沈括和他的隙积术

22.沈括和他的隙积术

沈括（公元1031～1095）是我国古代卓越的科学家，他出生于钱塘（杭州）。有一天，他和朋友在一家酒店喝酒时，看到院子里整整齐齐放着一堆酒坛。

“你猜，这堆酒坛有多少个？”朋友好奇地问，“一共有122个。”沈括沉思了一会儿回答。

后来，他的朋友把这堆酒坛搬开来，一个一个点了一下，果然一个不多，一个不少，恰好是122个，猜得真准呀！

原来他是计算出来的，因为酒坛叠得很有规律：每一层都排成长方形，而且下一层比上一层长、宽各增加一个，这堆酒坛有4层，他数得最上面一层长为5个，宽为3个，以下每层依次为6×4个，7×5个，8×6个，合计5×3＋6×4＋7×5＋8×6＝122（个）。

一般地，假定共有n层，最上面一层为ab个，则以下每层依次为（a＋1）（b＋1）个，（a＋2）（b＋2）个，…，［a＋（n－1）］［b＋（n－1）］个。所以这堆酒坛的总数为S＝ab＋（a＋1）（b＋1）＋（a＋2）（b＋2）＋…＋［a＋（n－1）］［b＋（n－1）］。

下面我们来进行推导：

ab＝ab，

（a＋1）（b＋1）＝ab＋1×（a＋b）＋1²，

（a＋2）（b＋2）＝ab＋2×（a＋b）＋2²，

……

［a＋（n－1）］［b＋（n－1）］＝ab＋（n－1）（a＋b）＋（n－1）²，

∴S＝nab＋A（a＋b）＋B。

其中，A＝1＋2＋…＋（n－1）＝，

B＝1²＋2²＋…＋（n－1）²＝。

∴S＝nab（a＋b）＋＝［6ab＋3（n－1）（a＋b）＋（n－1）（2n－1）］。

沈括认为通常求体积的各种公式，作为计算对象的形体都是实心的，但他的问题却是形体中间有空隙，因此就把这个方法称为隙积术了，不过，当时沈括把最上面一层的长和宽的个数分别记作a和b，最底下一层的长和宽的个数分别记作c和d，共n层，因此他得到的公式是