数学教师教学计划决策案例分析

第二节　数学教师教学计划决策案例分析

笔者首先把所有57个录音文件均转录成口语报告文本，再结合自己的亲身感受和录音原始文件对口语报告文本进行筛选，筛选的首要标准是事件本身既触动了笔者，也使燕老师有所自觉，在此基础上进行深度分析。本节选择了“3的倍数的特征”“制作100以内质数表”“底面积乘高”“分数的意义”“分数乘分数”等5个案例作为分析数据。其中，拟对“3的倍数的特征”进行全面分析，包括决策系统和评价系统总共6个具体指标的详细探讨，其余4个案例则主要分析其“效能”决策，因为效能决策是小学数学教师教学计划决策的核心点。当然，所选择的5个案例并不是孤立存在的。它们是本书案例系统中的元素之一，承载着丰富的生命内涵和意义，笔者在案例系统中的研究发现的集中载体。

一、全景分析与讨论：以“3的倍数的特征”为例

笔者第一天正式进入燕老师的课堂，双方都非常精神，神情间透露出一些新奇、一些希望。那天的学习内容是“3的倍数的特征”，该内容是《因数与倍数》单元的学习内容之一，之前已经学习了“2和5的倍数的特征”。教材用一个页面的篇幅把这节课的知识信息和思想信息全部囊括，以师生、生生对话的图画形式创设了一个发现问题、解决问题的探索情境，具体情况如图2.2所示。⁽⁷⁾

图2.2　3的倍数的特征

在正式教学这节课的内容的前一天，燕老师非常详细地展示了她的设计过程（原始口语报告附后，编号为KY-ch-j-20080310-1，其中KY是“口语”拼音的声母，ch表示燕老师，j表示燕老师的职业是教师，20080310是事件进行的时间，1是序号。下同）燕老师首先详细陈述了课堂教学引入环节的设想：

我觉得这节课是在前面的2和5的倍数的特征基础上学习的。2和5的倍数的特征学生一节课内掌握得基本上还可以，但是我想过了几天有些会遗忘，所以在这之前我会复习一下2和5的倍数的特征，也是为3的倍数的特征进行一下方法的迁移。因为我觉得学3的倍数的特征会比较特殊，学生可能会利用那个2的倍数、5的倍数的那种方法去想。因为他们是孩子嘛，学了那种方法估计就脱口而出，或者凭着自己的感觉来说：3的倍数可能跟个位有关，个位上是3啊、6啊、9啊，可能会这样想。

所以我就让他们进行猜测，让他猜，然后老师不给予肯定。他说个位是3的、6的、9的数，那我就叫他把想到的数说出来，然后通过猜想他们自己去验证，刚才你们说的个位上是3的、或者6的、再或者是9的数是不是都是3的倍数呢？通过他们自己说的例子、这些数字，我让他们自己去验证知道：哦，不是的！看起来3的倍数跟个位上那个数是不是3，6，9还不一定！不能下这样的结论。所以孩子们可能就有一个困惑：2和5的倍数都是用这种方法去找的，3的倍数还奇怪，这样找不到？嗯，觉得有点困惑，就想解决这个问题。然后老师就引导他说：哎，到底3的倍数有怎样的特征呢？这节课我们就来研究它。

这个片段燕老师陈述了本节课的引入环节的设想，她认为学生应该会从“2和5的倍数的特征”进行“方法迁移”，并允许学生按照自己的猜想举例验证，发现猜想错误，从而造成认知困惑：用原有方法找不到3的倍数的特征，教师便顺势引出课题“3的倍数有怎样的特征”。在这个设想过程中，可以罗列出教师教学计划决策之“决策系统”的具体决策如下：

分析1：复习2和5的倍数的特征。（学生刚学过“2和5的倍数的特征”，又是孩子，会认为3的倍数的特征也与个位上数字是否是3的倍数有关。）

设计1：创设困境，即找2和5的倍数的特征的方法并不能找到3的倍数的特征。

开发1：学生根据自己的猜想任想数字进行实证。（让学生否定自己的想法）

接着，教师对新课环节的设想也进行了详细陈述：

我准备让孩子们去找3的倍数的特征，我自己感觉这是我要上课的一个重点，就是说这节课重点就是让学生通过一些例子去寻找到3的倍数的特征。然后呢，通过观察、猜想、比较、归纳等方式来认识3的倍数的特征。在这个环节里我自己凭空感觉到孩子们可能难的是一时找不到说：我要找3的倍数的特征，我用什么方法、什么方式去找比较好呢？我觉得这里要老师去引导……我们班有55个孩子，我准备让他们找出这55个数里面哪些是3的倍数，我觉得这些数比较少，也比较小，应该很容易、比较快。1～55里面有很多3的倍数，就找这些就行了，太多了我也觉得会浪费太多时间。然后通过这一组数让他们找到3的倍数，他在练习本上找，或者罗列，自己写都可以，然后我就让他告诉我找到哪些3的倍数，我就在黑板上板书，孩子们找到3的倍数都写出来，我也有序地写出来。

然后，说：“这些是你们找到的3的倍数，那你们自己观察你们找的3的倍数有什么特征，让你们去先找一找，也可以交流，相互说一说。”有些可能会看到3，6，9的，但是有些也会质疑。他说，有些个位上不是3，6，9的它也是3的倍数呀，那孩子一下子会觉得这里有一个矛盾，或者是觉得走不过这个坎。因为他觉得一方面又有3，6，9的，单数的，另一方面，两位数又不是有3，6，9的，到底它有什么规律？我觉得孩子是找不出来的。这里呢他一下子也不好概括，所以他们碰到这个问题的时候我就引导他们：要不就找找这些3的倍数，看这些（数位上的）数字它们的和有没有什么特点。他们自己观察发现：这些数字的和相加起来，诶，个个都是3的倍数，这一点如果孩子们没有发现的时候，我会适当引导他们去讲、去看，然后就发现这些数所有的数字的和，它们都是3的倍数，从而他就有一个初步的认识了。

以上燕老师详细陈述了新课的设计和想法，教师明确了本节课的教学重难点，并就难点的突破设计了一些学习活动同时预想了学生的可能表现。在这个设想过程中，可以罗列出教师决策系统的具体决策如下：

分析2：分析学生（不知道用什么方法去找3的倍数的特征，教师觉得孩子找不出来，时间也比较紧）和内容，确立教学难点（如何引导学生有效采用具体方法）和教学重点（通过例子找到并认识3的倍数的特征）。

设计2：营造矛盾点。（有些3的倍数个位上是3，6或9，而有些个位上不是3，6，9的数也是3的倍数）

开发2：从55以内的数中找出3的倍数，并通过合作、讨论等尝试寻找3的倍数的特征。（这些数简单，学生做对的难度不大，而且节省时间；讨论和交流仅“小小的”）

开发3：教师直接告知学生方法和结果。（教师认为学生找不出方法，也不能概括规律）

最后，教师陈述了新课后的内容小结环节：

这里完了以后，我觉得是一个小的小结。让他们知道，哦，一个数是不是3的倍数可能要看数字之和有没有是3的倍数这样的关系，有一个初步的概念。然后第2个小结就是利用他们发现的规律再举一些例子来证明这个（规律）是有用的，就把这个规律推广。就觉得刚才写的只是两位数的，如果是三位数的，假如是三位数，它的数字之和是否是3的倍数，是不是也有这样的规律存在？……通过举例证明发现这个规律是有用的，是对所有这样的数都是有用的，扩大孩子思考的范围。

该部分的具体决策如下：

设计3：除了两位数外，其他的3的倍数是否也具有相同的特征？（隐含的）

开发4：举出是3的倍数的三位数，检验其各位数字之和是否是3的倍数。

为了便于研究，现将该口语报告中的教师计划决策之“决策系统”的具体决策列表见表2.1。

表2.1　“3的倍数的特征”教学计划决策之决策系统详细列表

课后，研究者随即对燕老师进行了访谈，燕老师对自己的教学设计和实施进行了初步的反思。燕老师对本节课的总体评价是“还是照我那个思路去想、去上、去落实。但是上起来的时候发现也有一些实施不如我想得那么顺”！具体反思节选如下（编号：FT-ch-j-20080310-1）

比如复习那个环节，我明显感觉到自己花的时间多了些。我本来想复习一下2和5的倍数的特征然后马上进入猜想，2和5的倍数的特征，孩子们在写的时候时间把握得还可以，主要是猜想那里和要验证的时候我觉得花的时间多了点，就会影响我后面的练习。猜想的时候，小孩子想的最少有3种，不像备课的时候想得那么简单，也就是说个位上是3，6，9的数就完了、验证下即可，这是我备课的时候没有想到的。就是说我不知道孩子还会说出个位上是0，2，4，6的，所有都说了。之前我没有了解孩子们是怎么想的。其实，他们这么想也有他们的道理嘛，所以我不能放弃，我觉得这也是课堂上生成的资源，即便是我这节课上不完我也要去落实好嘛，所以我就临时改了一下，（也）要验证他们的想法。

……

在上新课这个环节，我找这些数——3的倍数的时候呢，也有给他们做一下，交流一下，其实我觉得不必要交流，在这里还可以再挤一点时间出来……

下课后，燕老师对我说的第一句话就是“没有上完”（扩展思考、做练习和总结没有实施），非常遗憾地笑了笑。在反思的前部分，燕老师似乎就在寻找为什么没有上完的原因，所以从上述材料中可以发现，“时间”是燕老师关注的核心概念，她首先认为复习环节的时间多了，是因为学生举了些例子来说明2和5的倍数的特征；其次，她认为猜想验证的时间也多了，因为学生的想法比她预想的多得多，而对于课堂生成的资源不能放弃；最后，在找出55以内3的倍数时，燕老师认为也浪费了些时间，她认为没有必要让学生交流，直接让他们独立写出来就行了，因为数字比较小，对学生来说是容易完成的事情。

随后询问“对于教学设计的设想你认为都得到实现了吗？如果有未实现的部分，其原因是什么？”燕老师思考了一会，继续进行反思：

有些实施得还可以，有些还不是很到位。比如第一个环节让孩子们猜想验证，让孩子们感悟：这样猜想不科学，没有找到规律，这个方法还不一定行。虽然没有用语言来表达，但是我觉得孩子们还是有感悟的，我注意到了这一点，而我课堂上关注了这一点还是有效的。第二个就是，寻找3的倍数的特征的时候，在我备课时没有想到那么复杂，但是孩子们五十几个人，什么想法都会有的……孩子的这种想法也无可避免。就是我想知道在上课之前怎样去了解孩子们的这些想法？有时候真的预计不到……这个时候我就应该引导孩子们顺着我预计的那个（思路）去研究，就不希望再分很多了。所以在这种情况下，有时候，有时候嘛就得放弃掉一些课堂上生成的资源。抓住一些、放弃一些。像我就不能做到每个（学生想法）都去讲透……所以说了解学生想法太重要了，但是有时候是没有办法想到这些。预计是有预计的，但是不可能想到孩子们的一些想法……想不全，有时候会漏。

在这里呢我不知道是不是一下子有些乱，感觉到抓得不是很紧。就是让他们观察（归纳3的倍数的特征）我自己感觉到还不是很充分……因为我不让他们看书（强制不让他们看书），因为在课堂上看，他就会念出这句话，会影响我……就是说观察倍数（归纳特征）的时候，我还是希望大家通过自己的观察、交流，自己去发现最好，不用我去找那个孩子来启发。

这次的反思，燕老师认为近80%的课堂过程是按照自己的预设进行的，约百分之二十几的课堂过程进行了临时调整，其中针对“设计2”（营造矛盾点，有些3的倍数个位上是3，6或9，而有些个位上不是3，6，9的数也是3的倍数）实施得比较有效。首先，尽管孩子们并没有用语言明确表达出，但是燕老师认为，孩子们还是感悟到了他们的猜想不科学；其次，燕老师认为事先知道学生的想法很重要，但是又无法预想到所有的想法；最后，燕老师认为要求学生找到并认识3的倍数的特征还不是很充分，她希望学生能够自己发现，就不用特意让那个孩子来启发大家了（这个学生的家长为她请了家教，这部分内容已经学习过，燕老师肯定她能够说出结论，便在其他学生无法归纳出结论时，燕老师让她回答以启发学生）。

首先，关于教师教学计划决策之“评价系统”，燕老师的具体决策如下：

效力1：没有实施设计3和发展4。（时间原因）

效力2：改变发展3的预设。（请学生作为代言人）

效力3：设计2的决策实施得较有效。（教师觉得学生感悟到了她希望学生所感悟的）

效力4：分析1、设计1、发展1、发展2实施得不到位。（预想学生的猜测结果不全面，以至耽误了时间，场面还有些乱）

效力5：教学目标（重难点）实施和实现得不是很顺利。

其次，通过课后与三位学生的交流以及观察员对他们和其余同学的观察，研究者对评价系统之“感染力”指标得出如下看法：

感染力1：学生获取了少量的外在快乐。（并没为生发内在快乐作出贡献）

感染力2：学生没有获得内在的快乐。（没有遭遇思维困境，更没有突破困境的成功体验）

效能指标考察的是教师对教材的利用是否合理，对于教学设计而言，教师效能决策的质量牵动着效力、感染力、分析、设计和发展指标的质量，对于围绕教材的系列教学决策系统来说，具有牵一发动全身的作用。然而，针对本节课而言，教师并没有非常合理地利用教材资源，对于教材信息及信息间的关系的解读和组织可以有更趋于合理的解释方式，对于教材信息以及信息间的内在关系可以更深入挖掘。

笔者认为，教材中呈现出2和5的倍数的特征这条信息，其目的是利用学生的思维惯性，即2和5的倍数的特征都与倍数个位上的数字有关。而且这些数字是2或5的倍数，学生很容易猜测3的倍数的特征也应该与其这个数的个位上的数字有关，而且也可能是3的倍数，其重点不是复习或者是方法的迁移（分析1）。进而教材呈现信息条“3的倍数个位上的数字是否是3的倍数呢？”是希望教师引导学生将他们的猜测转化成一个明确的问题，为下一步的验证活动奠定一个很好的理由，使学生认为很值得去做这个事情（设计1）。正如安德森（Anderson）指出与学生学业成就密切相关的4个类别：对任务的专注度、学习主动性、理解力和成功的事迹和体验。⁽⁸⁾其中，理解力是指教师应该让学生明白他们为什么（活动的价值——笔者注）以及怎样参与和操作教师设计的活动。至于学生会猜测3的倍数的个位上的数字是3的倍数，还是6，9或者2，4，8等数字，这都无所谓，其本质都是归为一点，即3的倍数的特征与其个位上的数字是没有直接关系的。

燕老师恰恰对学生会有多少种想法过多关注（这一点在课堂上的表现和课后访谈中都有印证），偏离了教材的意图，也造成课堂教学的混乱。对于自己没有预计到学生除了3，6，9外，还会猜测3的倍数的特征是其个位上数字是0，1，2，4，5，7，8，燕老师也一一验证，于是课堂上教师花费了较多的时间做同一件事情（发展1），造成简单重复，致使学生甚至教师本人都显得有些混乱，即包括思维上的也包括场面上的。实际上无论学生猜想多少种可能，其实质都说明这样一个道理：3的倍数的特征与其个位上的数字没有直接关系，这也是教材意图传递给教师的信息，希望能够与教师达成理解的关系。

教材就是在一个有目的的情境发展过程中所观察的、回忆的、阅读的和谈论的种种事实，以及所提出的种种观念。⁽⁹⁾而这些观念有时候并不是直接呈现出来，而是隐含于教材所提供的信息背后，需要教师与教材文本达成理解，也唯如此才可能达到精通的程度。正如杜威所言，当教师从事直接的教学活动时，他需要精通教材，他不应注意教材本身（就信息而信息——笔者注），而应注意教材和学生当前需要和能力之间的相互作用。⁽¹⁰⁾如果仅仅视教材为提供信息堆的一个物体，教师就不会视教材为一个生命体而去主动理解它，始终处于“看教材是教材”的初级阶段。

另外，上面提到的教师专门复习“2和5的倍数的特征”，其实也是只注意到教材本身使然，造成6分多时间的数学学习游离于本节课的主题和目标之外，也给后面让学生猜想3的倍数的特征造成一定程度上的误导。课堂片段如下：

T：请写一个2的倍数

S：8

T：为什么说8是2的倍数呢？

S：因为它能被2整除

T：8除以2是整数。再写一个2的倍数！

S：16

T：为什么说16是2的倍数？

S：因为它能被2整除

T：还有谁写了？

S：14

T：你为什么写14？

S：是偶数也是2的倍数

T：××写的是什么？

S：4

T：4是不是啊？

S：是

T：××你写的是什么啊？

S：8888

T：哇，8888这么大的数，也是2的倍数，对不对？

S：对

T：谁来帮我，为什么他选的数这么大也是2的倍数？你说说看？

S：因为8888个位上是8，个位上有个8。

T：按总的来说，谁概括一下？

S：个位是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

T：写出两个5的倍数？

S：5，10，25，35，…

T：谁告诉我5的倍数有什么特征？

S：个位上是0或5的数是5的倍数。

T：好，你们说的对了，那2的倍数、5的倍数同学们都掌握了，下面，我给的数字是3，5，6，你能不能组成一个三位数，必须是2的倍数。

S：356，536。

T：还有吗？

S：没有了。

T：你是怎么知道那么快的？谁说说？

S：因为个位上的数是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

T：把6放在个位上，其他两个数调换位置就可以了。把这3个数组成1个三位数，是5的倍数，能不能？

S：能，365，635。

T：还有没有？

S：没有了。

T：也能出写两个是不是？

S：是。

T：那同学们能这么快想出来，我看是大家对2的倍数的特征和对5的倍数的特征记的非常的好。接下来，请同学们展开想象的翅膀今天来学习一下3的倍数的特征……

杜威认为教师应该精通教材，要关注教材与学生的相互作用。按此理解，教师至少要看到教材表层信息的深层意义及其内隐的关系，并根据对学生的了解进一步对如何引导和促进学生良好地获取这些信息、意义和关系作出恰当的决策。做到此，才可谓精通，才可谓“看教材不是教材”进而达到“看教材还是教材”的高境界。如果只是看到教材的表层信息，将教学设计和计划决策看成是对这些“看得见的信息”的简单梳理，有时甚至是简单堆积，那么，教师的教学计划决策就变成仅仅对信息的简单取舍，并且由于对教材的欠理解，甚至误解，导致教学设计以及计划决策本身就存在瑕疵，依据这样的教案实施教学的课堂能精彩吗？不好的教学设计和计划决策注定上不出好的课！经常进入小学数学课堂教学现场，一边听着、观察着、记录着小学数学课堂的事件，一边阅读着、对照着教材，对教材不精通的笔者常常都能感受到上述问题的存在。表面上热闹、积极，旁观者却容易看出其中的端倪，学生身陷其中却不知，可叹！如果对教材信息的加工处理变成做简单加减法，而且还可以随意运用交换率、结合率等，教学设计以及计划决策似乎也可以真的不受重视了！

因此，真的非常感谢燕老师愿意与笔者合作作了这项研究，愿意和笔者一起去直面小学数学课堂教学设计过程中教师的计划决策过程，鼓励笔者去发现现象背后的东西，找出解决问题的办法。她多次用“希望你们能够帮我找出我的问题，有时候自己也不知道”这样的语言排除了我的顾虑，为研究提供了最自然的课堂教学状态，鼓励笔者大胆地进行相关研究。

二、“效能”决策分析与讨论

（一）“我误事了……”：制作100以内的质数表

图2.3⁽¹¹⁾是“质数与合数”第二课时的教材内容：做一个100以内的质数表，这是连续听的第三节课，前节课的内容是“质数与合数”的概念教学。从教参和其他一些教学案例来看，多数教师把概念教学和做质数表处理为一节课的教学容量，燕老师将概念教学和做质数表划分为两个课时的内容，是因为那天是两节连堂数学课，还有一个原因就是“3的倍数的特征”的教学没有完成计划决策的内容。在与燕老师的课前交流中，能够明显感觉到一种轻松和一种把握，或许是内容容量少使她感觉到教学时间的充裕，亦或是因为内容的简单（燕老师表露出这种意思）使她觉得成功的胜算在握。（编号：KY-ch-j-20080311-2）

……我可以放手让他们去做、去交流……可能课堂上我主要是引导他（学生，下同）去怎么样找质数表，他可能就像书上孩子们交流的那样去做……我可能先让他们想方法：你可以想一下这么多数哦，20以内的找了。但余下的数还有很多啊，质数和合数也有很多。那么这个方法都是类似的，100以内的这些数，能不能把那些质数找出来，你想用什么方法呢？就像他们（教材上的卡通人）说的那样，我也不知道孩子们能不能这样说。就是说，每个都一个一个（去试）去找，从因数质数去找，有一些说把2的倍数划掉。一个班里肯定孩子都有好、中、差。与这个可能小组合作，一起想办法会更好一些。这个我准备让他们自己去做……

图2.3　制作100以内的质数表

对于教材资源的解读和挖掘，教师把这节课定位为“实践性课”，认为学生在学习了质数和合数概念后，有能力自主完成质数表，而在教学实施过程中，教师也确实按照课前的决策实施，“放手”让学生做。相关过程如下：（KT-ch-j-20080311-2）

T：……上节课研究的是小小的20以内的，现在扩大到100以内的质数，同学们，这个数100，现在我给你们要实践了，靠你们自学了，把那些质数找出来，能不能找？

Ss：能！（个别学生）

　　……

T：那么这100以内的数，要找质数怎么找？你们想说用什么方式来找一下？（教师叫了某学生的名字）

S1：画圆圈（有同学附和）

S2：画一杠一杠的（有同学附和）

T：好，统一，把质数用圆圈圈起来。来，先示范一下，例如，20以内的质数有哪些？

Ss：1，2，3，5，7，9，…（学生说，老师在黑板上画圈）

T：这样子，为了提高我们的效率，用铅笔画啊！……那怎样找呢？用你喜欢的方法去找，同桌之间可沟通交流……

（学生们开始操作，这个时间约27分钟）

T：刚才老师巡视了……有些同学为什么找的那么快、那么好呢？他们有个绝招，把好的东西交流一下，找一些同学介绍他的经验……请准备好的举一下手，王同学说说……

WS：……把2的倍数划掉，2不划……

T：哇，好厉害啊！她啊，觉得2以外的，2的倍数排除，为什么排除？

　　……（学生嘟嘟哝哝地，没有说出什么见解）

T：……因为2的倍数肯定含有2这个因数，对不对？所以2的倍数都是合数。你用的这个方法叫……

Ss：排除法！（老师只划掉以2打头的一列数，并没有划掉其他2的倍数）

T：好，再看。还有呢？把个位上含5和0的排除，就是排除谁的倍数？

Ss：5的倍数！（部分学生回答）

T：听到的举手！……然后呢？（此时，老师已经有些蒙了，全然由学生想了）

Ss：把后面是2，4，6，8的数排除！（老师划）

　　……

看到这样的情境，我在观察记录上写下两个词：茫然、混乱。茫然是指学生的茫然，他们在27分钟的探索时间里不知所措，他们不知道为何要做这件事，更不知道怎样去做这件事，教师只是教给他们划横杠还是划圈的方法，至于怎样确定100以内的质数，他们并没有得到应有的指导和帮助，他们的探索是无效的。阿力是同时跟踪的3个学生中的优等生，数学成绩保持在班里的前3名，上课表现也不错。老师要求他们同桌交流，制作100以内的质数表时，他似乎没有花费多少时间就开始玩弄手上的笔或者其他什么了，这是他完成教师安排的任务后的行为特征。笔者走过去和他交流了一会儿，主要内容如下：（KT-ch-j-20080311-2）

Y：（我先看了他的书上痕迹）你用什么方法找？你是一个一个试的，是吧？

L：嗯

Y：你跟前面那个（同学）讨论一下嘛。……不讨论？

（中间有一段阿力不想跟我交流，后来我说了些鼓励的话）

L：大部分尾数是7的都是，（停顿）都是质数。除了7以外！

Y：除7以外都是质数啊？

L：77

Y：哦，77啊。87呢？

L：87（停顿），87是质数！

Y：嗯？你用什么方法？

L：1的后面都是质数，（边看书边说）1和21以外！……

我看出了他的茫然与无奈，他想找到一些捷径，因为他感觉到一个一个试太麻烦。但是他不知道用什么方法可以找到捷径，也没有得到教师及时、有效的帮助。优等生尚且如此，其他孩子呢？我巡视全班，部分学生不会做，部分学生一个一个试。混乱主要指教师的思维混乱，老师说：“听到的举手！……然后呢？”讲这句话时已经有些蒙了，全然由学生想了。此时课堂场面也有些乱，学生受到王同学（前面提到的家里请了家教的学生）说划掉2的倍数的启示，开始七嘴八舌乱说开来，有说划掉4的倍数，有的说划掉6的倍数和8的倍数。教师思维混乱了，所以全然不知道学生说的标准已经重复，而且标准并不固定。最后，教师按照学生的说法划掉大部分数，剩余的数，比如27，77等采取了逐个检验方法，后来发现22，33，44等特殊的数，又说“个位和十位上数字相同的数要排除”！又一次的重复和混乱。结果留下49和91最终没有划掉，所幸学生发现后向老师提出了质疑。

看来，笔者的判断有一定道理，教师在教学设计过程时自己首先没有弄清楚寻找100以内的质数的方法，没有理解教材信息的内在涵义和关系，致使教师在选择、转化和组织教材信息的决策过程失误，这是根本原因所在，课后访谈也得到证实。就效能决策而言，本节课教师还不仅仅是堆积教材信息的问题，还在于误解了教材的信息和信息间关系，没有理解教材的意图。

也许从来没有在外人面前出现过这样的“失误”，燕老师首先以一种歉意的态度小声笑着解释说：“……100以内的质数，这个数字是不好做，我自己刚才圈的时候，也无意中圈漏了数，我自己圈都这样，所以不要说孩子，所以……这个表，今天他们这种方式（表现，笔者注）……昨天我没有叫他们预习，只预习这边，这边（做质数表，笔者注）都没有（预习，笔者注），保留一下……”

燕老师似乎是在为孩子的表现开脱，也像是在用“无意”这个词为自己作解释。或许她有些内疚与不安，亦或许她真的认为是自己的无意造成了学生学习的表现。当时当地的我首先感受到一种老牛护犊子的那种亲情，有一股暖流涌遍全身。

燕老师进行了及时的反思，她说：“我今天观察的时候多数孩子都是一个一个找，有一些孩子聪明的，他也会想到，这些有0的他都不去找，这些有5的他也不去找，因为他知道是5的倍数，这两行就很明显。还有这4的，他都不找，我说你为什么不划这个，他说有4啊，2的倍数，偶数啊，也有个别的这样想一下。但是其他的，像8的，有一些他没有想到，因为里面还有3的倍数，那个元素，那种综合运用的能力还是不够强，这个可能是上完过后这个方法就用得好，还没有学的时候，第一课时的时候，估计就是用一个一个找。”燕老师也观察到学生表现出来的那种无序和思维混乱，她把学生的这种表现归结为第一次学以及他们的综合运用能力不强等，似乎比较牵强。

后来，笔者耐心给燕老师解释了算术基本定理的涵义和用法，并告诉她教材上是用一幅卡通图画的情境渗透了这种思想，并解释了她和孩子们的排除标准有重复并且不全面而造成有遗漏的数字。燕老师听得很仔细，同时认真地阅读着、理解着教材，若有所思地点点头：“这个还是我自己没有把握好教材，所以后面的时候这个91我也勾。孩子们提醒我，有些孩子能看到是7的倍数……因为我本身都忘了7的倍数……今天我就没有划完，我自己也想不清楚，为什么没有划完呢？（释然地一笑）”后来她非常小声地，不注意就听不清楚地嘟哝了一句：“我误事了！……”

（二）“一样的意思！”：底面积乘高的思维含量

第一轮数据收集结束后休息几天便开始第二轮数据的采集，在这个过程中研究者可以参与到教师进行课前教学设计的过程中，双方交流自己的想法。首先还是教师先叙说自己的计划和决策，研究者根据教师的陈述提出一些问题，再相互交流对问题的看法，最后达成共识。教师再根据这些共识修改和调整教学计划决策并最终形成相应的教学方案。

“底面积乘高”是《长方体和正方体》单元之《长方体、正方体体积》的第三课时，学生已经探索和学习了长方体和正方体的体积计算公式，即“长方体体积＝长×宽×高”和“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”。教材直接给出“底面积”概念，并配以图形说明；接着告知长方体和正方体体积公式中的“长×宽”和“棱长×棱长”就是底面积，进而得出“长方体（或正方体）的体积＝底面积×高”，将两个公式合二为一；最后是“做一做”，有两道题目，其中第2题联系了实际生活（见图2.4⁽¹²⁾）。

教师首先说出自己的设计和决策过程：（KY-ch-j-20080328-5）

“长方体是‘长×宽×高’然后等于它的体积，正方体是‘棱长×棱长×棱长’，还可以利用另一种方式来计算，就是说在这个公式理解的基础上来认识底面积，首先他要认识底面积，通过观察去理解底面积，（知道）如果知道底面积和高，也可以求出长方体跟正方体的体积来。……这节课我认为底面积的概念挺重要，有必要理解底面积，因为怕他跟那个表面积像底面和上面一样有点乱嘛，所以我认为概念重要，就是底面的面积叫底面积也很重要。理解完了后，在这个公式上进行推导，我可能会画这个图（指教材），然后底面是指哪些面，这个底面积是怎样算出来的，底面积就是长方体的‘长×宽’嘛，如果知道这个底面的面积也是能求出其体积的，所以就总结出了第二个公式。”

可以说，教师几乎是按照教材顺序叙述了一遍而已，把这节课的焦点落在“底面”和“底面积”的概念上。在认真听完教师的陈述后，笔者与教师开始交谈：（KY-ch-j-20080311-2）

Y：……说句实话，我看了这部分内容我觉得没有必要讲。

CH：因为它是一样的意思！

图2.4　底面积乘高

Y：对啊，所以我在想到底要教给学生什么……无非就是把那个长乘宽变成底面积。

CH：变成底面积孩子还是能理解。

Y：……认为这部分内容是没有必要讲的……但是教材拿出来，为什么呢，我在想是不是有些更深层次的意图？

CH：我觉得应该这样来理解，他讲这个内容是因为实际生活中要应用。

Y：但你为什么告诉我面积呢？……从实际角度来讲，实际上长、宽、高是最有用的，你比如说测量，我量出来的是长、宽、高，而又不是面积啊！

CH：对，对。

Y：我说呢，这个木料到底体积是多少……我量的是长、宽、高，哪里是面积嘛。所以我刚才就在想这个问题，教材的这部分内容放在这里，到底是啥意思？……其实你刚才说，方法的角度，方法的多样性，就是说正方体的，唉，长方体的体积不仅仅只有一种方法，还有另一种方法……但是这个角度你一讲呢……

CH：都是一样的！

　　……

Y：所以说本质上讲方法又是一样的，所以我就不知道，这练什么……但是这块……

CH：它只能是作一个补充和应用方面，就是给学生比较广泛的认识。我觉得只能这样理解。

Y：嗯。

CH：是的，主要是作一个认识和提高，应用能力的提高，这个是最重要的。

Y：对啊……你是准备先给他搞个现实情景呢，就是说现实情景，所谓的现实情景，实际上就是说有道题目，我告诉你的是面积和高，怎么办？

CH：可能一下子他会想不起。

Y：对啊，如果这样子讲的话，会不会把这个问题突出一点……

CH：嗯，这样可能会引起他的一些注意。

Y：对，先要求把体积算出来，他肯定算不出来，他不知道。你再引导他了解这个面积是怎么来的，然后再推出这个底面和底面积的概念……先把这个问题摆出来，然后让他想一想：我确实不知道……那么就来组织分析一下，这个面积，到底这个面是一个什么面，这个面积应该等于什么，相当于颠倒顺序，倒推回去……培养学生的逆向思维……

　　……

CH：是，对，那这节课我就按这个思路去准备一下。

　　……

由于第一节课的失败和第三节课的失误，燕老师在后面的课堂设计中有了一个明显的决策变化，即把课堂容量尽可能地减到最少，特别是新课部分。比如“底面积乘高”，按照常规做法，一般就放入前节课一并实施，因为这是顺理成章就可得到的一个明显结论。但是，燕老师决定把这部分内容作为一个学时的容量，却又让研究者可以从另一个角度审视这个内容，如果归并为上学时的内容，那当然按照教材的呈现顺序和思路进行教学设计是无可厚非的。但是当作为一个单独课时的核心内容时，反而引发了研究者诸多的思考和探索。

燕老师是一个很固执的人，一般很难接受其他人的观点。一是由于她自身的成就（省级骨干等），二是由于固有观念根深蒂固，对一些新的东西不容易理解和认同。在与燕老师交流后，笔者渗透了一些认识，教师很爽快接受了这些想法，最主要的原因是她也明确感受到这部分内容的单调和无趣。

交流后，燕老师的教案如下：

活动1：设置问题情境

先复习长方体和正方体相关概念和它们的体积计算公式，然后出示问题：学校多媒体讲台的形状是一个长方体，它的底面积是1.2 m²，讲台高是1.5 m，这个多媒体的体积是多少立方米？

活动2：合作探究，学习概念，推导公式

同桌交流，探讨解决问题的办法。

在汇报前，教师引导学生看书学习“底面”和“底面积”的概念。

T：已经知道长方体体积是长×宽×高，长×宽就是底面积，所以长方体体积也等于底面积×高。

教师在讲解正方体体积与底面积关系时，最后得出结论：

长方体（或正方体）体积＝底面积×高，用字母表示为V＝Sh

接着将活动1问题中的已知条件代入公式，问题得以解决。

活动3：巩固练习

燕老师修改教学设计后，我们没有机会再进行交流，上面的简案是根据课堂的实际情况加以总结的，后来与教师的教案比较差别不大。从简案和课堂实施情况看，与最初设计有一些变化，但是交流的核心思想（关注学生数学思维的培养）并没有得到很好的落实。究其原因，教师的固有观念和对数学思维的忽视是主要的原因。随后，作者呈现了自己的设计：

活动1：创设问题情境，发现问题

可以启用上述问题情境，要求学生先自主探究。

预计学生会这样解决的：1.2×1.5＝1.8 m³（学生通常会这样做，事实上也如此）

教师引导学生说出1.2×1.5就是底面积×高。（根据问题中的信息容易得出）（一定让学生来说，这是他们自己实践的结果，促使学生对问题进行内部表征。）

老师据此设置悬疑：照你们的说法和做法底面积×高＝长方体体积？（老师在等号上打一个大大的问号）（产生认知冲突：与前面所学“长方体体积＝长×宽×高”不一样）

厘清问题：“底面积×高”是否等于“长方体体积”？

活动2：解决问题

提示学生要认真思考，因为这个问题并不是想象的那么简单！

分析问题：（1）要证明“底面积＝长×宽”。（把“底面积×高＝长方体体积”和“长方体体积＝长×宽×高”进行形式上的比较，然后引导学生进行归纳）

（2）确认“底面积”就是等于“长×宽”。

化解问题：底面积是否等于“长×宽”呢？（停顿，再次引起思维矛盾）

再次化解问题：什么是底面积？（引导学生说，激发学生对问题进行内部表征）

这时老师引导学生共同学习“底面”和“底面积”的概念。（教材上有明确呈现）

学生知道了“底面积就等于长×宽”，证实了前面的猜测和分析推理。

从而可以得出结论：底面积×高＝长方体体积（前面的假设成立）

活动3：类比推理，统一公式

由长方体与正方体关系类比推理（横向思维）得出正方体体积与底面积关系。

最后得出统一公式：V＝Sh

上述设计立足学生的思维养成和发展，设置悬疑，形成从未知“底面积×高是否等于长方体体积？”到已知“长方体体积＝长×宽×高”的逆向分析、推理求证的思维活动过程，中间很自然地融入底面和底面积概念的学习，而不是从告知“底面积＝长×宽”，结合已知“长方体体积＝长×宽×高”得出未知“底面积×高＝长方体体积”的正向说明过程。修改后的学习活动过程实际上是一个思维聚合和发散交错体现的过程，特别地，发散思维（包括逆向思维、横向思维等）是创造性思维的基础。原设计的学习活动过程只是对知识进行了平铺直叙的梳理和说明，并不能给学生造成有效的思维矛盾，当然就不能达成培养学生思维的目的。因为“思维的养成不是自然而然地发生的，只有控制引起思维和指导思维的种种条件，思维训练才能获得成效。”⁽¹³⁾

“底面积乘高”的“效能”决策故事使数学思维在教材资源利用和教师计划决策中的核心地位凸显出来，也使教师教学计划决策的无思维性与教材设计所显现的数学思维诉求之间的矛盾突显。

燕老师的设计和研究者的设计的具体内容都是“底面积”概念以及“底面积乘高等于长（正）方体体积”，但是由于立足点（有思维与无思维的差异）的不同而致使整个课堂结构截然不同。可谓：一样的意思，不一样的思维！或许别样的精彩！

（三）“面包和纸片”：分数意义的理解——从实物走向模型

分数意义的理解，如图2.5所示。

图2.5　分数意义

分数概念是个复杂的概念，其获得过程需要解决许多认知上的矛盾，即便在教学条件下，小学生掌握它也需要相当长的时间。⁽¹⁴⁾因此，分数相关知识是小学数学学习的难点之一。小学数学教材通常以螺旋递增模式编排这部分内容，在低段开始接触“平均”分物，中段初步认识分数（包括分子、分母、分数线概念以及分数的读写），到了高段将进一步认识分数意义，从将一个物体平均分发展到把一群物体平均分。在正式上“分数的意义”之前，燕老师简单介绍了她的设计思路和想法：（KY-ch-j-20080408-6）

我就让他感受一下在分东西的时候，总会有不足，然后怎么表示一种方式嘛，这个是在三年级学习的基础上来学习分数的意义的。嗯，三年级的时候已经初步认识分数了，所以，对“平均分”还是可以的……

五年级了，就是要把这个概念完整的呈现，平均分的东西都是一个物体，现在要认识单位“1”，就是说一个物体、一个群体都可以用单位“1”来表示，主要是把这个意义完整地整合吧，前面学的（分一个物体）和这个要认识的从一个群体来分，也都是可以的，重点难点都在，也就是说把一个物体、一些物体都看成一个整体，然后把它平均分，最后用分数来表示……

这个单元主要是通过一些动手实验，让他去分，去数，去说，然后来感觉一个物体、一个群体，这样把它看成一个整体，然后用分数来表示。主要是想叫他们准备一些学具，或者老师为他们准备一些教具，让他们去分、去感悟，然后建立起这样的一个概念；最后认识一下分数的单位，了解一个分数单位又可以表示一份里面有几个像这样的，这节课必须要作一个了解……

由于时间的原因，燕老师就说了这么多，但是从这仅有的表述中，也可以归纳出一条线索：学生动手操作学具→用语言（和具体分数）表示结果。实际上课的过程也是按照这个思路进行的，每个同学有一副学具，有糖果、棋子、圆形纸片和方形纸片等。学生任意创造分数，教师再抽查学生用语言表述自己分物的过程和具体分数，比如“我有8枚棋子，把它们平均分成8份，其中的1份占这个整体的八分之一，用1/8表示”，此过程如图2.6所示。

（如前面的教材图2.5⁽¹⁵⁾）该教学计划决策之“效能”决策主要是“分数的意义”常规教学方法的惯性思维，在所听到的不同年级“分数的意义”的几节课中，几乎都是这种模式，有些公开课则用课件代替部分的学生操作。另一方面，该效能决策也是来源于教材信息的解读，“你能举例说明1/4的含义吗”，使教师决策要求学生言语表达，教材中的香蕉和面包使教师决策分实物，而对于教材中的线段图、圆片和方形纸片，教师则把它们视作与面包等同样的实物。因此，教师经由这样的“效能”决策便产生了如图2.6所示的教学过程。

图2.6　“分数的意义”教学过程图

从效能决策角度看，即对教材资源挖掘和对信息的意义及其之间的关系的深度剖析，还有一些问题可以深入探讨：一是面包是否可以和纸片完全等同；二是教材是否仅仅体现了从分实物到用言语表达的一个教学走向。

关于第一个问题，笔者认为面包和纸片并不完全等同。其相同点在于两者都是实物，在实际生活中可以平均分给不同的人；不同点在于纸片又具有一种“模型”的意义。我们知道，分数的一个意义就是表示了“部分与整体的关系”，这个看似简单的命题，孩子们实际上很难达成认识和理解。除了分数本身比较抽象外，更主要的原因是由于教师没有引导学生建立一些能更形象和全面说明分数意义的模型。关于“部分与整体关系”意义的模型有4个渠道可以建立⁽¹⁶⁾：范围（Region）、长度（Length）、集合（Set）和面积（Area）。范围模型对儿童来说是最具体也是最容易操作的，整体（单位“1”）是一个范围，而部分是大小与形状的叠合。因此教师通常采用这个模型进行后续讲解，教师最常用的范围模型有圆形和矩形，其实三角形也是一个不错的选择，如图2.7所示。

图2.7　“部分与整体关系”之范围模型图例

但是，它们各自有些特点需要注意。圆形模型便于儿童发现整体却对部分较难理解；矩形模型易于儿童理解部分却难于理解整体；而三角形模型两方面都比较困难。⁽¹⁷⁾集合模型则用一个集合作为整体，如图2.8所示。

图2.8　“部分与整体关系”之集合模型图例

集合模型对于儿童理解分数有一定困难，因为他们连分实物也会产生一些困难，更何况这种抽象的模式。⁽¹⁸⁾不过，教师可以通过操作实物渗透集合均分的思想，比如教师可以在提供的学具中既包含糖果，也包含棋子。另外，即使教师不准备这样做，但自己则应该要很清楚，教师对分数意义全面完整的理解对学生建构分数意义具有重要作用。

面积模型包含了范围模型所涉及的情况，这个模型适合于较大儿童（四年级及其以上）。图2.9可以帮助孩子更好地理解这个模型。⁽¹⁹⁾

图2.9　“部分与整体关系”之面积模型图例

小学数学教材和小学数学教师常使用的圆形纸片、矩形纸片，或者在黑板上画圆形、矩形，更重要的意义在于它是一种学习分数所必须借助的范围模型（三角形似乎用得少些）。教材中出现圆形和矩形纸片，具体分数，以及言说意义，其实是蕴含了学习分数必然要涉及的3个元素以及它们之间的关系，并且为教师提供了一种由模型（model）、符号（symbol）和言语（word）组成的“三足鼎立”的教学活动过程模型，⁽²⁰⁾这个模型可为教师提供至少4种学生学习分数的有效路径。

①给模型写符号；　　　　　　　②给符号选模型；

③给符号儿童言语表述；　　　　④给表述写符号。

在观察“分数意义”教学计划决策之效能决策过程中，教师决策的教学过程（见图2.6）跨越了“实物到模型”的数学模型化的过程，构建了“实物到言语”的单向学习活动。这样的话会使一个活动显得单一和断裂，其根本是不利于学生数学思维的发展。逆向思维是发散思维的一种重要形式，发散思维又是创造性思维的基础。所以归根结底是不利于学生创造性思维的培养，有违于新课程的理念和要求。燕老师曾经说在一次小学数学毕业会考中，有一道题目是要求学生根据给出的分数在给出的方格图中用阴影表示出来（即给出符号选择模型），绝大多数孩子没有做出来。这实际上就是在教学中没有注意到这个“三足鼎立”的教学模式，其根源是没有充分利用教材和教学资源，在效能决策过程中忽视对学生数学思维的培养。

结合分析和讨论，上述“三足鼎立”的模型可以扩充为下面的样式，如图2.10所示。

图2.10　“分数的意义”之“三足鼎立”教学模式图例

学生学习分数意义的有效路径可以增加为6条（后两种为笔者所加）：

①给实物：先画模型后写符号；　　　②给符号：选模型；

③给符号：儿童言语表述；　　　　　④给表述：写符号；

⑤给模型：儿童言语表达为分实物的过程（结合符号）；

⑥儿童言语表达分实物过程后再选模型或画模型。

其中，①与②，③与④，⑤与⑥是三组互逆的学习过程，能够培养学生的逆向思维，进而使传统教育忽视的发散思维得到很好的培养，从而促进学生创造性思维的养成。

图2.11　分数乘分数

（四）对这节课也很有意义？——“分数乘分数”的思维延伸

时光飞逝，与燕老师的交往已经有半年了，听课的绝对时间也有两个多月，现在已经进入金秋时节，第三轮数据收集已经开始。秋天，亦或收获？

孩子们已经是六年级了，时隔数月，还真有点想他们呢！那天一踏进他们的教室，还是感受到孩子们关注的目光。一个男孩子跟燕老师说：“杨老师又重出江湖了？！”一个女孩子拿出留言卡片让我填写个人信息……

应该是9月8日，准备听的是六年级上册《分数乘法》的第二课时内容“分数乘分数”（见图2.11⁽²¹⁾），之前刚学过“分数乘整数”的计算法则。燕老师在几天前曾埋怨说现在的新教材不如老教材（新课标前）设计得好，老教材突出单位“1”，很清楚，用新教材不知道怎样讲，说不清楚为什么要用乘法计算：“我就觉得这个教材安排得体现不出单位‘1’，担心的是后面解决问题的时候，孩子们找不到单位‘1’。”当时她说可能会按照老教材思路讲。在正式课的前一天，教师作口语报告，改变了自己的观点，决定仍然用新教材讲。后来知道是燕老师翻阅一些教学参考书，介绍了按照“工效×时间＝工作总量”数量关系进行讲解的思路，她认为可以接受。

燕老师的口语报告主要围绕两个问题展开：一是“怎样给学生讲清楚为什么要用乘法计算”；二是“怎样解释清楚‘分子乘分子，分母乘分母’的运算法则”。关于第一个问题教师决策采用“工效×时间＝工作总量”的数量关系作为探讨和解释问题的主线：（KY-ch-20080908-27）

“因为它（新课程）现在是淡化了单位‘1’的体现，而且我对比了一下，我还是觉得按照它（新教材）的样子去讲。因为原来觉得难理解的（为什么用乘法计算），后来我读了（数量关系）以后，觉得还可以理解……每小时可以刷这面墙的1/5就是之前学整数乘法中数量关系的工作效率，1/4小时是工作时间，要求粉刷这面墙总共占了几分之几，其实就是工作总量。”

关于第二个问题教师认为通过折纸（代表一面墙）来理解4乘5得20做积的分母，积的分子由1乘1而得：（KY-ch-20080908-27）

“它这1/5中，要平均分成4份，其实每一个1/5它都要平均分成4份，所以就相当于整个单位‘1’平均分成了20份，然后这1份就是占1/20……从这个具体的结果中去推出它的计算方法而不是从它的计算方法得出这个结果来解释结果……”

就教学计划决策之效能决策来说，燕老师仍是线性梳理了教材事实性知识信息，找到了讲清楚问题的办法。更多地关注教师自己的教学行为是否顺利，对学生数学思维的发展忽视或关注不多，即使有所体现，也是无意识居多。从培养和发展学生发散思维的角度出发，作者提出在两个点上增加一些小环节。一是在解释为什么1/5×1/4＝（1×1）/（5×4）处，燕老师是采用逆向倒推的方式进行解释的，即先利用分数的相对性，操作得出“1/5的1/4那一小份是整面墙（纸）的1/20”的结果，再由结果推出20＝5×4。这也非常好，培养学生的逆向思维。如果能够从另一个角度正向说明同一个问题，岂不更有利于学生创造性思维的培养？基于这样的考虑，建立在学生刚学习过“分数乘整数”的运算之上，由“1/5×4＝1/5×4/1＝（1×4）/5”推测出“1/5×4/1＝（1×4）/（5×1）”的结论，进而归纳出“分数乘分数，分子乘分子得积的分子，分母乘分母得积的分母”的结论。可以看做是“分数乘整数”运算的推广，突出知识的连贯性和整体性，培养学生思维的开阔性。

燕老师则认为“虽然是可以的，但是它（教材）这里有图，从这个图中去解释它比较好，我觉得如果学生理解这样的涂法以后，理解这个就稍微好一点……那样讲省事点哦。”看燕老师误会我的意思，便解释说这样做不是为了选择哪个方法好，而是从不同角度解释同一个问题，从培养学生数学思维的角度着眼的。后来燕老师说：“你意思就是说利用这个迁移……到时候看情况哦……如果他们不理解了再引导从这个角度去想一下，可能更好理解。整数计算基本上是过了，可以理解了，懂算了。”燕老师仍然没有理解我的意思，后来在课堂上她没有这样做。

另一个小环节是我想利用教材给出的具体情境加以延伸，在具体回答“想一想”所提的问题之前，先行探讨这样的问题“怎样得到一张纸的3/20？请至少想出两种方法”。此处的目的有3个：其一，把一步得到分数和分步骤得到分数3/20的知识进行总结归纳和认知建构；其二，引导学生认识和体会分数的相对性，更深刻理解分数表示“部分与整体”关系的实际意义；其三，培养学生发散思维能力以及思维广阔性和深刻性等思维品质。在与燕老师相互沟通时主要强调了培养学生发散思维方面，燕老师追问：“就说对这节课也很有重要意义？”在教师们眼里，看得到的、静态的知识才是最重要的。