换角度看数系的推广

在对数系的回顾走到这一站后，让我们回想一下，在学校中我们对数系的认识过程吧。

我们从小学开始就学习数学课，这门课可以称为算术。其中的内容主要是数与数的运算。数主要是有理数，运算是加减乘除四则运算。让我们从运算的角度来看一下数系推广的必要。

对于我们最早接触的自然数来说，加法与乘法运算在这一数系内是畅通无阻的。即任意两个自然数的和与积都仍然是自然数，用不着数系的推广。但当涉及自然数的除法时，就不行了。因为任意两个自然数的商不一定再是自然数了。于是，为了使除法能够行得通，数从自然数推广到了分数。当然，此时的分数还只限于正分数。同样的，当涉及到减法时，即使对自然数来说也是有限制的，在小学开始阶段我们要求两数相减只有大数减小数才有意义。也就是说，任意两个自然数相减是不能畅通的。为了使减法运算能够行得通，数还需要从正数推广到负数。这一步，是小学高年级或初中一年级开始解决的。当完成了这一步后，数已经从自然数推广到了整个有理数。在有理数范围内，任意两个有理数进行加减乘除运算都是畅通无阻的了（当然，做除法时分母不能为零）。事实上，我们前面已经指出过，有理数对于人们的日常实用也已经足够用了。但从数学理论角度而言，单是有理数还不行。从运算角度来看，当我们引入新的乘方、开方运算后，我们可以发现有理数在这两种新的运算下受到了阻碍。当然对于乘方运算，当指数为自然数时，有理数或者自然数在这种运算下，都仍然可以保持本色。但对开方运算则不然。即使对于自然数面对简单的开平方运算时，就已经显得不够用了。如简单的2的平方根就已经不是自然数，也不是有理数了。这是一类新的数，我们称为无理数。于是，从运算角度而言，为了能够使得乘方尤其是开方运算行得通，就需要我们将数从有理数进一步推广到实数范围内。数学中引入无理数还有另一个原因，我们前面提到，有理数在加减乘除运算中有封闭性。但只有当我们把这些运算应用有限次的时候，有理数在基本的四则运算中才是封闭的。当我们试图把它扩展到无穷和与无穷乘积时可能会被打破。即我们无限次地应用这些运算的时候，其结果可能会超越有理数的范围。或者说当我们进入无限的运算时，可以发现有理数的无限运算结果不一定再是有理数。例如，我们所熟悉的数学上极其重要的圆周率π就在许多这类无限的表达式中出现。这点，前面我们已经见到过了。那么，是否推广到实数后，在实数范围内，任意实数都可以进行加、减、乘、除、乘方、开方以及极限运算了呢？还不行！对于零与正实数来说是可以的，但是对于负实数来说，开方运算仍然行不通。因为简单的－1开平方在实数范围内就是没有结果的。因而，从运算角度来说，数为了能够在上述运算中畅行无阻的话，还需要进一步推广。这种新数会在高中阶段引入，它也是下一章我们将要探讨的问题。

上述是从算术的角度，通过研究数的运算，说明了数推广的必要性。下面我们再从代数角度来分析一下这种必要性。

代数是算术的自然发展。对截止到19世纪中叶以前的代数一种简捷、准确的概括是：代数是解方程的学科。代数学和算术的本质区别到底是什么？可以这样回答：代数学的特点是引进了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程来求出未知数的值。虽然算术也有未知数，但未知数就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来进行。其次，在代数中既然要对未知数加以运算，就必须用某种符号把它表示出来。此外，为了寻求普遍规律，已知数和各种运算也应该用符号来表示。在历史上，许多代数的思想和方法在符号使用以前早已形成。但符号的演变和统一却是非常缓慢的，在数学发展史上，系统地引入符号开始于16、17世纪。出现我们所使用的统一标准的符号体系还又经历了一段时间的演变呢。有了系统的符号，就可以列出一般的方程进行求解了。让我们来回顾一下人类求解方程的历史。

一次方程也许过于简单，不值得人们过分注意。但是，对于最简单的一次方程我们还是有一些要说的事情。比如有这样的问题：一个数的2倍等于4，问此数是多少？在自然数范围我们就有答案，是2；换一下，如果一个数的2倍等于5，问此数？在自然数的范围内我们就不再有答案了，但是，若是把数的范围扩大一下，我们承认分数也是数，那么在此范围内我们有答案；5／2。实际上，由于古代人很早就接受了分数做为数，所以这种答案是合情合理的。

在引入分数后，一次方程ax＝b其中a、b为自然数，就总是有解的了。

再比如我们出如下的问题：一个数加上4等于2，问此数？列方程就是x＋4＝2

在正数范围内我们得不到答案。因此在正数范围内我们说这是一个错题，或者说这是没有意义的。实际上，古代许多民族对此的回答正是如此。由于人们普遍不承认负数是数，所以这种情况下，就采取回避的态度，否认这类问题的合理性，或者答案的合理性。当人们遇到类似情况时，就说无解。

这种境况持续了非常长的时间，甚至到了16世纪，当解方程遇到负解时，人们还通常舍去。

在此情况下，对于一次方程ax＋b＝0（a、b为自然数）的解的情况我们就会根据我们允许数的范围而有如下的说法：在自然数范围内只有当什么什么条件时有解，其他情况下无解；在分数范围内，只有当什么什么条件时，有解，其他情况下无解。你看，多么复杂！但是如果我们允许数的范围取有理数的话，那么我们就可以说只要a不为零，那么此方程总有一解。结论多么漂亮！凭此，我们也有理由接受负数的观念。

问题变成二次方程后，情况变得更加复杂了。

对于二次方程的解法，早在很早以前人类就得到了它的一般解法。

如古巴比伦人早在三千年前，解决了一类非常典型的问题：两数互为倒数，其和或差等于已知数，求这两数。古巴比伦人给出的解法除了进位制不同之外，和二次方程的求根公式完全一致。另一种常见的类型是已知两数的和与两数的积，求两数。对这些问题的解答说明古巴比伦人已经掌握了二次方程的求根公式。但是他们没有认识负数，因此不会想到数的平方根有两个（一正一负）。他们对二次方程总是给出一个根。当时人们大约没有想到会有两个答案，或者人们对能够找到一个答案就很满足了，于是对其他可能的解就不再放在心上。

再如古埃及人曾用试位法解出过简单的二次方程。古希腊人通过几何方法也给出了类似的二次方程的求根公式。后来著名的丢番图在问题的求解中表现得更加突出。对于正有理根的情况他是掌握了二次方程的求根公式。不过他始终只取一根，如果有两个正根，他就取较大的一个。不管答案有几个，他仅满足于一个答案。他完全排斥负数解答，他认为像4＝4x＋20这样的式子是荒谬的，无理数也不取，他说是不合理的，对于答案是零的也是弃之不顾。反过来，他去考虑怎样改变系数，才使得答案“合理”（即为有理数）。由于鞋子不合适，不是改变鞋子的尺寸，却要去修剪自己的脚。这种做法真有些削足适履的味道了。二次方程的公式解法，在中国记载在书中的，以《周髀算经》赵爽的注《勾股圆方图》为最早。在《九章算术》中有许多二次方程的问题，其中已经有了开平方、开立方的法则。这是世界上关于多位数开平方、开立方法则的最早记载。除了符号、格式不同和某些步骤稍有差异之外，和现在的开方法一样，并且可以推广用于解二次方程，后来更发展为高次方程的数值解法。《九章算术》原书的解法及刘徽的解法和二次方程的一般求根公式在形式上均有差异，不过可以认为他们实质上已掌握了求根公式。

在古印度，成书于公元499年的《阿耶波多历数书》表明作者阿耶波多已掌握了一般二次方程的解法。原文没有符号，更没有公式，完全是用语言来表达的。古代印度成就最大的数学家婆什迦罗在解二次方程有两正数解时，都保留。在他的著作中承认无理数，但对它的使用是很有限的。一般说来，他所列举的方程，其系数都是有理数，而根又往往是正整数，只是对最简二次方程x2＝q，q不是完全平方数时才使用无理数，对其他情况则放弃。他称无理根为“聋根”或“哑根”。这多半是受希腊人的影响。希腊人称无理数为“无声的”或“无法表达的”数。

在阿拉伯则以花拉子密的《代数学》为代表。此书译成拉丁文后，对欧洲产生了巨大的影响。与五个世纪前的丢番图相比，他有两点是退步的：1.所处理的问题远较简单；2.没有使用任何符号，连略字记号也没有，甚至数字也是用文字来表达的。尽管如此，《代数学》还是比丢番图的书更接近现代的初等代数。关键处是这本书讲的是一般方法，可以普遍使用，而丢番图一个题一个解法，很难找出其共同点。

《代数学》只讲方程特别是二次方程的简单可行的基本解法。系统而又详尽，易学易懂，读者很快就能掌握其中要领，因此流传久远。他给出6类类型的一、二次方程的解法与几何证明。六种类型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形。随后，他指出，任何二次方程都可通过“还原”与“对消”这两大步骤化为6种标准形式之一。还原其实就是移项，或两端同加一项。对消就是合并同类项或约去两端相同的项。他的讲解是详尽和系统的，对于每一个例子都细致地指明配平方的步骤，使读者能很容易掌握其解法。在这种意义上，他被冠以“代数学之父”的称号。

从其烦琐的叙述中，我们从另一方面又一次意识到引入负数的必要性。由于当时人们还不能够接受负数，因而在对方程进行研究时，只能限于正系数，这就带来许多不必要的复杂。这与当时人们对结论的证明只能采用几何方法也有关。由于系数的几何意义对应于边长，这就使得系数不可能为负。从这一点上，又可证实代数从几何中独立出来的重大意义。

回顾人类解二次方程的历史时，我们需要指出两点。

第一，这里我们说古代人掌握了二次方程的解法，是指他们有了求解这类方程的思想，并非指古代人就有了我们现在形式的求根公式。事实上，当时人们的解法大都限于使用语言，因为系统的符号的使用正如前面已经提到的，是很晚的事情。

第二，当我们从数系的角度来看时会惊讶地发现古代人并没有在解方程的过程中自然地引入新的数。如对负数根，古代人采取了完全回避的态度。他们都只承认方程的正根，因为那时人们还没有负数。在古代只有极少的例外。如阿布尔·瓦发在他的《算术应用书》中，解二次方程时应用了负数，这是10世纪伊斯兰国家唯一应用负数的文献。

对无理根，如当解二次方程的时候会出现一类x2－2＝0的问题。在有理数范围内没有任何数能够满足这一方程。如何解决这一问题呢？

一种方法是，用求近似解的办法，不求精确解，只要求得的解实际上够用就行了。古代中国就是用的这种办法，即求不尽根。另一种就是回避这种问题。不考虑这一类问题。采取鸵鸟政策：避而不见，或者说是掩耳盗铃。再一种解决的办法是古希腊人所采用的，是用几何的办法解决问题。我们现代人使用了更加简单的办法——就是承认无理数的存在。但是，令人遗憾的是，古代人却没有采用这种解决方法。

我们从现代的观点来看，为了解方程的需要，有必要对数系进行推广。

首先，我们可以引入负数。这样，一方面方程的系数都可正可负，避免了古代人烦琐复杂的讨论。另一方面，使得更多的方程有解了。

其次，我们可以引入无理数，使得部分方程具有精确的理论解。

在做出这两步扩充后，数系扩展到了实数系。在实数范围内，解方程是否足够了呢？仍然不够用。如简单的在实数内就是没有解的。从解代数方程的角度来说，看似完美的实数系还有着不完美之处。事实上，数系的进一步扩充正是源于解方程的需要。