刘徽的数学成就

第三节　刘徽的数学成就

一、刘徽生平

刘徽是中国古代最伟大的数学家之一。

他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年。刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家。

刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览。

观阴阳之割裂，总算术之根源。探赜之暇，悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想。《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作。

刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题。他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今。

从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模。

二、《九章算术注》

此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献。

1．算术

（1）十进分数

刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入。刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值。

刘徽用其来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细。”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，其中a₁，a₂，…，a_n是0至9之间的一位整数。

（2）齐同术

《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善。他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”。前句话的意思是，一个分数用同一个（非零）数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变。刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变。另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题。

2．代数

（1）对正负数的认识

《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及。刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”就是说以正负数表示得失相反的量。他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大。另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数。这两种方法，对后世数学都有深远影响。

（2）对线性方程组解法的改进

《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦。刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法。

这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算。刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也。”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加。刘徽的工作，大大简化了线性方程组解法。

（3）方程理论的初步总结

刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论。刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组。他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程。程的个数必须与所求物的个数一致。诸程并列，恰成一方形，所以叫方程。”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念。定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件。若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例。刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”。

对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解。很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了。不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的。

3．几何

（1）割圆术

刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的。刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值。他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积。他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法——割圆术。具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积。

割圆术的创立是数学史上的一件大事。古希腊的阿基米德也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些。刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的。

（2）几何定理的证明

刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理。

刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖月需，阳马居二，鳖月需居一，不易之率也”。即“过对角面分割堑堵为一个阳马和一个鳖月需，则阳马与鳖月需的体积之比恒为二比一。”为叙述方便，我们称之为阳马定理。刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式。另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数。这一原理可称为“刘徽原理”。在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积＝圆面积∶外切正方形面积＝π∶4。书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的。

（3）对球体积的研究

刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式。他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿。于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切。刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“牟合方盖”。根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体体积，整个问题就迎刃而解了。刘徽没有成功，只好“以俟能言者”。但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础。

4．刘徽的极限观念

从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想。他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果。这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展。

例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积。

刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需要，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度。刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的。他在证明有关体积的定理（如阳马定理）时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算。

三、刘徽的重差术

重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离。刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著——《海岛算经》（即《重差》）。他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差。”全书只有九道题，但很有代表性。

例如第一题（译为今文）：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐。从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶。从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶。问岛高和岛离杆的距离各是多少？

四、刘徽的学术思想

刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的。概括起来，他的学术思想有如下特点。

1．富于批判精神。刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见。他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种据守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失。”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》。

2．注意寻求数学内部的联系。刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想。例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现。

3．注意把数学的逻辑性和直观性结合起来。刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用。他认为只有这样才能使数学既简又明。实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出明确定义。他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密。例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的。另一方面，刘徽也很注意数学的直观。他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法（刘徽称特定的立体模型为棋）。有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法。总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，所以他的理论明白易懂。