实数的分类与性质

对于现在我们所得到的实数集，我们可以给出几种不同的分类方式。

分类一：实数划分为正实数、负实数、零。

在这种分类中，需要特别指明的是：零既非正数，又非负数。

分类二：实数可以划分为有理数与无理数。进一步，有理数包括整数与分数。整数包括正整数（自然数）、零、负整数。

这是最常使用的一种分类方式。

分类三：实数可按小数进行分类。按这种分类方式，实数可分为有限小数、无限循环小数与无限不循环小数。前两者对应于有理数，而后者对应于无理数。

分类四：实数可以按连分数划分。可以证明：每一简单连分数表示一个实数。反之，每一实数基本上能够唯一地表成简单连分数。每一无理数只有一种唯一的方法表成无限简单连分数。任一有理数有且仅有两种方法表成简单有限连分数。这里的原因在于如1／2又可以表成所造成的，显然这两者都是渐近分数，但是两者表示不同。除此之外，就不再有其他表示了。

分类五：实数可以划分为代数数与超越数。

在这种分类中我们想指出几点：

其一，有理数包含在代数数中，实际上有理数即一次代数数。可见，有理数只是代数数中很小的一部分。

其二，属于代数数的无理数与有理数之间有着许多相似的性质。事实上，许多有理数具有的性质都可以推广到代数数上。

而代数数与超越数之间则有着更大的区别。这些区别随着人们对代数数、超越数性质认识的加深，从某种角度来看，可以说超越数是比代数数更加无理的数。

另外，需要指明一点，代数数与超越数的划分可以在实数范围内进行。但一般的是在更大的一类数集，即下一章中要介绍的复数集中进行的。

对于我们现在已有的实数集与它的子集来说，我们想进一步了解一下它们的性质。

关于实数集及它的子集，我们知道：

第一，对于两个任意的实数a和b，我们总能说出孰大孰小。再者，若a大于b，b大于c，那么a也就大于c。对此，我们说实数集是有序的。对于有理数集与无理数集来说，这一性质也是成立的。

第二，实数集中既没有第一数也没有最末一数：不论一个多么大的正实数，仍然还有一个比它更大；不论一个多么小的负数，也还有一个比它更小。这一点，我们的说法是实域由负无限大伸展到正无限大。即在实数集中不存在最小数，也不存在最大数。这样的性质在其他集合中又如何呢？可以发现，在整个有理数集或无理数集中仍然成立，但对自然数来说就不再成立了。即自然数集中存在最小数。这就是自然数集具有的独特性质之一，由此才引出了最小数原理或数学归纳法。

第三，实数集合是连续的。这一性质对于有理数集、无理数集或整数集、自然数集就不再是成立的。当然实数集还是处处稠密的。任何两个实数不论其区间是多么小，中间总可以插入无限个其他实数。这一性质对于有理数集、无理数集也仍然是成立的。但对整数集与自然数集却不再成立了。

我们再来看一下实数关于数的运算具有的性质。先来看一下实数的加法运算具有什么性质：

1）任意两个实数的和仍然是实数。这一性质被称为实数关于加法的封闭性。显然这一性质对于有理数集、自然数集是成立的。但对无理数集就不成立。

2）实数加法具有交换性。即a＋b＝b＋a。

3）实数加法具有结合性。即（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

4）存在零元素。即存在唯一一个数，任意数加上它以后数值不变。这个唯一的数就是独特的数零。它具有性质a＋0＝0＋a。这样的性质在有理数集、整数集或自然数集中仍然保持，但对于无理数集而言就不存在这种零元素。

5）任何实数存在相反数。即如果a是任意实数，则有唯一确定的实数（称为它的相反数，并记为－a），具有性质：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0

再来看看实数关于乘法运算具有的性质：

1）任意两个实数的积仍然是实数。这一性质被称为实数关于乘法的封闭性。

2）实数乘法具有交换性。即a×b＝b×a

3）实数乘法具有结合性。即（a×b）×c＝a×（b×c）

4）在实数系内存在单位元素，即存在唯一一个数（称为一，并记为1），具有性质a×1＝1×a＝a。这样的性质在有理数系、整数系或自然数系中仍然保持，但在无理数系内就不存在这种单位元素。

5）任何非零实数具有倒数。即如果a是任意非零实数，则有唯一一个实数（称为a的倒数，并记为1／a，或a－1），使得aa－1＝a－1a＝1

6）任意两个非零实数的积不可能为零，即如果a≠0b≠0，则ab≠0

7）消去性，即如果ax＝ay（a≠0），则x＝y

不要因为这些性质是显然的，而觉得我们指出它们是多此一举。完全不是这样。这些看似简单的性质实际上决定了不同数集之间根本性的差别。