变化的外框

第5章　几何拼图

5．1　变化的外框

把外框放大，如变成8×8，则框内有4个空格，这4个空格的不同安排组成不同形状的框架，在其中放入12块拼板也是很有趣的^[1]。

图5－1①中，4个空格在中心位置，此图形也可看成是“口”字，或“0”；然后分成4个小空格并沿对角线方向向四个角移一格，形状如汉字“田”（见图5－1②和③）。

图5－1　8×8外框的变化（一）

若把图5－1①中间的2×2方空格上下左右逐格移动，或者沿对角线向四个角逐格移动，能不能用12块拼板拼出来呢？答案是肯定的。请看图5－2，方空格上下左右逐格移动共有13个位置，图①、图②、图③、图④是4种基本位置，图①是中央位置，将图②、图③、图④分别顺时针旋转90°、180°和270°即完成了其余的9个位置；方空格沿对角线向四个角逐格移动时也有13个位置，图⑤、图⑥、图⑦、图⑧是4种基本位置。图⑤是中央位置（同图①），图⑥、图⑦、图⑧的第二象限图是右上角的3个位置，第三象限是右下角的3个位置，第四象限图是左下角的3个位置。

图5－2　8×8外框的变化（二）

图5－3　8×8外框的变化（三）

图5－3中，4个空格两两组合成两个1×2的扁空格在方框中上下移动。其中图①、图②、图③是两个扁空格上下移动时的3个基本位置，图④、图⑤、图⑥是两个扁空格向四个角移动时的基本位置。

图5－4中的4个空格排成一行，从框框的最上边逐行往下移，计8行，有8幅图，实际上后4幅图是前4幅图的第四象限图。图中包含的可变换组合图形有：图①和图⑧中有变换XD13－6（拼板2，6，L）；图②与图⑦中有变换ZD1（拼板2，4）和ZD3（拼板3，4）；图④和图⑤中有变换XD3－1（拼板2，9）、ZD8（拼板4，10）、ZD13（拼板8，L）和T73（拼板1，6，7～3，8，L）。这样，这一组变化外框的图案就可以构成一个系列。图5－1～图5－4所示的变化外框图例均有多种拼法，也含有多个可变换组合图形，读者不妨试试看。

图5－4　8×8外框的变化（四）

当然，4个小空格的排列远非如此，你可以自己任意设计，然后把12块拼板填入。图5－5画出几幅拼图供参考。

若外框尺寸为7×9，则框内有3个小空格。3个空格可随机排列，在图5－6中画出了几幅；若这3个空格排成一行，则有如图5－7所示的变化和拼法。

图5－5　8×8外框的变化（五）

图5－6　7×9外框的变化（一）

图5－7　7×9外框的变化（二）

外框越大，框内的空格越多，则变化也多。如图5－8所示外框为6×11的图形，6个空格均分在四周，象个哑铃。外框为7×10的图形中有两个对称的横“T”字形空格。图5－9中图形的外框为9×9，拼成一个绣球形外形的图形，四个角上各空5格，在图形中还有一个空格，这个空格可以位于任何位置，图5－9中的空格是从中间向边缘移动，共有5种基本位置如图①～图⑤所示。

图5－8　变化外框举例

图5－9　9×9绣球形外框的变化

所以只要设计的方框所包含的面积大于60格，就可以进行上述的拼图游戏。

5．2　大拼板及大图案

5．2．1　拼板的大小和图案的大小

每个拼板由5个正方形格子组成。假定方格的边长为a，格的面积为a2；若格的边长为2a，格的面积就变为4a2。因而由不同面积的方格组成的拼板的大小也不相同。如图5－10所示，图5－10①中格面积分别为a2，4a2，9a2，16a2的4个方格，图5－10②为由它们组成的拼板。可见拼板的大小由方格的面积决定，格的大小当然根据格的边长而定。

图5－10　格的大小和拼板的大小

若拼板大小采用G（格）型表述，G值取格的边长。前面所述格的边长a取单位长度1，则1G是格的面积为1，2G是格的面积为4，3G是格的面积为9，4G是格的面积为16，以此类推。记录时“G”型号加在拼板编号之前，如1G0，2G8，3GL等，在使用单一拼板1G型时，“1G”字样可以省略，但在几种大小的拼板一起使用时必须注明拼板的“G”型号。

各种不同“G”型号拼板拼成的图案外框是不同的。如1G拼板拼成的图案外框尺寸设定为6×10（＝60），则2G拼板拼成的图案外框尺寸应为12×20（＝240），4G拼板拼成的图案外框尺寸应为24×40（＝960）。

在用12块拼平面图形时，可根据构图要求采用不同“G”型号的拼板来完成。如第4章中上海世博会会徽的拼图中，“世”字用4G拼板，“EXPO”字用1G拼板，“2”字用2G拼板，“010”字用1．5G拼板；“中国馆与小海宝”中“小海宝”用1．5G拼板，“中国馆”用4G拼板。

5．2．2　用1G拼板拼出3G拼板图形

我们能不能用1G拼板拼出2G，3G或4G拼板图形呢？如前所述，每块1G拼板的面积为5，2G拼板面积为20，3G的面积为45，4G的则为80。用1G拼板拼不出2G拼板图形，因为1G拼板中的3×3拼板如1G2，1G4，1G8等拼板是无法放进2G1，2G7，2G9等拼板的图形中；同样4G拼板的面积是80，而12块1G拼板的总面积才60，不够放的。只有3G拼板面积为45，可以用9块1G拼板拼成，在5．2．4节中列出了部分3G拼板图形。

在拼3G拼板图形时，余下的3块1G拼板很有讲究。

第一种情况，这余下的3块可以是任意的1G拼板，这是比较容易拼的。

第二种情况，要求余下的3块中必须有1块是与所拼的3G拼板图形同号，如拼3G1图形，则余下的1G拼板中要有1G1，这就比较有难度了。

第三种情况，是余下的3块1G拼板中不仅有1块是与所拼的3G拼板图形同号，而且这3块1G拼板必须连号，如拼3G0图形，则余下的1G拼板应该是1G0，1G1和1G2，或1GL，1G0和1G1，或1G10，1GL和1G0，这就有相当的难度了。对于第三种情况，作者尚有3G0，3G1和3G10这三个图形没有拼出。图5－11～图5－12给出对应后两种情况所拼出的部分3G拼板图形。王宗一先生^[2]也提及了用9块拼板拼出大拼板的玩法，他在《神板魔块巧拆拼》一书所拼的例图见图5－13所示。

图5－11　第二种情况的3G拼板图形图案选（缺3G4拼板图形）

图5－12　第三种情况的3G拼板图形图案选（缺3G0，3G1和3G10三幅拼板图形）

图5－13　王宗一先生拼的3G大拼板拼图图案

5．2．3　3G大图案

在装饰设计中，为了使画面生动活泼，常常把一种图形进行大小、色彩、方位等等变换和组合。若用1G拼板拼成的3G拼板图形来拼3G大图案，则可为装饰设计增加新的手段。

图5－14中画出了4幅〈6〉07153图案，其中图5－14①为用1G拼板拼成的6×10图案，图5－14②是用3G拼板拼成的18×30大图案，图5－14③则是用3G拼板图形拼成的18×30大图案。显而易见，作为3G大图案，图③要比图②精彩得多，图5－14④是用3G拼板和3G拼板图形混拼成的18×30大图案。如果使用彩色设计，则图案变得绚丽多彩，活泼多变，非常适合用于装饰。

图5－14　3G大图案比较

5．2．4　3G拼板图形图案选

以下图案选中第三种情况的3G拼板图形用灰色表示，图案说明用实线框出，第二种情况的3G拼板图形图案说明用虚线框出，王宗一先生所拼的图形标明“（wzy）”。

5．3　几何图形

用12块拼板或任选几块可以拼成各种几何图形或它的相似形，如矩形、平行四边形、等腰三角形、直角三角形、等腰梯形、直角梯形等。

5．3．1　矩形

由于每块拼板是5格，所以矩形的面积必须是5的倍数。这样算来，可拼出的矩形外框尺寸（底×高）有5×3，5×4，5×5，5×6，5×7，5×8，5×9，5×10，5×11，5×12，以及10×6，15× 4和20×3，共计13种。其中最后5种矩形中，外框为5×11的矩形只可能余下1号拼板，它们就是矩形组合图形JD7，计有49幅，可查阅本书第三篇《组合图形一览表》；矩形5×12，10× 6，15×4和20×3分别为〈5〉分部图案、〈6〉分部图案、〈4〉分部图案和〈3〉分部图案，可查阅本书第四篇“图集”。因此本节仅研究前8种矩形拼图。

如图5－15所示的前8种矩形拼图可作参考，感兴趣者可以自己拼搭。

图5－15　所选的8种矩形拼图选

5．3．2　平行四边形

平行四边形是中心对称图形。平行四边形的大小可用“底×高”表示，同样，其面积也必须为5的倍数。图5－16给出了部分平行四边形图案。

图5－16　平行四边形拼图选

5．3．3　三角形

1．等腰三角形

等腰三角形的图形是第一层为1，第二层为3，第三层为5等等，是级差为2的宝塔形。若用12块拼板来搭的话，宝塔形各级之和须为5的倍数。计算得知，五层宝塔形之和为25，所以只能用5块拼板来拼搭底高为9×5的等腰三角形。图5－17中画出了几幅这样的等腰三角形图形。

图5－17　等腰三角形拼图选

2．直角三角形

直角三角形的图形如楼梯排列，级差为1，即1，2，3，4，5，…能用拼板拼出各级之和皆为5的倍数的直角三角形，只有4种可能。1＋2＋3＋4＝10，可用2块拼板拼成有四级台阶的4×4直角三角形，1＋2＋3＋4＋5＝15，可用3块拼板拼成5×5直角三角形，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，可用9块拼板拼出，再增加一级便成55格，则需要11块拼板拼成有十级台阶的10×10直角三角形（见图5－18）。

图5－18　直角三角形拼图选

其中由11块拼板拼成10×10直角三角形时，每幅图都只余下一块拼板，若这余下的拼板依次为0～L，那这12幅直角三角形就组成一个系列。王宗一先生（参见本章注2）拼出了10幅（见图5－19），还缺余3号拼板和6号拼板的两幅，你能把它补全吗？

图5－19　王宗一先生拼的10×10直角三角形拼图

5．3．4　梯形

梯形可视为把三角形图形截去上面一部分，也分为等腰梯形和直角梯形两类。对于12块拼板拼的等腰梯形采用了类似“J’s图案编码法”，便于区分与排列。由于在梯形图案中，10号拼板可能出现在角上，此时用“X”表示。

1．等腰梯形

构成等腰梯形的级差为2，但第一层不能为1，可以是2，4，6，8，…或3，5，7，9，…图5－20中画出了可能拼成的各种不同外框的等腰梯形图形范例，其中6块拼板和8块拼板拼的等腰梯形有两种外框，12块拼板拼的等腰梯形有三种外框。

2．直角梯形

构成直角梯形的级差为1，但第一层不能为1。图5－21中画出了可能拼成的各种不同外框的直角梯形图形范例。最小的直角梯形是拼板6。其中3块拼板、6块拼板、7块拼板和9块拼板拼的直角梯形均有两种外框。

图5－20　等腰梯形拼图选

图5－21　直角梯形拼图选

5．3．5　几何图形拼图选

1．矩形

（1）3块拼板——外框为5×3。

（2）4块拼板——外框为5×4。

（3）5块拼板——外框为5×5。

（4）6块拼板——外框为5×6。

（5）7块拼板——外框为5×7。

（6）8块拼板——外框为5×8。

（7）9块拼板——外框为5×9。

（8）10块拼板——外框为5×10。 2．平行四边形

（1）3块拼板——底高为5×3。

（2）4块拼板——底高为5×4。

（3）5块拼板——底高为5×5。

（4）6块拼板。

a．底高为6×5。　　　b．底高为5×6。

（5）7块拼板——底高为7×5。

（6）8块拼板——底高为8×5。

（7）9块拼板——底高为9×5。

（8）10块拼板——底高为10×5。

（9）11块拼板——底高为11×5。

（10）12块拼板。

3．等腰三角形4．直角三角形

（1）2块拼板——底高为4×4。

（2）3块拼板——底高为5×5。

（3）9块拼板——底高为9×9。（4）11块拼板——底高为10×10①。a．余块为0号拼板。

b．余块为1号拼板。

c．余块为2号拼板。

d．余块为4号拼板。

e．余块为5号拼板。

f．余块为7号拼板。

g．余块为8号拼板。

h．余块为9号拼板。

i．余块为10号拼板。

j．余块为L号拼板。

5．等腰梯形

（1）3块拼板——外框为7×3。

（2）4块拼板——外框为8×4。

（3）6块拼板。

a．外框为10×5。

b．外框为12×3。

（4）7块拼板——外框为11×5。

（5）8块拼板。

a．外框为12×5。

b．外框为13×4。

（6）9块拼板——外框为13×5。

（7）10块拼板——外框为14×5。

（8）11块拼板——外框为15×5。

（9）12块拼板。

a．外框为15×6。

b．外框为16×5。

c．外框为18×4。

6．直角梯形

（1）1块拼板——外框为3×2。

（2）3块拼板。

a．外框为6×3。

b．外框为8×2。

（3）4块拼板——外框为6×5。

（4）5块拼板——外框为7×5。

（5）6块拼板。

a．外框为8×5。

b．外框为9×4。

（6）7块拼板。

a．外框为8×7。

b．外框为9×5。

（7）8块拼板——外框为10×5。

（8）9块拼板。

a．外框为10×6。

b．外框为11×5。

（9）12块拼板——外框为11×8。

【注释】

[1]方不圆先生之子方小庆先生设计的“伤脑筋十二块”珍藏版“八阵图”也具有8×8的外框，与本节所述相同。作者喜得该珍藏版，欣喜之余，将“八阵图”的拼图心得整理出一篇小文，附于本节之后，以飨读者。

[2]王宗一先生编著《神板魔块巧拆拼》一书184～200页。