷文，后来他不能说话了。在听到“免我们的罪”这几个字时，他虔诚地朝上望去，她感到他的手在她的手里变凉了，随着几声最后的叹息，他那颗纯洁、高尚的心停止了跳动。

这是1866年7月的事，黎曼时年未满40岁。

黎曼虽然一生短暂，但对数学作出的贡献极大，只是由于他的思想太过深邃，不是我们在这里能够详说的罢了。我只提一些用“黎曼”来命名的数学名词：

函数论有黎曼方法、关于代数函数有黎曼罗赫定理、黎曼曲面、黎曼映射定理、黎曼积分、关于三角积分的黎曼勒贝格定理、三角级数理论中的黎曼方法、黎曼几何、黎曼曲率、阿贝尔函数理论中的黎曼矩阵、黎曼ζ函数、黎曼假设、解双曲型偏微分方程的黎曼方法、分数阶的黎曼刘维尔积分，如此等等，简直数得人两眼昏花呢！

由此可以想象黎曼对现代数学的贡献有多大了，若上帝给予黎曼再多一点时光，哪怕一两年，他将为人类的科学事业奉献多少光辉的思想呀！

以上我们讲了非欧几何两位著名的发明者罗巴切夫斯基和黎曼生平的故事，现在我们就来谈谈他们所发明的非欧几何，即罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。

—玄之又玄，众妙之门—

我们知道，非欧几何的共同特点是从否定欧几里得几何学的第五公设出发而建立的。那么，为什么从共同的基础出发会产生两种不同的非欧几何呢？我们还是从第五公设来看吧。

欧几里得的第五公设我们在本章一开始就表述了，其实它也可以用另外更加明白的句子替而代之，就是：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

非欧几何正是从第五公设的这一表述方式入手的。它是如何入手的呢？其实我们可以自己来猜猜。

第一种可能性当然是：在同一平面上，经过直线外一点，不止一条直线与已知直线平行。

第二种可能性则是：在同一平面上，经过直线外一点，没有直线与已知直线平行。

那么，这两种说法哪种对呢？答案是：两种都对。罗巴切夫斯基正是从前者出发，得出了他的罗巴切夫斯基几何学；而黎曼则从后者出发，得到了他的黎曼几何学。

我们先来看更早诞生的罗巴切夫斯基几何学。

罗巴切夫斯基几何学的出发点是罗巴切夫斯基平行公理：在同一平面上，通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。

我们这里要注意的是，这里平行的意思就是永不相交。

依据这个公理，罗巴切夫斯基得出了一系列的其他定理，我们这里且举几个：

1.在同一平面上不相交的两直线，被第三条直线所截，同位角（或内错角）不一定相等。

2.同一直线的垂线和斜线不一定相交。

这两个定理可以用图示如下：

在左边的图形中，就是说直线a与直线b是永不相交，即平行的，而且∠α≠∠β。而右边的图形中，直线a和b永不会相交。

3.三角形内角和小于两直角。

4.两三角形若有三内角对应相等，则两三角形全等。

如此等等，类似的定理还有很多。

看得出来，这四个定理与我们在欧几里得几何学中所见过的都大为不同，而且似乎都是错的，不符合我们的直观。然而，如果深究它们，却可以发现在这貌似的谬误之下蕴藏着深刻的真理。

遗憾的是，由于水平有限，本章的篇幅同样有限，我们在这里不能深究了。

我们再来看黎曼几何学。

黎曼几何学的出发点是上面否定欧几里得第五公设的第二种可能性，即在同一平面上，经过直线外一点，没有直线与已知直线平行。或者也可以说成：在同一平面上，任何两条直线一定相交。或者还可以说成：世界上并不存在无限延伸的直线，任何直线都是有限的。

为什么这么说呢？这里黎曼自有他的道理。他说，我们如果真的沿着欧几里得那种纯粹的“平面”上的直线行走，那么自然永远走不到尽头，也就是说直线是无穷的。但实际有这样的平面有没有呢？答案是：没有。我给大家举个例子吧，假设我们在大地上的某一点铺上一根长长的白纸条，一路铺过去，就像一路将一条直线画过去一样，那么这纸条会不会永远没有尽头呢？答案是否定的。事实上，铺过很长很长后，我们会发现，前面就是我们从之出发的端点。

这样的原因大家都明白：因为地球是一个球体，因此那些我们在地上画出来的直线实际上并非直线，而是曲线。当我们顺着地球表面延伸时，它走过的路实际上有如地球的一条经线或纬线，这样当然必定相交。

与直线相应，由直线的一部分线段构成的三角形也差不多，我们现在在纸上画一个三角形，看上去好像是由三条直线构成的，实际上不是，由于它们是画在一张纸上的，而纸是铺在大地上的，而大地表面可不是理想的平面，而是一个球面，因此那三角形也就是一种“球面三角形”。

这种球面三角形有什么特点呢？它的主要特点就是三内角和大于180°。这就是黎曼几何学得出的另一个独特的定理，可以看出来，它与罗巴切夫斯基几何学中的三角形三内角和小于两直角刚好相对。

进一步地，黎曼设想出了这样一种几何学，它适合各种面，包括平面与曲面。就像在丘陵地带行走一样，它有些地方是平坦的，但有些地方却有着各样的山包高地等。在这样的地形，两点之间距离的计算公式将随着地点的不同而变化，例如在平面上是直线的，到了山包就是曲线了，两者计算距离的公式当然有所区别。因为这里有了一个所谓“曲率”的问题，而黎曼就是要找到这样一种几何学，它能够根据曲率的不同而自行调整，并且能够计算出各种曲率下的距离等。

与线段的长度相似，黎曼认为平面与立体的空间也是这样，它也有着自己的“曲率”，由于“曲率”的不同，空间呈现不同的形式，他的几何学能够将所有这些空间统一起来。所有这些空间被总称为“黎曼空间”。

看得出来，黎曼空间较之我们平常所称的空间内容要丰富得多，我们平常所称的空间乃是黎曼空间的一种特殊形式，精确地说，它就是欧几里得几何学的空间，它的曲率为零。与之相对，罗巴切夫斯基几何学中的空间的曲率为负，而黎曼几何学的空间曲率为正。所有这些空间都属于“黎曼空间”。

这“曲率”说明了什么呢？简而言之，它说明了空间就像线一样是可以弯曲的，它可以有自己的“曲率”，即弯曲的比率、程度或者形式。

空间难道可以弯曲吗？有点不可思议吧？但事实上它不但可以，而且这弯曲的空间并非一种纯粹的数学幻想，而是实际存在的，它后来被爱因斯坦证实了，这就是我们后面讲物理学时要说的广义相对论。在这里，爱因斯坦指出，一个物体，例如太阳或者行星，能影响周围时间与空间的特性，使空间弯曲。爱因斯坦在描述弯曲空间时所使用的工具就是黎曼几何学。这种弯曲空间已经为科学观测所证实，这也是我们在本书后面将会讲的广义相对论的验证之一。

数学的内容实在太丰富，前面所涉及的连九牛一毛都谈不上，还有许多内容与许多伟大的数学家，像阿贝尔和它的群论，只活了20岁的天才数学家伽罗瓦，20世纪伟大的全能数学家希尔伯特和庞加莱等，一则力有不逮，二则篇幅有限，希望以后有机会再给大家讲数学的故事吧！