个性化教学应注重案例分析

个性化教学应注重案例分析

王　伟

个性化教学是指教师以个性化的教学手段满足学生个性化的学习并促进个体人格健康发展的教学活动。笔者认为，实施个性化教学，应结合案例，发现学生学习过程中存在的问题，了解学生真实的思维活动，向学生提供个性化学习的机会，有效提高学生的数学学习能力，逐步培养学生良好的学习品质。以下我就结合案例，谈谈个人粗浅的认识。

1.出示案例

1.1　［案例1］：为了解学生真实的思维活动，有效组织教学，本人在一次测试中设计一道题目，测试高中生的数学直觉猜想能力，同时也检验该教学设计的有效性。有一个凸四边形ABCD，某人从AB上一点出发，沿周界走一圈回到原处，中间作了四次拐弯，最后与出发的方向相同（如图1）。请从这一现象中提炼出一个数学定理，并给出证明。

（图1）

意图：这道题的设计背景是四边形外角和定理。或者说，以此作为发现四边形外角和定理的“认知基础”。对于不知道外角和定理的初二学生来说，这是一个“再发现”的过程。但对于高中生来说，定理已学过，主要的工作是将问题情境提供的信息加以辨认，然后从记忆储存中检索出相应的命题来，从辨认到检索有一个直觉猜想的过程。由于高中生有较多的已知信息作参照，能力水平也较高，我预计，绝大多数同学都能按照设计的意图做出回答。但结果却很意外，只有11.25％的同学回答为外角和定理。

1.2　［案例2］：在一节《抛物线习题课》上，出示问题：已知直线y=kx-k及抛物线y²=2px……（p＞0），则直线与抛物线的交点个数为（），学生解答。

意图：本题易于理解，学生可以从不同的角度去解决，但不同的思考其思维的层次有显著的差异。

1.3　［案例3］：在《曲线和方程》的概念课教学中，打破常规教学，引导学生通过阅读短文《笛卡儿的想法》，畅谈对文中笛卡儿的想法的自我认识，并鼓励学生课后以数学小论文的形式，谈对曲线和方程之间关系的理解和认识。

意图：针对当前一种不正确的看法，认为数学学习就是多做习题，阅读数学书籍并不是重要的活动，常在教与学中被忽视。从现代信息论的观点看教学过程，就是一个信息输入、加工、储存、输出的过程。其中阅读属于信息输入加工形式，数学交流与表达属于信息输出加工形式。根据认知心理理论和信息加工理论，“数学学习的过程分为信息输入、相互作用、操作训练、信息输出四个阶段”。输入阶段是个体认知加工过程中不可缺少的重要环节，信息输入贯穿整个认知加工过程，信息输出则使初步形成的数学认知结构臻于完善，最终形成良好的数学认知结构。所以，数学课堂中学生接受信息的输入功能和信息的输出功能的高低，即数学阅读能力和数学交流、表达能力的高低，在很大程度上决定他们在课堂上脑力劳动的效率，并直接影响他们对数学思想、数学方法和数学知识的理解和掌握能力，以及他们数学思维能力的发展。

2.案例的分析与思考

2.1　案例1的思考

教师根据外角和定理进行设计，原指望学生回答外角和定理，但却有89％的同学没有这样回答，学生的认识存在着显著的个性差异，为什么会如此出乎意料呢？初步分析有五种原因：

（1）从小学到中学、再到高中，凡考试基本上都用常规封闭题，因而对此类提供“问题情境”，要自己去进行“问题解决”的题目不习惯，上述列举的“其他回答”，有的连语法都不通，有的是题目的简单复述，有的只感知到部分信息，有的则为假命题，这一切有明显的考试背景：即不习惯又硬着头皮给一个答案。

（2）与初中生学“外角和定理”不同，此处没有“教师意图”的任何暗示，完全是学生的独立思考，也没有提前“预习”或临时“翻书”的客观条件，因而“问题情境”比初中生真实得多，从而进行直觉猜想的客观困难也多一些，有35人没有回答就是一个很好的注解。

（3）高二学生的知识占有量大，题目信息与已知知识之间建立联系、“再发现”的渠道较多，这一方面是机会多，另一方面也是干扰多。关于向量和复数的几个命题，初中生是提不出来的，而高中生则由题目中的“运动”、“方向”联想到复数加法的“平行四边形法则”；还有“四次拐弯”联想到i4。在提出命题2.3（3）的学生答卷上还画了图形（如图2），四个命题对应着四边形的四个顶点A，B，C，D。这些情况表明，学生的认识有个体上的特殊性，学生的错误也有其内在的“合理性”。

（4）对于信息“做四次拐弯”，存在着两个明显的认识障碍：其一，分别在4个顶点上的旋转角，如何理解它们的和？其二，在每个顶点上的旋转角，到底是转了个内角还是转了个外角？

（5）平时出现的四（n）边都是只作内角，不作外角，学生记忆中，内角的印象强于外角的印象（对比图1与图4的区别）；初中（几何）课本中的“外角和定理”，都是作为“内角和定理”的推论出现的。因此，学生有一种“先定理、后推论”、“定理重要、推论次要”的顺序心理。在答“内角和定理”的学生中，有4人是先从题目中找出“外角和定理”，再由此推出“四边形的内角和定理”的，应该说，这四个同学已经看清了“外角和定理”，但感到“内角和定理”更重要，因而答“内角和定理”。类似的想法决不止有这四人，只不过没有在答卷上反映出来而已。这就说明，学生在进行数学“再发现”时，不仅进行内容的抽象与概括，而且进行价值的权衡与选择。

2.2　案例2的思考

在案例2的教学中，教师首先给出了一种常规的解法。

…当k=0时，y=0是对称轴，与抛物线有唯一的交点。

在我认为解法很合理的时候，有几位同学已经跃跃欲试了，下面让我们听听同学的解法吧：

［解法2］：∵直线y=kx-k过点（1，0），点（1，0）在抛物线y²=2px…（p＞0）的内部，故当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当时，直线与抛物线有两个公共点。

［解法3］：分析直线的斜率，当k＞0时，直线过一、三、四象限，必与抛物线有两个交点；当k=0时，y=0是对称轴，直线与抛物线有唯一的交点；当k＜0时，直线过一、二、四象限，与抛物线有两个交点，所以直线与抛物线有一个或两个交点。

案例2给我的体会是深刻的：

（1）知识并不能简单的由教师传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。传统的教师一言堂，虽然课堂进程顺利，但在这种表面的“繁荣”之下，教师对学生真实的思维活动的了解是肤浅的，学生真实情况被掩盖着，那样的学习只能是被动的和接受性的。在教学中，我发现，学生在数学学习中存在着显著的个性差异。学优生在学习和理解数学时，能对新知识进行主动地分析和加工，因而在记忆数学符号时就能自觉地对数学符号表示的相关内容进行处理，使自己认知结构中相关的概念、公式、定理形成了网状排列，使新知识与旧知识保持了一定的连续性；而学习困难的学生的记忆基本上是块状结构，即学什么就记什么，从不思考不同的数学符号所表达的相同的内容，他们记忆的大量数学符号是相互孤立的，即使有联系也是混乱和松散的，有时还是错误的，因此在回忆和提取时往往显得忙乱和无效。

（2）学生有巨大的潜能有待我们去挖掘。现代的课堂，已不再是教师的权威课堂，有很多知识需要我们向学生学习。教学过程应是教学相长，师生共同进步的过程。学生的解法表明，部分同学的思维是简洁的、发散的，但大部分同学已有的知识和经验未必能提供新认识活动的足够基础，他们已习惯于教师的灌输和引导。在学校学习的这种特定环境下，教师仍需发挥积极的启发或引导作用：如本案例，在学生成功地解决了问题以后帮助学生做出必要的总结，从而使之从不自觉的行为上升为自觉的行为，特别是在思维方法上更能有所收获。

2.3　案例3的思考

在案例3中，我所关心的是阅读能否使课堂充满活力，富有成效。本节实验课给我的启示是：

（1）让学生亲自经历了概念产生的过程，使学生能够清晰、精确、毫不含糊的思维和表达，做到“其言皆若出于吾之口，其意皆若出于吾之心”，真正的把知识融会贯通起来。同时，师生、生生间的交流是把内隐的数学思维活动和数学认知结构表现成外显的数学认知结果，是思想和思想的对话，情感与情感的交流。因此，“参与交流的机会越多，理解的就会越深刻。”众人拾柴火焰高，在一个充满友谊、信任和诚恳的交流集体中，每个人的智慧都会有被激发的可能，都会分享到顿悟的喜悦。

（2）学生的课后反思令我感慨颇多。让我们先看看学生的感受吧：

“本概念是建立数形联系，形成解析几何的基本方法的出发点，在定义中所做的两条规定可知，一个方程和一条曲线是同一个点集在“数”、“形”两个方面的反映，只有当曲线表示的点集C与方程表示的解集F是同一个集合，才形成概念。”

“曲线和方程是统一的，表现在：对于方程的曲线它是一种“形”，这个形是满足某种条件的点的集合。或者说是按照某种规律排列的一系列的点，而这种条件或规律在“数”上的表现是这一系列点的坐标满足的一种等量关系，这是方程。因此可以说，“方程”、“曲线”是符合某种条件或规律的事物在“数”和“形”上的体现。所以说，它们具有统一性，有了这个统一性，我们就可以用“形”来表现“数”，或用“数”来表现“形”。因而，对于“数”，即方程的解，和“形”即曲线上的点的坐标是一一对应的。所以，方程的解就是曲线上点的坐标，曲线上点的坐标也就是方程的解。因而，在判断某一点是否在某一条曲线上，只需判断这一点的坐标是否是这条曲线的方程的解；判断一个方程是否是某曲线的方程，也要紧扣这一概念的实质。

“今天，我们站在充要条件的高度，认识了数学的‘数’与‘形’，渐渐地在我的头脑中形成了一种‘观念’，我觉得这种观念带来的益处是多做几道题所赶不过的。这种观念的种子已在我的头脑中萌发，使我不自觉的应用到数学学习之中，这大概就是数学思想的神奇力量吧。”

正如学生感言，数学思想的力量是神奇的！而这种体会是不会通过教师枯燥乏味的讲解中得到，学生的快乐得益于反思，得益于“知不足，然后能自反也”的思想情感。

3.个性化教学的途径

以上三个案例，应该说充满了个性化的教与学。教师通过调查了解学生真实的思维过程，通过富有成效的课堂教学激发学生的学习热情，通过课后反思促进学生学会思考。笔者认为，个性化的教与学要在以下几个方面下工夫：

（1）要了解学生真实的思维过程，重视学生的原有认知结构，创设恰当的情境，为新概念的学习打开思维之门，使数学概念的每一次建立都成为学生构建新的认知结构的过程，真正促进学生向前发展。

在教学中，我们常感言，怎么学生连这么简单的东西都不会。殊不知，我们对学生是多么的不了解啊！每一个学生都以自己独特的方式建构着对知识的理解，他们有自己的学习方式和思考程式。

了解学生的真实思维过程可从以下几个方面着手：调查问卷；与学生的个别交谈；作业反馈；课堂的提问和交流……当我们留心学生在学习中出现的问题时，数学课堂就不再是教师的表演的“独角戏”，而是师生共同对知识的在理解和认识。

（2）创设和谐、宽松的课堂交流环境

维果斯基的社会建构思想认为：使学生获得的知识经受由学生和老师所组成的这个小的社会共同体的检验，并为使其符合与社会的要求打下坚实的基础。因此，在课堂教学中通过学生与学生的交流，使其能学习他人之长，通过教师对数学的理解过程的展示，使学生从中得到启发，以引起个体对数学本质的理解和反思，通过学生与教师的交流，教师可以及时得到学生对某一概念、某一问题理解的反馈，从中了解学生的实际情况，以便使学生对自身不合理的建构进行调整和补救。

（3）实施个性化评价，让不同的个体享受成功

①课堂教学中的个性化评价

不同学习个体在课堂教学中的表现是不一样的。因此教师对学生的评价也是个性化的。对后进生要采用鼓励和表扬，发现其闪光点，及时肯定他们的点滴进步，调动他们的学习积极性；中等生要采用激励性评价，既揭示不足，又指明努力方向；优等生要采用竞争性评价，坚持高标准、严要求，促使他们更加严谨、谦虚，不断超越自我。教学评价的功能不是做“地秤”，称出每个学生的轻重，而是要做“加油站”，让每个人从中汲取动力，增强信心，让每个学生享受到数学学习的成功和愉悦。

②作业中的个性化评价

A.运用个体内差异评价法。以个体自身为参照点，淡化横向比较，注重纵向发展。

B.运用语言评估。在作业中写几句激励的语言，其作用远远超过一个大大的问号。对聪明的同学，鼓励他们向更高处努力，对于后进生要肯定他的点滴进步，从而促进整体不同层次的提高。

（4）通过多种途径，帮助学生适时地反思

“反思”是理论发展或解题思维过程的再现。旨在通过这种再现，澄清理论发展或解题方法是在怎样的数学思想（或数学概念）的指引下想出来的。正如国际数学教育大会的创始人弗莱登塔尔（Hans Freudenthal）教授所指出的：“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”，“必须教会学生学会反思，只有这样，才能使学生意识到自身行为后面潜藏的实质”［10］。可见在数学教学中强调反思具有重要的价值。

数学教学中，要逐步培养学生的反思意识，在数学活动过程中不断进行回顾、思考、总结评价和调节。倡导在问号中下课，课堂教学既要切断“尾巴”——不能课内损失课外补；又要留有“尾巴”——把思考延伸到课外，把探索的兴趣延伸到课外，让学生在生活和实践中是知识得以验证和完善。，长期坚持这样做，将有助于学生形成个性化学习方式。

我们不是通过数学把学生教聪明，而是为学生提供一种“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的环境和机制，让学生的各种数学才智得到更快更好的发展。本文旨在通过典型教学过程的分析，展示学生丰富的想像能力，开阔的思维和有待挖掘的潜能。我坚信，尊重学生个性，展示学生个性，发展学生个性，将案例分析与个性化教学相结合，定能使我们的学生在各自的发展区内得到更快的进步与发展。