万有引力·潮汐现象

万有引力定律指出，任何两个物体之间存在由质量引起的相互吸引力，这个力的作用线在两物体质心的连线上，其方向指向彼此质心，其大小与两物体的质量成正比，与两物体的距离平方成反比。潮汐现象是月球对地球上物体具有万有引力相互作用的典型例证。

一、万有引力定律的发现背景

提到万有引力，很多人自然想到苹果砸中牛顿的故事，但是真相是这样吗？牛顿真的这样不费吹灰之力就发现了如此伟大的定律吗？答案显然是否定的。事实上，万有引力定律的发现经历了一个漫长的过程。

自哥白尼建立日心说到开普勒提出行星运动三定律，行星运动的基本规律已被发现。这些发现为进一步从动力学方面考察行星的运动提供了条件。到17世纪后半期，已有一些学者，其中包括著名物理学家胡克，认为天体之间存在着相互作用的引力，行星的运动是由太阳对它们的引力引起的。胡克等人甚至推测到太阳对行星的引力的大小与行星到太阳的距离的平方成反比，但是他们都不能证明行星所做的椭圆运动是平方反比律的结果，对引力大小的数量级也一无所知。1684年，这个问题在英国皇家学会争论颇为激烈，天文学家哈雷和数学家雷恩都不能解决这个疑难，胡克虽然声称他已得解，却拿不出一个公式。同年8月，哈雷带着这个问题来请教牛顿，才知道牛顿在十几年前已经解决了这个问题。在哈雷的敦促下，牛顿于1684年12月写出了《论运动》一文，阐明了他在地面物体动力学和天体力学方面获得的成就。1687年，他又发表了著名的《自然哲学的数学原理》，全面地总结了他的研究成果，他所发现的万有引力定律在这部著作中得到了系统而深刻的论证。

二、万有引力定律的数学表述和物理解析

牛顿的万有引力定律大致表述如下：

任何两个物体之间存在由质量引起的相互吸引力，这个力的作用线在两物体质心的连线上，其大小与两物体的质量成正比，与两物体的距离平方成反比。如果我们分别用m1和m2表示两物体的质量，r表示两者之间的距离，则两物体之间相互吸引的万有引力F的数学表达式为

式（3-1）中G称为万有引力常数，根据CODATA基础物理常数推荐值2014版，其数值为（6．67408±0．00031）×10-11m3·kg-1·s-2。-er表示力的作用线在两物体质心连线上，方向指向彼此。严格地说，式（3-1）是对两质点而言的，因为“两个物体之间的距离”指的是两个质点的距离。如果一个是质点，另一个是有限体，则可把有限体分割成许多质点，并求出它们引力的矢量和，就能得到整个有限体对质点的作用力。另外，万有引力定律本质上可以描述宇宙中任何可视为质点的两物体间的相互吸引作用，当然人与人之间也存在万有引力，但因为人的质量太小，而万有引力常数G的值也很小，因而产生的微小引力是我们感受不到的。另外，在地球上的任何物体都受到地球的万有引力作用，它用来提供物体的重力以及随地球自转的向心力。也就是说重力是万有引力的一个分力，只有在地球两极处，重力才等于万有引力。

三、万有引力定律应用举例——潮汐现象的物理解析

1．问题

牛顿根据哥白尼、伽利略、第谷、开普勒等人的观察记录和他自己对苹果落地的思考提出了万有引力定律，并且进一步明确了重力是地球对地球附近的物体万有引力的分量。为了深入理解万有引力，我们利用万有引力来分析一下居住在海边、河边的人们常见的潮汐现象。

在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道和月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳的质量约为月球质量的2．7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）。

A．太阳引力远大于月球引力

B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的引力大小相等

D．月球对不同区域海水的引力大小有差异

上述问题的答案是选项A和D。选项D无争议，问题在选项A。众所周知，潮汐的成因主要是月球对海水的引力作用，而按照万有引力定律表达式（3-1），万有引力的大小可写为

根据题目给定数据，我们可计算出太阳与月球对相同质量的海水的引力之比

上述结果说明，对相同质量的海水，太阳对它的引力约为月球对它引力的168倍！这明显与观察结论“潮汐的成因是月球对海水的引力作用”不符。怎样解决这个矛盾呢？下面我们来讨论这个问题，并详细地阐述潮汐的历史、潮汐的形成、潮汐力与万有引力的关系。

2．潮汐力建立的背景

千百年来，人们经过长期观测，逐渐发现了潮汐与月球的关系。古希腊人认为“月亮产生潮汐”。我国东汉王充在《论衡》中指出：“涛（即潮，古代通用）之起也，随月盛衰，大小满损不齐同。”唐代窦叔蒙在《海涛志》这部潮汐专著中也指出：“潮汐作涛，必符于月。”他利用古代天文历算方法推算的半日潮周期为12小时25分12秒，与现在通用的半日潮周期相差甚微。

潮汐力（又称引潮力）是怎么产生的，到了17世纪80年代，英国科学家牛顿发现了万有引力定律之后，提出了“潮汐是由于月亮和太阳对海水的吸引力引起”的假设，科学地解释了产生潮汐的原因。地潮、海潮和气潮的原动力都是日、月对地球各处引力不同而引起的，三者之间互有影响。当一个天体甲受到天体乙的引力的影响时，力场在甲面对乙与背向乙的表面的作用有很大差异，这使得甲出现很大应变，甚至会化成碎片。由于自转，地球的每部分都受到太阳和月球引力的影响，因此地球上的观察者看到海洋内的水不断重新分布。

3．潮汐力建立过程与困难

自从牛顿用引潮力解释潮汐运动之后，潮汐动力的基本问题已经清晰，但用牛顿的理论直接研究海洋中的潮汐问题时，遇到了非常复杂的数学困难。为此，必须将海洋所占据的空间区域，理想化为简单的几何形状。

1740年，D．伯努利从静力学平衡的角度出发，假设地球表面都被海洋所覆盖，而且海面在任何时刻都能够保持与重力和引潮力的合力处处垂直。这种理想化了的海洋潮汐，称为平衡潮。伯努利的这种学说，称为平衡潮学说。在此学说的基础上建立起来的一种潮汐理论，为潮汐静力学理论。这是继牛顿之后第一个提出的潮汐理论。

4．知识点的数学描述及物理解析

我们来看下牛顿推导的引潮力方程。

万有引力定律指出对于两个距离为R、质量分别为M和m的天体之间的引力大小为

其中G为万有引力常数。下面解释月球引力如何引起潮汐现象。

图3-1

如图3-1所示，将地、月看成双星，它们绕共同的质心C转动。以C为原点、坐标轴指向恒星的x Cy系为惯性系。另有以地心C′为坐标原点、坐标轴指向恒星的参考系x′C′y′。

对于地表水建立如下理想模型：认为地表水相对于C′系静止，即水随C′系绕C转动。这时，地表水诸体元均以C′C为半径做圆周运动，但各有自己的圆心。处于不同位置的所有单位质元，受到的惯性离心力都是相同的，其绝对值大小等于月球对地心处单位质元的引力，方向都互相平行，与月球对地心单位质元的引力方向相反。或者说因此地表各处单位质量水与地心处单位质量物质所受向心力f C是大小相等、方向相同的。另外，月球对地球上不同位置的单位物质的引力f大小不同，近者大远者小。由于其方向都指向月球，故而彼此方向也不同，如图3-2所示位置的f A，f D，f B，f E。这些引力中的每一个都可分解为两个力：一个分力就是前面提到的向心力f C，使单位质量的水获得各自以C′C为半径做圆周运动的向心加速度，前已述此力与月球作用于地心处单位质量物质的力相等；另一个分力产生潮汐，即所谓引潮力，如图3-2所示的FA，FD，FB，FE。这样，月球引潮力为月球对地表面单位质量引力与月球对地心处单位质量向心力的矢量差。设月球与地心的距离为d，对A点有

图3-2

因为d≫R，故2d-R≈2d，d-R≈d，故

同理，B点的引潮力为

太阳引力同样会引起潮汐现象。根据这道题给出的数据，太阳的引潮力FA日与月球的引潮力FA月相比较为

由此可见，太阳的引潮力还不及月球的一半，所以说潮汐的成因主要是月球对海水引力的作用。通过以上分析，我们明白了小节1中理论结果与实验观测结论矛盾的原因。即太阳（或者月球）对地面上海水的引潮力并不能简单理解为它们之间的万有引力，而是万有引力除去绕日、地质心（或者月、地质心）运动的向心力后的一个分量。这个分量的大小与海水到太阳（或者月球）的距离的3次方成反比，所以计算得到海水受到的太阳引潮力只有月球引潮力的0．422倍。这就完美地解释了“潮汐的成因是月球对海水引力作用”的结论。

5．总结与思考

根据牛顿的著作《自然哲学的数学原理》中的论述，潮汐是由月球、太阳对地球的引力作用而产生的。每天的涨潮和落潮蕴含着巨大的能量，这种能量可以用来发电。在利用潮汐发电的过程中，海水的动能传递给发电机，通过发电机转化为电能。潮汐发电的优点是无污染，如果我们可以清楚地了解潮汐，并且合理地利用它，那肯定是极好的一件事。

四、万有引力遇到的挑战及发展

尽管“万有引力”定律在解释行星运行上取得了成功，但是它在太阳系以外并没有得到实验的验证。另外，多年以来，在自然界呈现的许多异常现象，都使万有引力理论受到质疑。下面列举三个例子来说明。

例1 宇宙加速膨胀。近些年发现的宇宙加速膨胀是“万有引力”无法解释的。根据传统的大爆炸理论，宇宙因为大爆炸而膨胀，宇宙膨胀因为星系间的引力会逐渐减慢。但是1998年科学家通过观测却发现宇宙膨胀不是在减慢，而是在加快。这些发现震动了科学界，科学家不得不人为引进暗能量的概念，认为正是这种神秘暗能量的推动使得宇宙加速膨胀。

例2 万有引力常数异常。万有引力常数是物理学中除光速外研究得最早的物理常数。然而长期以来，万有引力常数G却是测量精度最差的一个物理常数。有科学家声称在不同地点测量到的万有引力常数G各不相同，磁场越强，引力常数越大，地球上万有引力常数在南北两磁极达到最大，是因为隐藏着的另外空间维度导致，万有引力常数受到地球磁场的影响。当然，这一结论还未被证实。

例3 重力异常现象。相同的物体在相同纬度、相同海拔高度的不同地方显示的重量不同，这就是一种重力异常现象。早在1953年法国巴黎大学的科学家阿勒就发现了这样的情况，由于无法用牛顿“万有引力”和爱因斯坦的引力理论加以解释，所以一直被称为“重力异常”之谜。

牛顿的万有引力概念和量化一直持续到20世纪初，直到相对论证明了其在超距作用上的观点站不住脚了之后。在广义相对论中，诞生于德国的物理学家阿尔伯特·爱因斯坦对万有引力进行了全新的解释。爱因斯坦认为：引力实际上是时空中的物质所引起的时空弯曲，就好比一张网上放上一个铁球后，这个铁球会引起网发生的变化一样。爱因斯坦的引力场方程为

爱因斯坦虽然提出了新的引力场方程，但他仍然在他的引力场方程中直接使用了牛顿的引力常数。如果没有这个常数的话，爱因斯坦是无法推导出他的引力场方程来的。仅从这一点就可以看出爱因斯坦关于引力场的理论是对牛顿万有引力理论的拓展，并不是一个完全独立的引力理论。