第一个几何模型

实践是建立“数”的概念的基础，也是建立“形”的概念的基础. 人类最早的几何思想是非常古老的，它是随着人类认识物质形式、比较大小的能力的增长，经过无数次观察潜移默化而产生的，从古代文物质朴的艺术作品、陶器造型刻纹图案，我们就可以领会. 可以说，诸如平面或空间内的点、直线、平行线、垂线、距离、角度、三角形、四边形、圆、球、柱、锥、螺旋线、圆锥线等等的图形，在自然界中比比皆是，经过岁月的反复，就酝酿出上述图形的模糊观念. 从公元前5000年—前3000年，在古代的东方，已经出现了实验几何. 有趣的是，所有的古代文明国家的几何知识，几乎都带有实验性质，几何学实际上是一大堆经验法则，有正确的，有大体正确的，也有相去甚远或错误的.

数字史家认为，约在公元前600年，几何学进入了理性认识阶段.

1.1.3.1 演绎方法进入了数学

数学中引入演绎方法，坚持在命题证明中使用演绎法，发端于希腊早期的爱奥尼亚学派创始人泰勒斯(Thales of Miletus，约前625—前547). 泰勒斯早年经商，到过埃及与巴比伦，被当地兴旺发达的文化所吸引，又积累颇殷，并开始倾心学习和研究天文、几何知识. 他才华横溢，在哲学上主张“万物皆由水构成”的“万物归一”的观点，并结集了一批有识之士，创建了爱奥尼亚学派[3]，后半生主要从事研究与旅游. 他住在埃及时，利用测量知识计算过金字塔的高度，被人们称道. 他积极参与政治，律师、工程、实业活动，成效颇佳. 在数学上，因为发现了一些几何命题并坚持对命题用演绎法证明而称著，声名鹊起，享有政治家、律师、工程师、实业家、哲学家、数学家的声誉. 他所发现的几何命题是:

(1)圆的直径把该圆二等分; (2)等腰三角形两底边相等;(3)两条直线相交，对顶角相等; (4)两三角形如果两角夹一边分别相等，则两三角形全等; (5)半圆上圆周角是直角.

这些成果的意义不在于命题的本身，而在于他使用演绎法这种令人信服的叙述形式，从而把泰勒斯誉为希腊几何学的先驱.继泰勒斯之后三百年间，希腊在数学上取得了诸多光辉的成就.其代表人物有毕达哥拉斯、柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等.他们的共同之处是，坚持数学的抽象化和演绎推理方法，把积累的几何知识同逻辑思想结合起来，为几何的系统化、公理化奠定了基础，这是希腊人独树一帜的数学道路.

1.1.3.2 《几何原本》——第一部用公理法建立的数学著作

约公元前306年，托勒密(Ptoleny I，约公元前367—前283)王称帝，在埃及亚历山大城建立了一座空前宏伟的集博物馆、研究所、大学和图书馆的学术文化中心，希腊数学步入了“黄金时代”，其间的代表人物就是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯.

欧几里得早年求学雅典，深知柏拉图学说，在亚历山大大学就职期间，吸收了希腊早期的数学成果，按逻辑系统对几何学知识进行整理是他最先的一项工作. 他汇编成的《几何原本》是数学史上最光辉的著作. 该书的各种抄本流传1700余年，仅1482年至19世纪末的各种版本就逾千种. 这部著作是公理化方法最早的应用，是流传最广、影响最大的科学书. 人们把她称为数学的《圣经》.

《几何原本》共15卷，实际只13卷(第14，第15两卷系他人补编). 这13卷的主要内容是:

第一卷 直线形(三角形、多边形)，全等定理，毕达哥拉斯定理

第二卷 几何的代数

第三卷 圆的几何

第四卷 圆的内接与外切多边形、某些正多边形作图法

第五卷 一般量的比例理论

第六卷 相似形

第七卷—九卷 几何形式的数论

第十卷 关于无理数的讨论或分类

第十一卷 立体几何 简单体积

第十二卷 用“穷竭”法求面积和体积

第十三卷 五种规则立体图形的作法

总共包含465个命题.

《几何原本》的特点是: 第一，构造了数学史上第一个公理系统，形成了第一个几何模型. 书中有公设5个、公理5个定义116个. 陈述方法是先给出定义与公理，然后一步一步地、条理地推导出有关定理. 欧几里得对公理的选择很出色，能用一小批公理推出几百个定理. 他对平行公理的处理显得特别聪明: 一方面，平行公理必然涉及无限远空间，是人们经验之外的事，但不能省略，于是提出两条直线不能交于有限远的假设，做到了循序渐进. 用公理化思想方法来陈述，标志着数学知识系统化的开端，是科学理论系统的先河，向人们提供了一种认识真理的方法，增强了人们利用理性力量获取成功的信心; 第二，脉络分明，概念清晰，定义明确，证明顺序自然，体现了作者高屋建瓴的意图，尤其是作者用三段论的方式来进行推论，成为逻辑学的始祖; 第三，对不可通约量的研究，给出了边长为1的正方形的对角线长度的非有理数的证明，导致了实数的产生，为数学的进一步发展奠定了基础; 第四，证明了素数的个数是无穷的，这是“无限”概念的前身，是数学视野进一步扩大的微曦.

总之，《几何原本》的伟大意义在于它第一次全面系统地总结了古代至希腊时代的数学知识，建立起了最早的数学演绎体系，是数学发展的里程碑. 它的叙述方式对数学起着规范作用，而且影响着其他科学; 它犹如一座数学知识宝库，是后人发掘的源泉. 在人类文化教育中，欧氏几何一直是基本的组成部分，人们把欧氏几何当作训练思维、培养逻辑推理能力、空间想象力的重要武器，誉之为“脑体操”或“人的智力的体育”. 叙述的逻辑体系成为所有数学的范本.

欧几里得还有其他几部著作，如《已知数》(947个命题)、《图形的分割》(36个命题)、《二次曲线论》以及天文学、音乐和力学方面的书，大多已失传，唯有《几何原本》影响最大，光照千秋.