如何使用贝塞尔曲面拟合断层

如果断层线的数量比较多，生成的断层面就看起来比较光滑，否则，该曲面看起来很不光滑。如果将这样的断层用于构造建模，将会使构造面和断层相交的位置不能光滑地连接，为此，我们需要对断层线进行拟合，使其满足地质结构建模的需要。贝塞尔(曲线和曲面在计算机辅助几何设计中比较常用，所以，本书将重点介绍使用贝塞尔曲面拟合断层的方法。

RBF方法是一系列精确插值方法的组合，即表面必须通过每一个测得的采样值。有以下5种基函数:薄板样条函数、张力样条函数、规则样条函数、高次曲面函数、反高次曲面函数。在不同的插值表面中，每种基函数都有不同的形状和结果。RBF方法是样条函数的一个特例。

从概念上讲，RBF类似于在最小化表面的总曲率时通过测得的样本值拟合橡皮膜。所选基函数确定如何在值之间拟合橡皮膜。下面从概念上演示了RBF表面如何通过一系列高程采样值进行拟合。

薄板样条曲线(TPS)是由Duchon首先引入到几何设计中的，薄板样条可以看作是将一片薄金属板弯曲后的物理学模拟。其基本思想是通过在已知点中插值来最小化曲率，生成一个没有波纹和褶皱的光滑变换，这就是薄板样条变换(TPS)，Bookstein详细地说明了TPS的细节。TPS在两个点集S{si}和T{ti}之间计算一个映射函数f(s)满足下面的能量函数最小化:

在三维情形下，E为:

给定一组控制点，径向基函数定义了从空间任意位置x映射到一个新位置f(x)的空间映射函数，点集{si}是控制顶点的集合，定义如下:

式中，‖·‖表示常用的欧氏标准距离，{ci}是一组映射函数的系数。

通常选择核函数φ为薄板样条曲线φ(r) =r2lgr。与另一个常用高斯核函数φ(r) =exp(－r2/σ2) 相比，薄板样条函数具有更好的全局性。最小化的函数f可以用由两个矩阵D、C组成的参数a表示:

其中D是一个表示仿射变换的矩阵，C是一个K×(D+1)的变形系数矩阵，代表薄板样条变换中的非线性仿射变换成分。这样求使得能量函数E最小的函数f转化为求参数矩阵A。对于每一个点x，核函数是一个1×K的向量，在三维情况下，使用核函数φ(x) =‖x－si‖。薄板样条的很好的一个优点是可以看作全局仿射变换和局部非仿射变换的组合。TPS中的光滑项仅仅依赖于非仿射变换部分。