让我们简要地概括一下所得到的结果。我们打算研究所谓空间有三维意味着什么，我们首先要问，什么是物理连续统，何时可以说它有n维。如果我们考虑一下不同的印象系统并把它们相互比较，我们往往辨认出，这两个印象系统是不可区分的（这通常用下述说法来表示：它们相互之间太接近了，我们的感觉太粗糙了，以至于我们无法区分它们）；此外我们确定，这两个感觉系统尽管与第三个系统不可区分，但它们二者有时却能够彼此区分。在这种情况下，我们说这些印象系统的流形形成物理连续统C。而这些系统中的每一个称为该连续统C的元素。
这个连续统有多少维呢？首先取C的两个元素A和B，设存在着完全属于连续统C的元素的系列Σ，该系列是这样的：A和B是这个系列的外项，该系列的每一项与前一项不可区分。如果这样的系列Σ能够被找到，我们就说A和B相互联通；如果C的任何两个元素相互联通，我们就说C完全是连成一片的。
现在，在连续统C中以完全任意的方式取若干元素。这些元素的集合将被称为截量。在把A和B联合起来的各种系列中，我们将区分出两类系列：一种是其元素与该截量的一个元素不可区分的系列（我们将说，它们是切断截量的系列），一种是其所有元素与该截量的所有元素不可区分的系列。如果把A和B联通起来的所有系列Σ切断截量，我们将说A和B被截量隔离，截量分割C。如果我们不能在C上找到被截量隔离的两个元素，我们将说截量没有分割C。
在拟定了这些定义后，倘若连续统C能被本身不形成连续统的截量分割，则这个连续统只有一维；在相反的情况下，它有多维。若形成一维连续统的截量足以分割C，则C将有二维维；若形成二维连续统的截量足以分割C，则C将有三维，等等。多亏这些定义，我们总是能够辨认任何物理连续统有多少维。只是尚需找到一种物理连续统，它可以说等价于这样一种类别的空间，致使这个连续统的元素对应于空间的每一个点，不可区分的元素对应于空间中的彼此十分接近的点。于是，空间将具有与连续统一样多的维数。
能够表示的这个物理连续统的中介物是必不可少的；因为我们无法想象空间，其理由很多。空间是数学连续统，它是无限的，而我们只能想象物理连续统和有限的对象。我们称之为点的空间的不同元素是完全类似的，为了应用我们的定义，我们必须了解如何相互区分这些元素，至少在它们不太接近的情况下应该如此。最后，绝对空间是胡言乱语，我们必须把与我们身体（我们必须始终假定我们身体恢复到原先的姿势）恒定地结合在一起的坐标系作为空间的参照系，以此作为出发点。
再者，我试图用我们的视觉形成与空间等价的物理连续统；这的确是容易的，这个实例尤其适合于讨论维数；这一讨论能够使我们在某种程度上看到，谈论“视觉空间”有三维是可以容许的。只是这种解决办法是不完善的和不自然的。我已经说明了其中的原因，必须把我们的努力转向动觉空间，而不是视觉空间。另外，我回想起，我们在位置变化和状态变化之间做出区分的根源是什么。在我们的印象所发生的变化中，我们首先区分随意的、被肌肉感觉所伴随的内部变化和具有相反特征的外部变化。我们确定，会发生这种情况：外部变化可以被重建原来的感觉的内部变化矫正。能够被内部变化矫正的外部变化叫位置变化，不能被内部变化矫正的外部变化叫状态变化。能够被外部变化矫正的内部变化叫整个身体的位移，其余的变化叫姿势变化。
现在，设α和β是两个外部变化，α′和β′是两个内部变化。假定α可以被α′或β′矫正，α′能够矫正α或β；经验接着告诉我们，β′同样能够矫正β。在这种情况下，我们说α和β对应于相同的位移，也说α′和β′对应于相同的位移。在做出这些先决条件后，我们能够设想一个物理连续统，我们可把它称为位移连续统或位移群，我们将用下述方式定义它。这个连续统的元素必须是能够矫正外部变化的内部变化。这两个内部变化α′和β′在下述情况下将被看做是不可区分的：（1）如果它们本来就是如此，也就是说，它们彼此之间太接近了；（2）如果α′能够矫正与本来和β′不可区分的第三个内部变化一样的外部变化。在第二种情况下，可以说，它们按照约定将是不可区分的，我意味着借助一致赞同忽略可以区分它们的境况。
现在我们的连续统被彻底定义了，因为我们知道它的元素，并且规定在什么条件下它们可以被认为是不可区分的。从而我们具有应用我们的定义和确定这个连续统有多少维所必需的一切东西。我们将公认它有六维。因此，位移连续统并不等价于空间，因为维数不同；它仅仅与空间相关。现在，我们怎样知道这个位移连续统有六维呢？我们是根据经验知道它的。
要叙述我们能够藉以获得这一结果的实验也许是很容易的。可以看到，能够在这个连续统中做出截量，该截量分割连续统，其本身亦是连续统；这些截量本身能够被其他二阶截量分割，二阶截量还是连续统，这种做法只有在六阶截量之后才会停止，六阶截量不再是连续统了。从我们的定义来看，这意味着位移群有六维。
我已经说过，那是容易的，但是确切地讲，却是冗长的；它不会有点肤浅吗？我们看到，这个位移群与空间相关，空间可以由它产生，但是它不等价于空间，因为它没有相同的维数；当我们要表明这个连续统的概念如何能够形成和空间概念如何可以从它导出时，总是有人质问，为什么三维空间比这个六维连续统更使我们熟悉，总是有人怀疑，用这种迂回办法，空间概念是否能在人的心智中形成。
点是什么？我们怎么知道空间两点是等价还是不同？或者，换句话说，当我们说：对象A在时刻α占据对象B在时刻β所占据的点时，这意味着什么呢？
这是我们在前章第4节给我们自己提出的问题。正如我已经说明过的，它不是把对象A和B放在绝对空间中的位置进行比较的问题；这样讨论问题显然没有意义。它是把这两个对象相对于和我们的身体恒定地结合在一起的坐标系的位置作比较的问题，倘若我们的身体总是以相同的姿势移动的话。
我假定，在时刻α和β之间，我既没有移动我的身体，也没有移动我的眼睛，我是从我的肌肉感觉知道这一点的。我未使我的头、我的臂或我的手运动。我弄清，在时刻α，我归因于对象A的印象传送给我，一些是通过我的一个视觉神经纤维传送给我的，另一些是通过我的手指的一个敏感的触觉神经传送给我的；我查明，在时刻β，我归因于对象B的另外的印象传送给我，一些是通过同一视觉神经纤维，另一些是通过同一触觉神经。
在这里，我必须停下来加以说明；我是怎样被告知，我归因于A的这个印象和我归因于B的那个印象这两个在质上不同的印象是通过同一神经传达给我的呢？以视觉为例，A产生两个同时并起的感觉，即纯粹的光感a和色感a′，B以同一方式同时产生光感b和色感b′，如果这些不同的感觉通过同一视网膜纤维传送给我，那么a与b恒等，但是一般说来，不同的身体产生的色感a′和b′是不同的，我们必须做上述假定吗？在那种情况下，伴随a′的感觉a与伴随b′的感觉b应该恒等，这辨明所有这些感觉是通过同一纤维传送给我的。
无论如何，可以同意这个假设，尽管我可能更喜欢相当复杂的假设，但是可以肯定，我们通过某种方式被告知，在a＋a′和b＋b′这些感觉之间有某些共同之处，没有这一点，我们就会无法辨认对象B代替了对象A。
因此，我不再进一步坚持，我回想起我刚才做出的假设：我假定我已经查明，我归因于B的印象是在时刻β通过同一视觉及触觉纤维传送给我的，而在时刻α，这些纤维把我归因于A的印象传送给我。如果情况确是如此，我们将毫不犹豫地断言，B在时刻β所占据的点等价于A在时刻α所占据的点。
我刚刚阐明了这些点恒等的两个条件；一个与视力有关，另一个与接触有关。让我们分别考虑它们。第一个是必要的，但不是充分的。第二个同时是必要的和充分的。通晓几何学的人会用下述方式轻而易举地说明这一点：设O是视网膜上的一点，物体A在时刻α的图像在这里形成；设M是空间的一点，这个物体A在时刻α占据该点；设M′是物体B在时刻β所占据的空间的点。由于这个物体B在O形成它的图像，因而没有必要使点M和M′重合；由于视力是超距作用的，只要三点OMM′在一条直线上就足够了。因此，两个对象在O形成它们的图像这一重合是必要的，但对点M和M′重合而言，却不是充分的。现在，设P是我的手指占据的点，而且手指依然留在那里，由于它没有轻微移动。鉴于接触不是超距作用，所以若物体A在时刻α接触我的手指，正是因为M和P重合；若B在时刻β接触我的手指，正是因为M′和P重合。因此M和M′重合。这样一来，如果A在时刻α接触我的手指，则B在时刻β接触我的手指，这一重合对于M和M′重合而言同时是必要的和充分的。
但是，我们这些迄今还不了解几何学的人不能这样推理；我们能够做的一切就是通过实验弄清，与视力有关的第一个条件可以在没有与接触有关的第二个条件的情况下得到满足，但是若没有第一个条件，第二个条件则无法满足。
假定经验告诉我们相反的东西，这是完全可能的；这个假设没有包含荒谬的东西。因此，假定我们根据实验已经查明，与接触有关的重合可以在与视力有关的重合未被满足的情况下得到满足，相反地，与视力有关的重合在与接触有关的重合未被满足的情况下却不能得到满足。很清楚，倘若如此，我们就应该得出结论：接触能够超距地施加，而视力却不能超距地起作用。
但是，这并非一切；直到我假设确定对象的位置之时，我仅仅利用了我的眼睛和一个手指；可是，我同样也能够使用其他手段，例如我的所有其他手指。
我假定，我的第一个手指在时刻α接受到我归因于对象A的触觉印象。我作出对应于肌肉感觉系列S的一系列动作。在这些动作之后，在时刻α′，我的第二个手指接受到我同样归因于A的触觉印象。此后，正如我的肌肉感觉告诉我的，在时刻β，由于我没有轻微移动，这第二个手指把我这次归因于对象B的触觉印象重新传送给我；接着，我做出对应于肌肉感觉系列S′的一系列动作。我知道，这个系列S′与系列S相反，它对应于相反的动作。我知道，这是因为许多以前的经验向我表明，如果我相继做出两个对应于S和S′的动作系列，那么就可以重建原来的印象，换句话说，这两个系列相互补偿。在决定了这一切后，我能够期望在时刻β′，即当第二个动作系列结束时，我的第一个手指可以感觉到归因于对象B的触觉印象吗？
为了回答这个问题，已经通晓几何学的人会进行如下推理：在时刻α和α′之间，存在着对象A不移动的可能性，在时刻β和β′之间，却不存在对象B不移动的可能性；他们采取了这一点。在时刻α，对象A占据了空间某一点M。现在，在这一时刻，它接触了我的第一个手指，因为接触不是超距作用的，所以我的第一个手指同样也在点M。我后来做了动作系列S，在这个系列结束时，即在时刻α′，我确定对象A接触了我的第二个手指。我由此得出结论，这第二个手指当时在M，也就是说，动作S具有导致第二个手指到第一个手指之处的效果。在时刻β，对象B与我的第二个手指接触：因为我没有轻微移动，这第二个手指依然在M；因此对象B到达M；按照假设，直到时刻β′，它没有轻微移动。但是，在时刻β和β′之间，我做了动作S′；因为这些动作与动作S相反，所以它们就效果而言必然导致第一个手指代替第二个手指。因此，在时刻β′，这第一个手指将在M；因为对象B同样也在M，所以这个对象B将接触我的第一个手指。对于所提出的问题，从而应该做出肯定的回答。
我们这些迄今还不通晓几何学的人不能够这样推理；可是我们查明，这一预期通常总是被实现；我们总是能够用下面的说法说明例外：对象A在时刻α和α′之间运动了，或对象B在时刻β和β′之间运动了。
但是，一定的相反结果不会经历到吗？这种相反的结果本身会是荒谬的吗？显然不会。如果经验给出了这个相反的结果，那么我们应该做些什么呢？这样所有的几何学都会变得不可能吗？世界上绝没有这回事。我们应该使自己满足于这个结论：接触能够超距地进行。
当我说，接触不超距地进行而视力超距地进行时，这个断言只有一个意义，这个意义如下所述：为了辨认B在时刻β是否占据A在时刻α占据的点，我能够使用大量不同的标准。或者我的眼睛介入，或者我的第一个手指介入，或者我的第二个手指介入等等。好了，为了其他一切标准能够被满足，与我的一个手指相关的标准被满足就充分了，但是与我的眼睛相关的标准能够被满足却并不充分。这就是我断言的意思，我满足于肯定通常已被证实的实验事实。
在上一章末尾，我们分析了视觉空间；我们看到，为了产生这种空间，有必要引入视网膜感觉、会聚感觉和调节感觉；如果后两种感觉并非总是一致的话，那么视觉空间会有四维，而不是三维；我们也看到，如果我们只引入视网膜感觉，我们会得到仅有二维的“单纯视觉空间”。另一方面，考虑一下触觉空间，触觉空间把我们自己限制在单一手指的感觉范围内，简言之，即限制在这个手指能够占据的位置的集合内。这种触觉空间，我们将在下节进行分析，我请求允许我暂且不去进一步考虑它，我说这种触觉空间有三维。为什么严格所谓的空间与触觉空间维数相同而比单纯视觉空间多呢？这正是因为接触不能超距作用，而视力却可以超距作用。这两个断言具有相同的意义，我们刚刚看到这意味着什么。
为了不中断讨论，我急急忙忙地越过了一点，现在我要返回它。虽然A在时刻α和B在时刻β作用在我们视网膜上的印象在质上是不同的，可是我怎么知道它们是通过同一视网膜纤维传送的呢？我提出了一个简单的假设，同时还附加了其他显然更复杂的假设，这些附加假设在我看来大概比较真实。在这里，还有我已经稍微提了一下的假设。如果红色对象A和蓝色对象B在视网膜的同一点上形成图像，我们怎么知道A在时刻α和B在时刻β产生的印象有某些共同之处呢？我们可以排除上面所做的简单假设，并且可以假定，这两个在质上相异的印象是通过两个不同的、尽管是邻近的神经纤维传送的。还有，我有什么手段知道这些神经纤维是邻近的呢？假如眼睛不可动，恐怕我们不会有什么手段。正是眼睛的移动告诉我们，在视网膜的点A的蓝色感觉和在点B的蓝色感觉之间的关系与在点A的红色感觉和在点B的红色感觉之间的关系相同。事实上，它们向我们表明，对应于相同的肌肉感觉的相同动作，把我们从第一种感觉带到第二种感觉，或从第三种感觉带到第四种感觉。我没有强调这些想法，正如人们看到的，它们属于洛策（Lotze）所建立的局域记号问题。
这样一来，我们知道如何辨认两点，即A在时刻α所占据的点和B在时刻β所占据的点的等价，可是仅要凭借一个条件，也就是我在时刻α和β之间没有轻微移动。对于我们的对象而言，这还不够。因此，设我以任何方式在这两个时刻之间的时间间隔内运动，我如何知道，A在时刻α所占据的点是否等价于B在时刻β所占据的点呢？我假定，在时刻α，对象A与我的第一个手指接触，在时刻β，对象B以同样的方式接触这第一个手指；但是在同一时间，我的肌肉感觉告诉我，在该时间间隔内我的身体运动了。我在上面考虑过两个肌肉感觉系列S和S′，我说过有时我们可以把这样两个系列S和S′看做是彼此相反的，因为我们通常观察到，当这两个系列彼此相继发生时，我们原来的印象便重建起来。
另外，如果我的肌肉感觉告诉我，我在两个时刻α和β之间运动，可是却是如此运动，以至于我相继感觉到我认为是相反的两个肌肉感觉系列S和S′，那么我还将断定，仿佛我没轻微移动一样，如果我查明我的第一个手指在时刻α接触A而在时刻β接触B，那么A在时刻α所占据的点和B在时刻β所占据的点是等价的。
正如人们将要看到的，这个解答还不完全令人满意。让我们看一看，它实际上会使我们赋予空间多少维。我希望比较A和B在时刻α和β所占据的两点，或者（这相当于同一件事，因为我假定，我的手指在时刻α接触A、在时刻β接触B）我希望比较我的手指在两个时刻α和β所占据的两个点。为了进行这种比较，我利用的唯一手段就是肌肉感觉系列Σ，该系列在这两个时刻之间伴随着我身体的动作。各种可以想象得到的系列Σ显然形成了维数很大的物理连续统。正如我已经做过的，当S和S′在上面给予这个代码的意义上彼此相反时，让我们不要一致认为两个系列Σ和Σ＋S＋S′是截然不同的；不管这种一致赞同，截然不同的系列Σ还将形成物理连续统，维数将变小，但依然是很大的。
空间的一个点对应于这些系列Σ中的每一个；两点M和M′从而对应于两个系列Σ和Σ′。直到目前我们使用的手段能够使我们辨认出M和M′在两种情况下并非截然不同：（1）如果Σ与Σ等价；（2）如果Σ′＝Σ＋S＋S′，且S和S′彼此相反。倘若在所有其他情况下我们应该把M和M′看做是截然不同的，那么点的流形便与截然不同的系列Σ的集合具有相同的维数，也就是说大于三维。
对于已经通晓几何学的人来说，下述说明也许容易理解。在可以想象得到的肌肉感觉系列中，存在着这样一些肌肉感觉系列，它们对应于手指在那里未尝轻微移动的动作系列。我要说，如果人们不把系列Σ和Σ＋σ——在这里系列σ对应于手指未尝轻微移动的动作——看做是截然不同的话，那么系列的集合将构成三维连续统；但是，如果人们认为两个系列Σ和Σ′——除非Σ′＝Σ＋S＋S′，且S和S′是相反的——是截然不同的，那么系列的集合将构成大于三维的连续统。
事实上，设在空间中有一个面A，在这个面上有一条线B，在这条线上有一点M。设C0是所有系列Σ的集合。设C1是在对应的动作结束时，手指在面A上的系列Σ的集合，C2或C3是在对应的动作结束时，手指在线B上或点M上的系列Σ的集合。很清楚，首先C1将构成分割C0的截量，C2将构成分割C1的截量，C3将构成分割C2的截量。按照我们的定义，由此便导致，如果C3是n维连续统，C0将是n＋3维物理连续统。
因此，设Σ和Σ′＝Σ＋σ是形成C3一部分的两个系列；对于二者而言，在动作结束时，手指在M处；由此导致，在系列σ开始和终结时，手指在同一点M。因此，这个系列σ是对应于手指在那里未尝轻微移动的那些动作中的一个动作。倘使Σ和Σ＋σ被视为截然不同的，C3的所有系列将混成一个系列；因此C3将有0维，而C0将有三维，正如我希望证明的那样。相反地，倘使我不认为Σ和Σ＋σ混成一体（除非σ＝S＋S′，且S和S′是相反的），那么很清楚，C3将包含大量的截然不同的感觉的系列；因为在手指不轻微移动的情况下，身体可以采取许多不同的姿势。于是，C3将形成连续统，C0将大于三维，这也是我希望证明的。
我们这些还不通晓几何学的人不能用这种方式推理；我们只能够证实。但是，接着产生了一个问题；在通晓几何学之前，我们怎么可以把手指在那里未尝轻微移动的系列σ与其他系列区分开来呢？事实上，只有在做出这种区分后，我们才能认为Σ和Σ＋σ是等价的，而且正如我们刚才看到的，唯有在这一条件的基础上，我们才能够得到三维空间。
我们之所以有可能区分系列σ，因为常常发生这样的情况：当我们进行对应于这些肌肉感觉系列σ的动作时，通过我们称之为第一个手指的神经传送给我们的触觉存留着，不因这些动作而变化。惟有经验告诉我们这一点，而且惟有经验才能够告诉我们这一点。
如果我们区分了由两个相反系列的结合形成的肌肉感觉系列S＋S′，那正是因为它们保持着我们印象的总数；如果我现在区分系列σ，那正是因为它们使我们的印象保持一定。（当我说，肌肉感觉系列S“保持着”我们一个印象A时，我意指我们要弄清楚，我们是否感觉到印象A，接着是否感觉到肌肉感觉S，我们是否还感觉到在这些感觉S之后的印象A。）
我在上面说过，往往发生系列σ不改变我们的第一个手指感觉到的触觉印象的情况；我经常这样说，但并非总是这样说。我们用日常语言表达的下述说法正是这一点：在与手指接触的对象A也不运动的条件下，如果这个手指不运动，那么触觉印象便不会改变。在通晓几何学之前，我无法做出这种说明；我能做的一切就是弄清楚，这个印象经常存留着，但并非总是存留着。
然而，经常继续的印象足以使系列σ显著地呈现在我们面前，导致我们把系列Σ和Σ＋σ归入同一类，因此不能认为它们是截然不同的。在这些条件下，我们看到，它们将产生三维的物理连续统。
接着看看我的第一个手指产生的三维空间。我的每一个手指将产生与之类似的空间。依然要考虑，我们怎么被导致认为它们与视觉空间、与几何学空间等价。
但是，在进一步论述之前有一个考虑；照前所述，只是通过肌肉感觉系列向我们揭示出把我们从某一初始位置带到这个最终位置的动作，我们知道空间的点，或者更一般地说，知道我们身体的最终位置。然而，很清楚，这个最终位置一方面将取决于这些动作，另一方面将取决于我们出发的初始位置。现在，这些动作被我们的肌肉感觉揭示给我们；可是没有什么东西告诉我们初始位置；我们没有任何办法能够把它与所有其他可能的位置区分开来。显然，这十分明确地提出了空间的本质的相对性。
因此，我们有可能把两个连续统C和C′加以比较，例如，一个是由我的第一个手指D产生的，另一个是由我的第二个手指D′产生的。这两个物理连续统均有三维。把我从某一初始位置带到某一最终位置(1)的肌肉感觉系列对应于连续统C的每一个元素，或者如果你乐意的话，也可以说对应于第一触觉空间的每一点。而且，如果σ是我们知道的不使手指D运动的系列，那么第一触觉空间的同一点将对应于Σ和Σ＋σ。
类似地，感觉系列Σ′对应于连续统C′的每一个元素，或对应于第二触觉空间的每一点；如果σ′是不使手指D′运动的系列，那么同一点将对应于Σ′和Σ′＋σ′。
使我们把标记为σ的各种系列与称之为σ′的各种系列区别开来的方法是，前者不改变手指D感觉到的触觉印象，后者保持手指D′感觉到的触觉印象。
现在看看我们查明什么：在开始，我的手指D′感知到感觉A′；我做出产生肌肉感觉S的动作；我的手指D感觉到印象A；我做出产生感觉系列σ的动作；我的手指D继续感知到印象A，因为这是系列σ的独特的性质；我然后作出产生肌肉感觉系列S′的动作，S′在上面给予这个代码的意义上与S相反。于是我确定，我的手指D′重新感觉到印象A′。（当然，这要理解为适当地选择S。）
这意味着，保持手指D′的触觉印象的系列S＋σ＋S′是我称之为σ′的系列中的一个。相反地，如果人们采取任何系列σ′，那么S′＋σ′＋S将是我称之为σ的系列中的一个。
从而，若适当地选择S，则S＋σ＋S′将是系列σ′，使σ以所有可能的方式变化，我们将得到所有可能的系列σ′。
由于我们还不通晓几何学，我们仅使自己局限于证实那一切，但是在这里，问题在于通晓几何学的人应该怎样说明事实。在开始，我的手指D′在点M与对象α接触，这使手指感觉到印象A′。我做出对应于系列S的动作；我说过，这个系列应该适当地选择，我愿如此做这一选择，以便这些动作把手指D带到手指D′原来所占据的点，也就是说带到点M；这个手指D从而将与对象α接触，这将使手指感觉到印象A。
接着，我做出对应于系列σ的动作；在这些动作中，根据假设，手指D的位置没有改变，这个手指因而依然与对象α接触，并继续感觉到印象A。最后，我做出对应于系列S′的动作。由于S′与S相反，这些动作把手指D′带到手指D原先所占据的点，即带到点M。正如可以假定的那样，若对象α不轻微移动，这个手指D′将与这个对象接触，并将重新感觉到印象A′……证毕。
让我们看看结果吧。我考虑一个肌肉感觉系列Σ。第一触觉空间的一个点将对应于这个系列。现在，再选取我刚才谈到的彼此相反的两个系列S和S′。第二触觉空间的一点N将对应于系列S＋Σ＋S′，因为正如我们说过的，在第一空间或第二空间的点对应于任何肌肉感觉系列。
我将考虑如此定义的两个点N和M，它们可以视为对应的。什么东西授权我这样做呢？要使这个对应是可以接受的，其必要条件是，如果在第一空间对应于两个系列Σ和Σ′的两点M和M′是等价的，第二个空间的两个对应点N和N′同样也是如此，那么正是这两点对应于两个系列S＋Σ＋S′和S＋Σ′＋S′。现在，我们要看看，这个定义被满足。
第一个评论。因为S和S′是彼此相反的，我们便有S＋S′＝0，从而S＋S′＋Σ＝Σ＋S＋S′＝Σ，或者还有Σ＋S＋S′＋Σ′＝Σ＋Σ′；但是，由此不能得出我们有S＋Σ＋S′＝Σ的结论；这是因为，尽管我们用加号表示我们感觉的相继发生，可是很清楚，这个相继发生的次序并非没有差别：因此，我们不能像在通常加法中那样颠倒各项的次序；简而言之，我们的运算是结合的，而不是交换的。
这样确定之后，为了Σ和Σ′可以对应于第一空间的同一点M＝M′，其充要条件是我们有Σ′＝Σ＋σ。于是我们将有S＋Σ′＋S′＝S＋Σ＋σ＋S′＝S＋Σ＋S′＋S＋σ＋S′。
可是，我们刚刚确定，S＋σ＋S′是系列σ′中的一个。从而我们将有S＋Σ′＋S′＝S＋Σ＋S′＋σ′，这意味着系列S＋Σ′＋S′和S＋Σ＋S′对应于第二空间的同一点N＝N′。证毕。
因此，我们的两个空间点对点对应；它们能够相互“变换”；它们是同构的。我们如何被引导得出它们是等价的结论呢？
考虑两个系列σ和S＋σ＋S′＝σ′。我经常说，但并非总是说，系列σ保持着手指D感知到的触觉印象A；同样地，经常但并非总是发生这种情况，系列σ′保持着手指D′感知到的触觉印象A′。现在我确定，十分经常地（也就是说，比我刚才所说的“经常”更为经常）发生下述情况：当系列σ保持手指D的印象A时，系列σ′同时保持手指D′的印象A′；相反地，如果第一个印象改变了，则第二个印象也同样改变。这十分经常地发生着，但并非总是发生。
我们用下述说法诠释这个实验事实：把印象A给予手指D的未知对象α是与把印象A′给予手指D′的未知对象α′等价的。实际上，当第一个对象运动——这是印象A的消失告诉我们的——时，第二个对象也同样运动，由于印象A′同样也消失。当第一个对象依然不动时，第二个对象也依然不动。倘若这两个对象等价，当第一个对象在第一个空间的M点，第二个对象在第二个空间的N点时，那么这两点也等价。这就是我们如何被导致认为这两个空间是等价的；或者更恰当地讲，这就是当我们说它们是等价的时候，我们意指的东西。
我们刚才就两个触觉空间的等价所说的一切，使得讨论触觉空间和视觉空间等价的问题变得毫无必要，该问题能够用同样的方式去处理。
情况似乎是，我正被导致得出与经验论观念一致的结论。事实上，我试图明显地提出经验的作用，并分析介入三维空间起源中的经验事实。可是，这些事实的重要性无论怎样，总是存在着一个我们不应该忘记的事情，而且我曾不止一次地注意到它。这些经验事实经常被证实，但并非总是被证实。这显然没有意谓，空间经常有三维但并非总是有三维。
我完全知道，人们要拯救自己是很容易的，如果事实未被证实，他们会轻而易举地说明，外部对象运动了。如果经验接着出现，我们说它教导我们以空间；如果经验没有接着发生，我们赶紧责怪外部对象运动了；换句话说，如果经验没有接着发生，经验就要受到轻击。
这些轻击是合理的；我没有拒绝承认它们；可是，它们足以告诉我们，空间的特性不是严格所谓的经验真理。如果我们通过给予其他类似的轻击，希望证实其他规律，我们也会获得成功。我们并非总是能够根据同样的理由证实这些轻击吗？人们至多会对我们说：“你们的轻击无疑是合理的，可是你们滥用它们；为什么外部对象如此经常地运动呢？”
总而言之，经验并没有向我们证明空间有三维；它只是向我们证明，把三维赋予空间是方便的，因为这样一来，轻击的数目便被减少到最小。
我愿附加几句话，经验促使我们仅仅与作为物理连续统的表象空间联系，它从来也没有促使我们与作为数学连续统的几何空间联系。经验最大限度似乎只能告诉我们，给予几何空间以三维是方便的，以至它可以有表象空间那么多的维数。
经验问题可以在另一种形式下提出来。例如，在三维空间之外设想物理现象、力学现象是不可能的吗？我们从而应该有客观的实验证据，也可以说，应该有独立于我们生理学的、独立于我们表象模式的实验证据。
但是，情况并非如此；我在这里不想全面地讨论这个问题，我将仅限于回忆赫兹（Hertz）的力学给予我们的引人注目的例子。你知道，大物理学家并不相信严格所谓的力的存在；他假定，可见的质点隶属于把它们与其他不可见的质点连接起来的某些不可见的结合物，我们归之于力的东西就是这些不可见的结合物的作用。
可是，这只是他的思想的一部分。设由n个质点形成的系统是可见的或不可见的；这总共将给出3n个坐标；让我们把这些坐标视为3n维空间中的单一质点的坐标。这个单一质点凭借我刚刚讲过的结合物被强制保持在一个曲面（任何小于3n的维数）上；它在这个面上从一点到另一点，总是会采取最短的路径；这恐怕是概括整个力学的唯一的原理。
关于这个假设，人们也许会做出无论什么样的设想，我们或者被它的简单性所诱惑，或者因它的人为特征而厌恶；赫兹能够想象这个简单事实，并认为它比我们习用的假设更为方便，这足以证明，我们通常的观念，尤其是空间的三维性，绝没有以一种无形的力量强加于力学。
因此，经验只不过起了单一的作用，它作为诱因而服务。可是，这种作用还是十分重要；我认为，必须使它凸现出来。假如存在强加于我们感性的先验的形式，而且它就是三维空间，那么这样的作用便毫无用处。
这种形式存在吗？或者，倘若你乐意的话，我们能够想象大于三维的空间吗？首先，这个问题意味着什么呢？很清楚，在该词的真正意义上，我们无法想象四维空间或三维空间；我们首先不能把它们想象成空虚的，而且我们既不能想象在四维空间中的对象，也不能想象在三维空间中的对象：（1）因为这两种空间都是无限的，我们无法想象在空间之中的图形，也就是说，若未表象整体，我们无法想象在整体之中的部分，由于整体是无限的，要表象它是不可能的；（2）因为这两种空间是数学连续统，我们只能够想象物理连续统；（3）因为这两种空间都是均匀的，而我们在其中容纳我们的感觉的、有限的框架不可能是均匀的。
这样一来，所提出的问题仅能用一种方式来理解；我们可以设想，当上述经验的结果不同时，我们必然被导致把三维以上赋予空间吗？例如，可以设想眼睛的调节感觉没有必要永久地与会聚感觉一致吗？或者，我们在第2节提到的经验，我们用“接触并非超距作用”的说法表达结果的经验，必然导致我们得出一个相反的结论吗？
可是，说真的，这显然是可能的；从人们设想经验的时刻起，恰恰就在那里设想经验可能给予的两种相反的结果。这是可能的，但并不是充分的，因为我们不得不推翻许多观念联想，这些观念联想是个人长期的经验和种族更为久远的经验的成果。正是这些观念联想（或者至少是我们从我们祖先那里继承下来的那一部分观念联想），构成这种先验的形式（我们说过，我们有此形式的纯粹直觉）吗？我的确还没有看到人们应该宣称它难以分析的理由，以及应该使我摒弃研究它的起源的权利的理由。
当说到我们的感觉被“延长”时，这只能意味一件事，即它们总是与某些肌肉感觉的观念关联在一起，这些肌肉感觉对应于能使我们达到对象的动作，而该对象引起它们，换言之能使我们防御它。其原因恰恰在于，这种联想对于生物体的防卫来说是有用的，这在物种的历史上是如此古老，以致在我们看来，它似乎是坚不可摧的。无论如何，它只不过是联想而已，我们能够设想，它可以被破坏；结果，我们不可以说，若感觉不在空间进入，它便不能进入意识；可是事实上，感觉在空间未进入，即在未卷入这种联想的情况下，是不会进入意识的。
我不再能理解人们的下述说法：时间观念在逻辑上是继空间之后出现的，因为我们只有在形成直线的条件下才能够想象时间；以及时间在逻辑上是继垦荒种植之后出现的，因为时间通常被描述为手持镰刀之神。人们无法同时想象时间的不同部分，不用说，是因为，这些部分的基本特征严格地讲来不是同时的。这并不意味着我们没有时间的直觉。照此看来，我们也不再会有空间的直觉，因为我已经提到的理由，我们无法在该词的恰当意义上描述二者中的任何一个。我以直线的名义想象的东西是一种粗糙的图像，它不像几何直线，就如同它不像时间本身一样。
为什么说把第四维赋予空间的每一个尝试总是把这一维回归到其他三维之一呢？这是很容易理解的。考虑一下我们的肌肉感觉和它们可能形成的“系列”。由于大量的经验，这些系列的观念以十分复杂的纬线联系在一起，我们的系列被分类。为了语言上的方便，请允许我用完全粗糙的、甚至不精确的方式来表达我的思想，就是说我们的肌肉感觉系列分为对应于空间三维的三类。当然，这种分类比那种分类更为复杂，但它足以使我的推理变得可以理解。如果我希望设想第四维，我可以假定构成第四类一部分的另一个肌肉感觉系列。可是，因为我的所有肌肉感觉已被纳入三个预先存在的类之一，所以我只能想象属于这三类之一的系列，以致我的第四维被回归到其他三维之一。
这证明了什么呢？这证明，也许有必要首先摧毁旧的分类，并用新的分类代替它，在新分类中，肌肉感觉系列应该分为四类。困难也许消失了。
有时，它以更为引人注目的形式被提出来。假定我被禁锢在由四个墙壁、地板和天花板形成的六个不可逾越的界面内的房间内；我不可能走出去，也不可能想象会走出去。对不起，你不能设想门打开了或者两个墙壁分开了吗？可是，不用说，你回答道，人们必须假定这些墙壁依然不动。是的，可是很显然，我有权利运动；而且，我假定完全处于静止的墙壁将相对于我运动。是的，然而这样的相对运动不能是任意的；当对象静止时，它们相对于任何坐标系的相对运动是刚体运动；现在，你所设想的表观运动不符合刚体运动定律。是的，可是正是经验教导我们以刚体运动定律；没有什么东西妨碍我们设想这些定律是不同的。总而言之，我设想我走出了禁闭室，我只是设想，当我运动时，墙壁似乎裂开了。
因此，我相信，即使空间被理解为三维数学连续统，尽管它还是无定形的，构造它的也是心智，可是心智并未用不存在的东西构造它；它需要材料和模型。这些材料像这些模型一样，预先存在于心智内。然而，没有强加于心智的唯一模型；心智做了选择；它可以选择，例如可以在四维空间和三维空间之间做出选择。此时，经验的作用是什么呢？它给出选择所遵循的指示。
另一个问题是：空间由何处得到它的量的特征呢？它来自肌肉感觉系列在空间起源中所起的作用。这些是可以自身重复的系列，数就是从它们的重复中产生出来的；正因为它们本身能够无限地重复，所以空间是无限的。最后，我们在第3节的末尾看到，也正是因为这一点，空间才是相对的。同样也是重复，赋予空间以基本特征；现在，重复要以时间为先决条件；这足以断定，时间从逻辑上讲在空间之前。
迄今，我没有谈到生理学家有理由赋予重要意义的某些器官的作用，我指的是半规管(2)。大量的实验充分地表明，这些管道对于我们的定向感觉来说是必不可少的；可是，生理学家不完全一致；两种相反的理论提出来了，其一是马什—德拉热（Mach Delage）的理论，其二是德·西翁（de Cyon）先生的理论。
德·西翁先生是一位生理学家，他因心脏的神经分布的重要发现而遐迩闻名；不过，我不能赞同他对摆在我们面前的这个问题的看法。由于我不是生理学家，所以我小心翼翼地批评他与马什—德拉热的理论针锋相对的实验；无论如何，在我看来，这些实验不是令人信服的，因为在许多实验中，一个半规管中的总压力引起变化，而在生理学上，变化的却是该管道两端上的压力差；在其他实验中，该器官易受严重的损害，这必然会改变它们的机能。
而且，这还不算是重要的；即使实验是无可指责的，那么它们就反对旧理来说也许是可信的。就新理论而言，它们恐怕不是可信的。事实上，如果我正确地理解了该理论，那么我对它的说明，足以使人们认识到，确信实验证实了它是不可能的。
三对半规管作为唯一的机能，能够告诉我们空间有三维。日本的鼷鼠只有两对半规管；它们也许自信空间只有二维，它们以最奇怪的方式显示出这种看法；它们各自把鼻子放到前一个的尾巴下，排列成圆圈，只要这样排好后，它们就急速地旋转。八目鳗只有一对半规管，它们认为空间只有一维，可是它们的表现却不怎么狂乱。
显而易见，这样的理论是不可接受的。感觉器官被设计告诉我们在外部世界所发生的变化。我感到不可理解的是，造物主为什么给我们以感官，这些感官注定无休止地大叫大嚷：记住空间有三维，因为这三维的数目不易受到变化。
因此，我们必须返回到马什—德拉热先生的理论。半规管神经所能告诉我们的是该管道两端的压力差，由此可知：（1）垂直于与头部牢固地结合在一起的三个坐标轴的方向；（2）头的重心平动的加速度的三个分量；（3）头转动所引起的离心力；（4）头转动的加速度。
从马什—德拉热先生的实验可得，最后这个指标是最重要的；毫无疑问，这是因为半规管神经对压力差本身没有对压力差的急剧变化敏感。前三个指标从而可以忽略。
知道头在每一时刻的转动加速度，我们通过无意识的整合作用，由此推断头参照于作为原点的某一初始取向的最终取向。因此，环形半规管有助于向我们告知我们已经进行的动作，而且是按照与肌肉感觉相同的根据告知我们的。因此，当我们在上面谈到系列S或系列Σ时，我们应该说，这些不仅仅是肌肉感觉系列，它们同时又是肌肉感觉系列和由半规管引起的感觉的系列。除了这句附言外，在前面所述的东西中，我们不会有什么改变。
在系列S和Σ中，半规管的这些感觉显然占据着十分重要的地位。可是，仅有它们还不够，因为它们只能告诉我们头的移动；它们没有告诉我们身体的相对移动或身体的其他器官相对于头的移动。而且，它们似乎只告诉我们头的转动，而没有告诉头可能经受的平动。
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(1) 我们不说使空间参照于与我们的身体牢固地结合在一起的坐标系，为了与前述的东西一致，也许最好说我们使空间参照于与我们身体的初始位置牢固地结合在一起的坐标系。
(2) 半规管（the semicircular canal）是耳中的一种骨管。——中译者注
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