关于互质数的判断问题

第二十四天　关于互质数的判断问题

学习数学有秘诀

佳佳在做题的时候，经常会遇到判断两个数是不是互质数的问题。遇到这样的问题时，她就很苦恼，这部分的内容她觉得很混乱。她很后悔，老师讲这部分知识的时候，她可能“梦游”去了。

“真糟糕，这就是上课不注意听讲的后果，题不会做了吧？”鸣鸣看着一筹莫展的佳佳说道。

“唉，上课不注意听讲在做题中就是容易遇到拦路虎啊！”佳佳感叹道，“快帮我解决一下这节知识中存在的问题吧。”

“没问题，其实判断两个数是不是互质数也很简单的，只要你掌握了一些方法和步骤，另外，值得一提的是，以后上课的时候不要再‘梦游’了！”鸣鸣说。

学习技巧大公开

如果两个数的公约数只有1，那么两个数就是互质数。互质数这一概念在求两个数的最大公约数和最小公倍数、在判断一个分数是不是最简分数时经常用到，因而十分重要。

怎样判断两个数是不是互质数呢？这需要对具体情况进行分析。

一般来说，属于下列五种情况之一的两个数一定是互质数：

1.1和任何自然数一定是互质数。（如1和100）

因为1是所有自然数的约数，即任何自然数和1都有公约数1。另外，1的约数只有1本身，所以1和任何数的公约数只有1。

2.两个不同的质数一定是互质数。（如2和7）

因为每个质数的约数都只有1和它本身，所以两个不同的质数除了1以外不可能有其他公约数。

3.两个相邻的自然数一定是互质数。（如8和9）

因为两个自然数的最大公约数不小于两个数的差，而相邻的两个自然数的差是1，所以相邻的两个自然数除了1以外，不会有其他公约数。

4.相邻的两个奇数一定是互质数。（如23和25）

因为两个自然数的最大公约数不大于两个数的差，而相邻的两个奇数差是2，而两个数都是奇数，所以2不是两个数的公约数，那么两个数的公约数只能是1。

5.一个质数与一个合数，如果这个合数不是这个质数的倍数，这两个数一定是互质数。（如8和5）

因为质数的约数只有1和它本身，任何一个合数都不能是这个质数的约数，一个合数如果不是这个质数的倍数（不管这个合数比这个质数大还是小），那么，这个质数就不是合数的约数，因而这两个数除了1以外没有其他的约数。

除此之外，其他的情况较复杂。如果两个数是合数，这两个数在有些情况下是互质数（如16和25，27和32），有些不是（如15和9，21和33），在这种情况下，我们可以把它们分别分解质因数。如果两个合数有相同的质因数，那么这两个数就有除了1以外的公约数；如果这两个数没有相同的质因数，这两个数就没有除了1以外的公约数，它们就是互质数。

学习方法来讨论

记一记

1和2的特殊性

1的特点有：

1是最小的自然数；1是所有自然数的公约数；1与任何自然数都是互质数；在自然数中，1是最小的奇数，1是最小的一位数，1既不是质数也不是合数；1与任何数相乘都等于任何数；任何数除以1，商还是这个数；1的倒数仍是它本身。

2的特点有：

在自然数中2是最小的偶数；2是最小的质数；2是所有质数中唯一的偶数；2是偶数中唯一的质数。

学习要领要掌握

生活在大约一千五百年前的孙子是一位有名的军事家，同时还精通数学，他曾经解答过这样一道数学题：

在一个笼子里，关了若干只鸡和兔子，从上面数，共有35个头；从下面数，共有94只脚。求笼子里各有多少只鸡和兔子？小朋友们，你们会解答这个问题吗？孙子对这个问题有独到的方法，不妨先看看。

孙子提出了大胆的设想，假设先去掉鸡和兔子一半的脚，那么每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔子就变成了“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就从94只变成了47只。每只“独脚鸡”的头和脚的比例是1：1，每只“双脚兔”的头和脚的比例是1：2，由此我们可以知道“双脚兔”脚的数量比头的数量多1。所以，用“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量减去他们头的数量，就是兔子的只数，即：47-35=12（只）；那么鸡的只数就是：35-12=23（只）。

知识小锦囊

用“比例”可以让数字的比较更加清晰，比如，比例1:1，是指它们的数量相等；而1:2指后者是前者的两倍。

轻松上场

故事中的“鸡兔同笼”中运用脚数与头数相加的原理，那么把条件换成“两数之差”又该怎么解答呢？想想看，下面的题怎么解？

小红买了一些4分和8分的邮票，共花了6元8角。而8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张呢？

如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多。

（680-8×40）÷（8+4）=30（张）

余下的邮票中，8分和4分的各有30张。而8分邮票有40+30=70（张）。

所以，8分的邮票70张，4分的邮票30张。