考古学与数学

从有关文献中知道，宇宙形成至今有150亿年—200亿年了，地球的年龄大约有46亿岁，地球上生命的出现距今38亿年，现代人最早的化石有15万年历史，现代智人出现距今已有4万年，这些数字怎样来的呢? 原子物理学家研究表明，放射线物质在单位时间内蜕变的原子数与该物质当时的原子数成正比，设y(t)表示时刻t该物质的原子数，则有

λ称为衰变常数(λ＞0)，方程中的负号是由于放射性物质的原子数在不断减少，故其原子数变化的速率是负值. y(t)表示时刻t该物质的质量，若t=t0时，y=y0，即y(t0) =y0，则方程(5.20)的解，就是放射性物质质量的变化规律:

物理学一般采用半衰期的概念来测量衰变的快慢. 半衰期定义为给定数量的放射性原子蜕变一半所需要的时间，用T表示，从上式中可求得T=ln2.

若某放射性物质的半衰期是T年，初始时刻(t=0)的质量是y，则经t年，其质量为

人们试图利用放射性物质的这一时间与质量的关系式去测定化石地质年代.1949年，W.利贝(Libby)发明的碳-14(14C)年龄测定法(碳定年代法)是测定化石年代的一种较好的方法，自然界普通的碳元素是12C，是稳定的、无放射性. 它的同位素14C的原子核有6个质子，8个中子，它不断放射出中子直至达到稳定的12C为止，由于宇宙射线不断轰击大气层产生中子，这些中子与大气中的的氮(N)发生作用又产生14C. 研究表明，虽然14C因衰变不断减少，但大气中的14C与12C的比例几乎不变. 这种放射性的碳又结合到二氧化碳中在大气中漂动而被动植物吸收，在活的组织中，14C的摄取率正好与14C的衰变率相平衡，当组织死亡以后，停止摄取14C，14C的浓度因14C的衰变而减少，年代愈久，14C与12C的比例愈小. 只要测定生物体内的14C与12C的比值就可推算出化石的年代. 而化石中14C的存量又可通过测定单位时间14C的原子蜕变数去确定.

1972年8月，长沙马王堆一号墓出土，测得出土的木炭标本的14C平均原子蜕变数为29.78次/分，而当时新炭平均原子蜕变数为38.37次/分，14C的半衰期为5568年(也有人测定为5580年或5730年，相差不是太大)，由推得

即用碳定年代法测得马王堆一号墓大约在2036年前左右，从而断定马王堆一号墓大致年代是2000前(西汉末年)的事，这与历史是十分吻合的.

由于，14C每年大致以的速度在减少，于是有人用计算文物历史年代.

5.2.4.1 伪造名画案的判定

第二次世界大战结束时，荷兰保安机关抓获了一个把大量荷兰17世纪名贵油画卖给纳粹的团伙，画家范·梅格伦因通敌而被捕，但他声称那些画都是自己的伪造品. 许多人都认为范·梅格伦是在撒谎，以免被定为判国罪. 为了澄清这一问题，专门成立了一个由化学家、物理学家和艺术家组成的国际专门小组进行判定. 专家小组在画上找到了现代颜料的痕迹，还检查出20世纪初才发明的酚醛类人工树脂，根据上述证据，范·梅格伦于1947年10月被确认为仿造罪，判刑一年. 服刑期间因一次心脏病突发，死于1947年12月30日.

由于专家小组对检查的画是否为赝品并未作出鉴定，一直到1967年才找到了判定的办法: 测定古油画依旧需要放射性的知识. 油画的颜料以铅白为主要材料. 铅白中含少量放射性元素铅-210(210Pb)，及更少量的放射性元素镭-226(226Rd)，铅属于铀系，铅白由铅矿中提炼出来. 铀 -238(238U) 蜕变产生镭226(226Ra)，238U的半衰期约为4.5亿年; 226Ra蜕变产生铅-210(210Pb)，226Ra的半衰期是1600年; 210Pb蜕变产生钋-210(210Po)，210Po的半衰期为22年; 210Po蜕变产生普通的铅-206(206Pb)，210Po的半衰期仅138天，206Pb没有放射性. 由于镭的半衰期远小于铀的半衰期，因此，在自然界可以认为镭在单位时间内生成的量和蜕变的量大体上是平衡的，也可认为铅-210和钋-210同处于平衡状态.

设y(t)是在时刻t每克铅白所含铅-210的数量，y0是制造时间t0每克铅白所含铅-210的数量，r(t)是时刻t每克铅白中的镭-226每分钟蜕变的数量，如λ是铅-210的衰变常数，则油画中铅-210含量应满足

要鉴定的油画若是真品，时间应是300年左右，而镭的半衰期为1600年，故可认为r(t)为常数r，这样式(5.21)变为

方程(5.22)是开始y'+Py=Q的一阶线性方程，它的解是

代入初始条件定出常数C，求得满足初始条件的解是

式(5.23)中y(t)、r可以测定，衰变常数λ=已知，如果y0也已知，则t-t0(画的年代)即可算出，但y0无法知道，目的难以达到，由于问题的关键不在于确定画的确切年代，而是判断究竟是17世纪(距今约300年)的真品还是现代不足20年的赝品，于是在式(5.23)中令t-t0=300(年).

于是 λy0=λye300λ-r(e300λ-1)

如果对某画的颜料测得每分钟的λy=8.5，r=0.8，λ=，代入上式得-0.8≈98050(原子数).

因为铅-210的来源是镭，镭的来源是铀，铀的半衰期比铅-210的半衰期大得多(4.5亿年与22年)，故可用铀的λy代替铅-210的λy(处于平衡状态). 设铀的衰变常数为λu，U0为时刻t0每克矿石含铀-238的原子数，一年是525600分钟，则当λy0≥30000时，

λuU0=λy0·525600)≥30000×525600=3×5.256×109

所以

我们知道1mol的铀是238克，1mol的铀有6.02×1023个原子，故t0时刻矿石中含铀浓度 ×238≈0.04.

就是说，当λy0≥30000时，时刻t0矿石中含轴量超过4%，现在地球上还没有发现含量为4%的铀矿，故可断定该油画是伪造的.

这场伪造名画的悬案，是卡内基·米伦大学的科学家们利用原子核物理的知识和数学方法得到了圆满的解决.

5.2.4.2 地质年代的测定

地质生成十分久远，要测定地质年代，碳定法肯定不行，因为14C的半衰期仅5568年.

人们发现，自然界中有两种元素，在元素周期表中相连: 一种是铷(Rb)，另一种是锶(Sr). 铷有两种: 87Rb具有放射性， 85Rb是稳定的，无放射性. 85Rb通过衰变变成87Sr，而Sr有四种同位素——84Sr，86Sr，87Sr，88Sr全部是稳定的，且86Sr在岩石中一直保持恒定，不能由其他元素生成，这提供了与其他元素比较的基础. 用质谱议可测定两种元素含量的相对比值. 如测定87Rb与86Sr或87Sr与86Sr的比值. 因为86Sr的含量保持恒定，测定87Rb， 86Sr，87Sr，与86Sr的比值，就相当于可以测定87Rb和87Sr的含量.

设在时刻t，87Rb与87Sr在取样岩中每克所含原子分别为y(t)和x(t)，t=0时，y(0) =y0，x(0) =x0，即岩石形成时含原子数. 则有

y(t)=y0e-λt(5.24)

其中λ是87Rb衰变常数. 已知87Rb的半衰期是48.6×109年，故

87Rb衰变产生87Sr，而87Sr不衰变，那么87Rb与87Sr的原子数总量应保持常数，也即

y(t) +x(t) =y0+x0

从而 x(t)=x0+y0(1-e-λt) (5.25)

由式(5.24)有y0=y(t)·eλt，代入式(5.25)得

x(t)=x0+y(t)(eλt-1) (5.26)

当时间t取定时，eλt-1是常数，记m=eλt-1，则

x(t) =my(t) +x0(5.27)

式(5.27)说明，在时间一定的条件下，87Rb与87Sr的含量之间成线性关系. 如果能找到系数 m 也就求得地质年代 t，由m=eλt-1得

又由式(5.26)，x(t)，y(t)可以测定，x0无法测定，因而不能算出地质年代. 但通过(5.27)我们可以取多个样本测定的87Rb、87Sr的含量，利用最小二乘法去求线性关系的系数m，从而算出t. 有人曾经在某地采集包含有长石、白云母、黑云母等矿物岩石，用质谱仪分析测试两种元素含量相对比值如表5-4:

表5-4

用最小二乘法得m=0.01，故

因样品只有三样，计算的误差自然较大.