解释蒙提霍尔问题

数学概念：概率

某些数学概念，如生日悖论（参见第78章），十分奇怪和反常，有些奇怪的数学概念，甚至连数学家们也很难相信是真的。其中一个例子就是蒙提霍尔问题，这个问题是以游戏节目《我们打赌吧》^[1]主持人的名字命名的，它的答案十分奇怪，即使完全解释之后，大部分人也觉得不可能是真的。某种程度上，它相当于数学领域的量子力学（研究物质最小组成部分的物理学分支），虽然令人难以置信，但却是正确的。

在节目中，主持人让参赛者站在三扇门前，其中一扇门后面是一辆新车，另两扇门后面各是一头山羊（或者其他不像汽车那么好的东西），主持人让参赛者选择哪扇门后面是汽车。接着，主持人打开另外一扇门，后面是一头山羊，这时，参赛者可以改变自己最初的选择。问题在于，参赛者究竟应该坚持最初的选择，还是选择第三扇门。

答案是，参赛者应该选择第三扇门。游戏一开始，参赛者选中汽车那扇门的概率是1／3，如果他在这时改变了选择，选对的概率就会变成2／3。怎么可能呢？大部分人觉得，参赛者是否改变选择都无所谓，主持人已经打开了一扇门，后面是其中一头山羊，这时，参赛者选对的概率是1／2，因为剩下的两扇门后面，要么是汽车，要么是山羊。

但是，这种想法是错误的。拿出一张纸，把概率写出来，就能明白背后的原因。问题的关键在于，主持人打开的永远是后面有山羊的门（要是打开了汽车那扇门，游戏也就不存在了），现在，不靠直觉，我们来列出可能的排列组合：

●选择一：参赛者选了后面是1号羊的门，主持人打开了后面是2号羊的门，参赛者如果坚持最初的选择，最后打开的是山羊，否则就是汽车。

●选择二：参赛者选了后面是2号羊的门，主持人打开了后面是1号羊的门，参赛者如果坚持最初的选择，最后打开的是山羊，否则就是汽车。

●选择三：参赛者选了后面是汽车的门，主持人打开了后面是1号羊或2号羊的门，参赛者如果坚持最初的选择，最后打开的是汽车，否则就是山羊。

从上面三种选择可以看出，其中两种情况下，如果改变选择，最后都能得到汽车。这种结果完全出人意料，但却是准确的。这就是数学的力量。

贝特朗箱子悖论

一个相似的问题是以约瑟夫·贝特朗的名字命名的贝特朗箱子悖论，他于1889年将这个问题写成了一本书。假设有三个箱子：一个装着两枚金币，一个装着两枚银币，还有一个装着一枚金币和一枚银币。随机选择一个箱子，拿出一枚钱币（也是随机的），如果是金币，剩余的那枚也是金币的概率有多大？你或许以为是1／2，但其实，真正的概率是2／3。

注释

[1]美国的电视游戏节目，由斯特凡·哈托斯和蒙提·霍尔制作和出品，后者在该节目做了多年主持人。