数学方法的地位与作用

作为重要科学之一门的数学，有它的思想，更有它特有的方法. 数学本身作为方法可应用于不同的学科. 因为数学是用各种符号之间的关系来反映客观世界中各种量之间的逻辑关系的，对概念、定律的表述，对理论的推导，对量和量关系的比较和运算，都经过明确的定义，并且有严格规则的形式化语言，表述简明扼要论理深刻精确. 17世纪以来数学已渗透到各门科学中，20世纪被推向高潮. 在整个力学、物理学、天文学中，数学的应用无处不在，化学、生物学由于广泛应用了数学方法而逐步向精密科学发展. 经济学、地质学、生态学、社会学、心理学乃至法学、历史等科学，也越来越多地应用数学方法，并且出现大量运用数学的边缘科学，像计算经济学、数学生物学、社会统计学等. 电子计算机的出现更极大地开拓了数学方法的适用范围，它使人们不论是研究自然科学、技术科学还是社会科学，不论是作原则上的探讨还是作细节上的处理都有可能运用数学方法. 数学哲学中的所谓方法，指的是数学本身在产生和发展过程中所使用的较为普遍的方法，对这种数学方法作本体论和认识论的分析，是数学哲学的内容之一.

数学方法在科学研究中应用的程度，标志一门科学发展的成熟的程度. 只有运用数学方法，人们才能从定性的经验的描述，提高到定量的分析计算. 同时，数学的定量计算可以弥补观察、实验等环节的不足，为工程技术和决策提供精密可靠的依据. 历来的工程技术是离不开数学的，而现代的科学技术更是如此，如建造原子反应堆、高能加速器、航天飞机、宇宙飞船、航母等精密复杂的综合技术工程，必须进行周密的理论分析和定量计算，否则不仅达不到预期目的，还可能造成不可想象的后果. 数学方法的发展特别是电子计算机的普遍使用，及时、准确、快速地解决了科学技术中浩繁的计算问题，大大加速了科学技术的进步.

理论的数学化，使理论更加简洁清晰、更加严密、更加便于推导和应用，在自然科学中，人们可以借助数学方法、原理、运算和变换法则，考察其运动规律，作出合符逻辑的结论. 像量子力学、相对论中的一些重要结果，都是这样得出的.

数学方法是多种多样的，而任何一种方法的使用，都不是单一的，在常用的方法(如分析法、综合法、数学归纳法、演绎法、反证法与同一法)之下同时辅之以别的数学方法，甚至其他科学的方法. 它们在不同数学分支中的地位也不尽相同. 从数学体系角度看，可分三类:

(1)数学产生和发展的基本方法. 数学体系庞大，分支繁多，每一个分支都离不开归纳和演绎、分析和综合以及在分析基础上的抽象，都离不开这些方法的综合运用. 这是数学在过去、现在和未来都不可缺少的方法.

(2)建立数学体系的方法. 这类方法情况也各不相同，有的方法仅用于建立数学体系(如公理法)，有的方法既可用于建立数学体系，也可用于解决具体的数学问题(如极限法和模型法).

(3)数学各分支中常用的具体方法. 数学方法对各数学分支而言，既存在各分支共有的方法，又有各自特色的方法，这是因为不同的数学方法是区别不同的数学分支的标志.

数学方法是数学思想在数学认识活动中的具体反映和体现，从这个角度来看，数学方法有两个范畴: 一是研究数学、发现数学的方法. 例如普遍采用的公理化方法、统计学方法，或者针对具体问题的各种方法，如筛法、摄动法、递归法等，这些方法逻辑严谨，推断科学，已广泛为其他科学所应用; 二是指采用数学来解决其他学科(包括自然科学)问题的方法. 这方面有三个层次: 最基本的是分析研究对象的数量特征，找出对象所隐藏的规律特质，从而认识对象的本质; 其次，根据对象的数量特征将具体问题转化成数学问题(或已知问题)，再用数学方法求解. 在物理学中，很多问题是借助数学方法获得解决的; 第三，如果问题存在多解，如何进一步寻找出更优解或最优解，或者解答并未达到要求，还须深入.

按照上面把数学当作解决问题的工具的说法，数学方法就是解决问题的方法，就这么简单.

须知，数学的发展过程是不断地否定的过程，通过不断否定就可变未知为已知，或从已有的结论得出新的结论. 因此，数学中任何一个方法都是数学发展中实现否定的具体手段. 反之，如果没有数学方法，数学就不可能进行任何形式的否定，数学也不能发展，更不可能发展到今天的高度.

我们说的“否定”，应该辩证地来理解，辩证法的否定不是一棍子打死，不是清除，而是在原有基础上的改进、改革，方向是提高，目的是发展，朝着严密性、精确性、普适性前进.

本章所谈的数学方法，涉及两个方面: 一是构成数学基本理论本身所提供的方法. 尽管数学分支纷繁，但在使用的方法上，本质上是映射法在不同方面的运用; 二是巧妙地、正确的使用公理、定义、定理及公式，解决问题的方法，也就是对数学自身特定的问题进行分析研究、提出解决问题的方法，而各种数学问题，解决的方法虽然不一样，但有其共同的基本规律. 从事数学活动，考察数学问题，首先要从问题的已知条件和需求目标入手(达到充分理解)，找出问题的已知条件和目标，及与原有知识的联系，并建立从条件到目标的“桥梁”，当“桥梁”不能直接搭架，就必须予以变换(看是否还有隐蔽条件及未用知识)，或把目标变形，力求通过转化(或引入辅助元素)沟通条件与目标的联系，最后使问题得到解决.

[1] 胡作玄.《数学是什么》. 北京: 北京大学出版社，2008: 334.