浅析数学探究式教学中的形成性探究

浅析数学探究式教学中的形成性探究

陶　睿

探究能力的培养是当前素质教育中的一大任务。探究能力作为一种从事探索性、研究性活动的能力，也是21世纪人才必备的素质之一。因此，这种能力的培养对于青少年学生成才具有举足轻重的意义。

一直以来有不少教师认为，数学探究活动只不过是常规教学的一种补充，所以难以将数学探究活动的理念落到实处。其实，我认为数学探究式教学和日常的常规教学并不矛盾。数学探究式教学应以课堂探究活动为主，而课堂探究活动的内容应当以教材为基本内容。例如在教学过程中教师可以把一些知识形成的过程，设计为形成性探究问题。这些知识形成的过程可以是数学概念形成的过程，性质、法则归纳的过程，公式、定理推导的过程等。教师可以通过把这些知识形成的过程设计为学生再发现、再创造的探究过程，使常规教学与探究式教学有机的结合在一起。

下面我将从以下几个方面来进行分析:

一、关于数学概念形成的探究

数学概念形成的过程是一个从具体到抽象概括的过程，因此学生对于数学概念的学习也应遵循这一规律。教师在教数学概念时应关注概念的实际背景与形成过程，让学生通过一些熟知的实例经历数学概念的形成过程，只有这样学生才能真正理解数学概念，摆脱机械记忆概念的学习方式。

例如，在学习函数的概念时，学生往往很难理解课本中给出的定义，教学时教师应通过引用学生所熟悉的具体事例，使学生体会函数的基本概念。

例:指出下列问题中有几个变量，这几个变量分别是什么，再看看这些变量之间有怎样的关系:

1．在平整的路面上，某型号的汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般地有经验公式s=，其中v表示刹车前汽车的速度(单位:千米/时)。

①计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少?

②给定一个v值，你都能求出相应的s值吗?

2．已知菱形ABCD的对角线AD长为4，BC的长x在变化，则菱形的面积为

3．在国内投寄平信应付邮资如下表:

让学生反复进行比较，然后得结论:每题中都有两个变量，这两个变量中的一个变量随另一个变量的变化而变化，其中一个变量每取一个值，另一个变量都有唯一确定的一个值与之相对应。接着再让学生自己举出具有相同特征的实例，从而让学生抽象、概括出函数定义。通过这样的探究过程学生能体会到函数是两个变量之间的对应关系。教师可以继续引导探究:那么两个变量之间的变化规律如何?可让学生探究不同的函数，引入函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法。同时，可通过让学生进行探究比较来发现各种方法的优越性和局限性。

二、关于性质、法则的探究

在教学中，教师可以将有些法则和性质设计为探究性问题，引导学生通过运用观察、实验、归纳、类比等方法进行发现和概括。

例如，教师在讲北师大版八年级下册中的“不等式的基本性质”时，可以让学生先回顾等式的基本性质，然后再通过运用观察、类比、归纳、概括等方法自主探究得到不等式的基本性质。当学生感到有困难时，教师可引导或提示用具体的不等式进行探究，尤其是“不等式性质3”学生不容易理解，应作为重点探究。

三、关于定理、推论的探究

对于学生来说是学习应该是一个再发现、再创造的过程。课堂上教师应为学生创设适当的问题情境，揭示知识背景，引导学生去体验数学家们对于一个新问题是如何去研究创造的，让学生去体验探究的真谛。

例如，在讲到三角形内角和定理时，学生在小学时就已经知道通过把三角形的三个角剪下拼成一个平角，可以得出三角形内角和180°，而初中阶段我们要介绍定理的证明过程。教师可以先让学生把拼的图形画下来，再引导学生从图形中探究出证明的思路。这样做能让学生自然而然地接触到几何中添辅助线解决问题的方法，能让学生更真切地感受到添辅助线解决几何题的手段的来历和作用。

四、关于公式的探究

对于学生来说，自主探究推导得出的公式比教师直接给出的公式更加印象深刻、容易理解、便于记忆，同时这也给学生提供了一个很好的进行探究活动的机会。

例如在讲扇形面积公式时，教师可以引导学生先回忆圆的面积公式，在让学生自己探讨发现扇形面积公式和圆的面积公式之间的联系和区别。(如果学生有困难教师可适当提醒:当扇形的圆心角是一度时面积可以怎样通过圆的面积来求?这时，学生易得此时扇形的面积是圆的面积的。于是，学生可得到当扇形的圆心角是n°时的面积为。

又如，在讲北师大版八年级上册中“探索多边形的内角和与外角和”时:

学生比较容易记起:三角形内角和180°。

然后，教师可以提问:那么四边形、五边形、六边形、七边形……n边形的内角和分别是多少呢?

教师应尽量让学生自己讨论探索得出结论，只要正确有道理就要予以肯定和鼓励。如果学生确实有困难，教师可以予以引导。

教师:过四边形的一个顶点可以作几条对角线?那么五边形、六边形、七边形……n边形又如何呢?

可以逐渐引导学生做出以下图形，当然最好是学生自己做出下列图形。

通过以上图形，可以发现过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过六边形的一个顶点可以作3条对角线……过n边形的一个顶点可以作n－3条对角线。

教师可以继续引导:四边形被对角线分割成几个三角形?那么五边形、六边形、七边形……n边形又如何呢?

通过以上图形，可以发现四边形被对角线分割成2个三角形，五边形被对角线分割成3个三角形，六边形被对角线分割成4个三角形……n边形被对角线分割成n－2个三角形。

教师可进一步引导学生:同学们，我们已知三角形的内角和是180°，那么我们是否能找到其他多边形与它之间的关系呢?通过图形，学生可以很容易发现四边形的内角和等于两个三角形的内角和，五边形的内角和等于三个三角形的内角和，六边形的内角和等于四个三角形的内角和，七边形的内角和等于五个三角形的内角和……以此类推边形的内角和等于n－2个三角形的内角和。于是，得出n边形内角和公式: 180(n－2)°

五、关于解题思路的探究

可以把一些解题思路或解答过程具有一般意义的问题设计为探究性活动，用以培养提高学生的探究能力。

例:如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形地面上建筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要是草坪的面积为540m²，求道路的宽。

例:如图，某小区在一个长40m，宽为27m的矩形场地上修建三条同样宽的道路，其设计方案如图所示，其中每一块阴影都是面积为150m²的草坪，求道路的宽。

引导学生进行探讨，教师可给于提醒让学生自主探讨得出此类问题的解题规律:可将道路全部移至矩形的一边如图:

六、开放性问题的探究

开放性数学问题是开展探究性教学活动的一种非常好的素材，教学时教师可以经常性地将其作为探究式教学的教学内容。开放性数学问题有些题目是明确地给出了相关条件，要求针对所给条件，写出所有可能的结论;有些题目是给出了明确的条件，但没有提供明确的结论，要求学生探究并加以证明;有些题目则是在解决了一个问题后，要求变更条件内容再探讨结论的相应变化等。

例如，在讲二次函数的习题课时，如果只是简单地按要求求解二次函数解析式就带有很大的封闭性，但如果把题目设计为开放的形式，就增加了问题的探究性，就可以进行探究训练。

例:某函数的图象经过(1，－1)，且函数y的值随自变量的值增大而增大，请你写一个符合上述条件的函数关系式。

通过学生小组探讨，发现符合要求的函数关系式即可以使学生学过的一次函数也可以是学生学过的反比例函数。如:y=－或y=x－2等。

例:已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究∠DBC与∠ABC的比值。

请你完成下列探究过程:

(1)当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全图形。

观察图形AB与AC的数量关系为________;当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为________;

(2)当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

本文仅仅针对数学探究式教学中的形成性探究进行了探讨。显然，数学探究式教中学还存在着许多值得我们去思考的问题，还需要我们在教学实践中不断探索完善。总之，在初中开展数学探究式教学，是数学教育改革的一个重大举措，是时代发展的需要，同时也是数学教师面临的一次机遇和挑战。探究性活动无论从教学内容还是从教学形式上讲，都是对常规教学的一种发展和补充，使数学教学更加开放、更具活力，这是当前数学课程改革和教学改革的重要研究课题。