最后一位全才

在科学的任何一门分支里，都存在着两种不同形式的天才，一种具有全新创造的才能，另一种善于发现不同事物之间的内在联系。希尔伯特无疑属于后一类，他身上具备一种深邃的不可抗拒的洞察力，因此在许多领域他都取得了了不起的成就，在数学方面至少包括不变量理论、代数数域、超越数、解析数论、几何基础、泛函分析、变分法和积分方程论。他用抽象方法研究不变量理论，震惊了挑剔的前辈同胞克罗内克。“这不是数学，是神学。”正是在这个意义上，他终结了不变量理论，随后被不可抗拒的力量—数论之美吸引。他给予华林问题以肯定的定性回答，留待哈代学派不断完善，也给了华罗庚崭露头角的机会。

哥廷根数学研究所

正因为如此，希尔伯特才敢于在巴黎的那次数学家大会上揭开深藏于未来的帷幕。其实，不满40岁的希尔伯特那时候还没有成为数学世界唯一的执牛耳者，数学世界还不是一个圆，而是一个椭圆，它的两个中心（焦点）的另一头是法国人亨利·庞加莱，作为那一届国际数学家大会的主持人，庞加莱向年轻的德国同行发出了邀请。此前希尔伯特刚刚出版了《几何基础》（1899）。这是他公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系，研究整个演绎系统的逻辑结构。

后来，希尔伯特又着手研究数学基础问题，提出了论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他试图从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，建立相应的逻辑系统，进而研究这个系统的逻辑性质，因此创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而在1930年，年轻的奥地利数理逻辑学家哥德尔获得了否定的结果。希尔伯特的数学梦想被他的不完备性定理粉碎，正如爱因斯坦的物理梦想被海森堡的测不准原理粉碎。

在希尔伯特60岁生日晚会的来宾合影中，我们可以发现前面两排聚集了十多位年轻数学家的夫人。那时的哥廷根已成为世界的数学中心，这一点从战争期间散布到美国的希尔伯特弟子的所作所为也可见一斑。赫尔曼·外尔在新泽西参与组建了普林斯顿高等研究院，理查德·库朗则在纽约创立了库朗研究所。爱米·诺特是抽象代数的奠基人，她虽然不是希尔伯特的嫡传弟子，但他却顶住传统的压力，延聘了这位后来被认为是史上最伟大的女数学家，还留下一句名言，“这是大学，不是澡堂”。

而在20世纪的下半叶，随着数学分工的逐渐变细，人们才真正意识到，希尔伯特是历史上最后一位数学全才。在新千年来临之际，已经没有人能够就21世纪整个数学的发展指出方向，不得已，国际数学家联盟组织了三十多位顶尖数学家，集体撰写了《数学：前沿和展望》一书，以此满足或敷衍人们对再现希尔伯特演说的期盼心理。与此同时，意大利数学家、伽利略奖和皮亚诺奖获得者皮·奥迪弗雷迪出版了《20世纪的数学》一书，阐述了20世纪取得重大突破的三十个数学问题，其中纯粹数学、应用数学和与计算机相关的数学各占二分之一、三分之一和六分之一，其中有不少与希尔伯特提出的问题有关。

可是，在因为两次世界大战“大发横财”而成为世界数学中心的美国，《时代》周刊评选出来的20世纪20位科学人物中却没有希尔伯特。唯一入选的数学家是哥德尔，这位在今日捷克布尔诺出生的逻辑天才也是在战争年代移居新大陆，以他名字命名的著名定理说的是，在任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理不能证明其成立或不成立的命题，也就是说，数学的基本公理有可能出现矛盾。哥德尔的不完备性理论摧毁了希尔伯特设想过的证明数学的内部相容性的全部希望，也使得某些广泛流行的哲学体系被废弃或翻新。显然，哥德尔远非希尔伯特那样的数学全才，但他却凭借着浓重的哲学意味在数学以外的世界大放光彩。当然，希尔伯特遭冷落还存在着别的因素，他的成就均匀地分布在两个世纪，而哥德尔的整个生命都属于20世纪— 一个技术主义泛滥的世纪。

如今，希尔伯特的传记（《希尔伯特—数学世界的亚历山大》）已经由两位数学史专家译成中文并出版了。但是，由一位非数学专业出身的女士来写一部数学家的传记，只能说明数学家们或者忙于自己的专业事务，或者文笔不够流畅易懂。英国数学家G. H.哈代曾有过所谓“忧郁的经历”，指的就是只谈论数学而不是证明定理。记得20世纪90年代初，精神依然矍铄的陈省身先生（他创立的伯克利数学研究所与普林斯顿高等研究院、库朗研究所在美国数学上三足鼎立）来杭州做学术报告，他演讲的题目《数学与物理学》颇为诱人，吸引了不少人文学科的听众，可是他还没开口说上几分钟，就开始在黑板上写深奥的数学公式，他解释说自己三句话不离本行，显而易见，那不是大部分听众原先想象的一次演说。

希尔伯特之墓（作者摄于哥廷根）

如果要我指出不足的话，这部传记对两次大战前夕和战争期间主人公及其周围人物的心态描述得不够。既然有那么多优秀的文学作品和电影能够对普通人的生命倾注关怀和爱，那么对于数学家们来说也应该可以做到，因为他们至少也是一些普通人。2010年奥斯卡奖的大赢家《美丽心灵》就是这方面的典范，这部电影根据德国出生的乌兹别克裔美国记者西尔维娅·娜萨撰写的同名传记改编，此传记曾获普利策奖提名，主人公是一位患精神病的数学家（约翰·纳什），他试图解释竞争者之间的威胁和行动的动力学，在对策论领域取得了开创性的成果。2015年，数学家图灵和物理学家霍金的传记影片《模仿游戏》和《万物理论》也分别摘取了奥斯卡最佳改编剧本奖和最佳男主角奖。

虽然作为哥廷根少数几个雅利安数学家之一，希尔伯特本人并没有受到特别的冲击或迫害（他只是因为有个大卫的名字而受到调查），可是，随着身边的同事和弟子一个个离去，哥廷根和巴黎之间的竞争已成为往昔，德国和法国失去了整整一代数学家，希尔伯特内心的痛楚和迷惘绝不亚于那些失去亲人的犹太人。他的暮年是在纳粹分子的鼓噪声中孤寂地度过，幸好他没有活到那一天，他的故乡哥尼斯堡落入了俄国人之手。

现在，距离希尔伯特初到哥廷根已经有一个多世纪，虽然德国数学重又回到国际领先的位置，却没有再现高斯时代或希尔伯特时代的辉煌（迄今只有一位德国人获得象征最高荣誉的菲尔兹奖）。即使在世界的数学中心美国，数学家的精华也是分散在东西海岸的若干所大学里。随着希尔伯特的离去，我们送走的不仅是一个时代，而是所有以某个人为中心的时代，这是无法以人类的意志为转移的。无论如何，希尔伯特时代的哥廷根数学学派在我看来都像是提香时代的威尼斯画派（他那张戴着巴拿马帽的标准头像则常常让我想起拉斐尔的自画像），那种作坊式和家长式的训练分别属于数学史和艺术史上的鼎盛时代，也是永不再现的时代。虽然那个时代结束了，可是它的智慧之光却会永远照耀着我们。

2002年1月，杭州

2015年2月，修改