1912年秋，玻尔开始在哥本哈根大学任教。当时，原来教过玻尔的克里斯蒂安森教授已经退休，由原任讲师的克努森（M. Knudsen，1871—1949）接替教授席位，讲师的位置则暂时空缺。玻尔作为克努森教授的助教，除了给非物理系的学生讲授物理学课程以及在实验室工作以外，还开了一门选修课程《热力学的力学基础》。
1913年初，玻尔正式被任命为讲师。
这一学期，玻尔像每一个开始在大学任教的年轻教师一样，忙得不可开交，每天骑着自行车匆匆赶到学校，由于实验室的工作繁忙、琐碎，他得干到很晚才能骑车往家里赶。他在回忆这段生活时说：
当我刚成为克努森教授的助手后不久，我忙得不可开交……整天在实验室忙乎，在很低的气压下测试各种气体的摩擦力……一点空闲时间也没有，于是我去找克努森，说我想要……喏，后来我和妻子到乡下去，我们写了一篇很长的论文，讨论各种……
这篇“很长”的论文，是想将他在8月份写的《论运动带电粒子在通过物质时减速理论》中的一些研究继续讨论下去。玻尔本想借助在研究粒子通过物质的减速，弄清楚原子内电子轨道的大小和频率，但却遇到了困难。他在1912年11月4日写给卢瑟福的信中写道：
我还没有能够完成我关于原子的论文并把它寄给你，十分抱歉。但是，我一直有那么多的课要讲和实验室的工作要干，所以剩下的时间就很少了。我已经在色散问题方面取得了一些小的进展。……但是，也正是在这一计算中，我遇到了起源于所考虑体系不稳定性的严重困难，这种困难使我无法将计算进行到所希望的程度。
卢瑟福试图安慰玻尔，在回信中他写道：“我并不认为你迫切需要发表关于原子构造的第二篇论文，因为我认为可能没有任何人在做这方面的工作。我希望你能成功地克服困难。……请向玻尔夫人致亲切问候，希望你们安好。”
玻尔推着自行车与妻子走在哥本哈根街上。
1912年12月23日，玻尔在看了英国物理学家尼科耳森（John Nicholson，1881—1955）发表于《皇家天文学报》上的论文后，忍不住在给弟弟哈拉德的圣诞贺卡上写上几句。他先写了一句贺词“玛格丽特和我祝你圣诞快乐”，然后立即转向尼科耳森的论文。他认为尼科耳森的理论所关心的是正在辐射的原子，即原子正在发光时的状态，而他自己的理论只考虑了“最后状态或经典状态”——其实也就是“稳定态”。
到1913年1月31日，玻尔在给卢瑟福的信中又一次提到了尼科耳森的理论，他写道：“尼科耳森的理论给出了一些与我的理论明显不同的结果，开始我认为我们两者中一定有一个错了。现在我改变了看法。”
这种改变了的看法，与他给弟弟信中所说的差不多，这时玻尔仍然没有把光谱公式和他的原子构造理论联系到一起。在这封给卢瑟福的信中，他谈了许多尼科耳森的工作，谈到了光谱线，但就是没有发生联想。
在2月7日玻尔写给赫维西的信中，他向赫维西简短地描述了关于原子结构和分子结构的基础概念，信中仍然只字不提光谱和光谱公式。
但是在2月7日以后，奇迹出现了！2月7日以后的某一天，玻尔知道了巴耳末公式。于是，蕴藏已久的思索、计算、基础概念、困顿……一下子集结成蔚为壮观的瀑布般的思想流，轰然“飞流直下三千尺”，真是使得人们“疑是银河落九天”！我们这儿必须介绍一下“光谱”和“巴耳末公式”了，否则有一些读者会坠入五里云雾之中。
谈光谱，我们还得从牛顿谈起。当牛顿在他那著名的光的分解实验中，让太阳光通过一只三棱镜时，他发现太阳光被三棱镜分解成7种颜色。这7种颜色在他看来是连续的，实际上这是因为他的仪器的分辨率太差，看不到太阳光中分立的黑线，人们后来把这7种颜色称为“连续光谱”（continuous spectrum）。由于仪器的限制，光谱的研究长期没有进展，直到1859年德国科学家本生（R. W. Bunsen，1811—1899）重复了牛顿实验之后，才取得新的进展。本生对牛顿的实验做了重大改进，他用浸了食盐液的布条燃烧时发射的光代替牛顿使用的太阳光。结果本生在实验时却看不见牛顿观察到的彩色的连续光谱，看到的是很少几条亮线，其中有一条是明亮的黄线。
实验室得到的氢光谱图清晰地显示出各条不同的谱线。
本生的实验立即引起基尔霍夫的注意。他们在多次实验之后得出结论：太阳光包含有所有波长（即各种颜色）的可见光，而实验室的光源在燃烧某种元素，所以光谱中只出现特有的光谱颜色，如本生实验中的食盐中的钠元素燃烧时，只显示明亮的黄色，这黄色光谱对应于一个单一的特定的波长，称为钠的“特征光谱”。实验证明，每种元素都有它自己的特征光谱，这些特征光谱好像是各种元素的“身份证”或“名片”。当然，其他元素的特征光谱要比钠的光谱复杂得多，它们有时由为数很多的光谱线构成。例如，氢的特征光谱是由4条可见光（红、蓝、两条紫线，即图中4条标有H的线）构成。比氢光谱更复杂的光谱还很多。
到了19世纪末，光谱学已经积累了大量实验数据，成了一门精确度极高、实用性很强的实验科学。例如，1868年8月18日，法国天文学家詹森（C. J. Janssen，1824—1907）在赴印度观察日全食时，利用分光镜观察日珥，发现太阳喷射出来的炽热气体的光谱中有一条黄色明线，和钠光谱黄线的位置不同，他称之为D线，但没确定是由什么物质产生的。过了不久，英国天文学家洛克耶（J. N. Lockyer，1836—1920）在进一步研究詹森的实验后，确认这条谱线是不属于地球上任何已知元素的新谱线，他把这条谱线所代表的新元素称为“helium”，意为“太阳上的元素”，它来自希腊文“太阳”（helios）一词。后来，这个元素果真被拉姆赛（W. Ramasay，1852—1916）在地球上发现，于是科学家就把这元素称为helium，译为中文是氦（He）。氦元素发现的过程，成了化学元素发现史上的一段趣话。
由于光谱学的成就不凡，人们自然会对光谱线所对应的波长的数据有了兴趣，企求从这些神秘的数据中寻找出一种经验的规律。一位年近花甲的数学老师是这些人中的一个。令人惊讶的是他竟然奇迹般地得出了一个数学公式。
这位数学老师叫巴耳末（J. J. Balmer，1825—1898），是瑞士人。他在1849年获数学博士学位以后，在巴塞尔女子学校任教，过着平静的生活。到了快60岁时，他突然对光谱中出现的数据发生了兴趣，尤其是氢光谱中的4条表示波长的光谱线，他希望从这些似乎毫无关联的数据中，寻找出一种数学上的规则。
巴耳末从氢光谱着手。当时知道在可见光里氢的4条谱线的波长分别是6536埃、4861埃、4341埃和4102埃，巴耳末在思索的是：这些数据之间有没有什么隐蔽的数学规则呢？
我们趁他思索时，再稍微介绍一下这位多少有点神秘的数学老师。关于他，我们知道的并不多，只知道他总共发表了三篇物理学论文，其中前两篇完成于60岁，并使他不朽，物理学教材或科学史书上，人们总要提到他；他的第三篇论文发表于72岁，似乎没引起任何人的兴趣。有一篇1921年发表于德国杂志上的文章提到了巴耳末，文章说：“巴耳末既不是一位有灵感的数学家，也不是一位聪明的实验家，他只是像建筑师一样的数学老师。对他来说，整个世界、宇宙、艺术，都具有伟大的统一的和谐，而他生命的目的就是从数字上把握这种和谐。”
好，我们再回到巴耳末的思索之中。当时科学家们认为，光谱线的规律和声学中“基音”与“和音”的关系有相似之处。循着这个方向，巴耳末作了许多试探之后，居然在1885年得到现在人们熟知的巴耳末公式：
（式中R为里德伯常数，其值为1.0968×107，λ为光的波长。）当n＝3，4，5，6时，就可以得到氢的4个光谱！
1884年巴耳末把这个经验公式公之于众。巴耳末公式公布后，人们对这一个组合式的数字规律发生了极大的兴趣，于是许多科学家开始寻求另外一些光谱的经验公式，从而形成一次高潮。到了世纪之交，人们已经积累了相当丰富和相当精确的光谱学资料，这些资料形成了“光谱分析”这门高尖技术，用它可以对各种物质进行精密的分析和鉴定。至今，它仍然是一门十分重要的技术。
但非常遗憾的是，光谱学的分析虽然高度精密，但它所具有的规律却一直是纯经验的规律，在理论上一直找不到一个像样的理论来解释这些规律。如果像开尔文勋爵说的物理学晴朗的上空有两朵乌云，那么在光谱学这一小块天地的上空，简直可以说乌云密布，阳光一直穿不过去。
现在，玻尔在不经意的情况下，居然为巴耳末公式找到了真正的物理解释。这正是：“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫！”
真正的伟大突破即将来临！
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