问题解决对数学的意义

第三节　问题解决对数学的意义

一、教问题解决的重要性

目前，国际数学教育界普遍认为，问题解决应作为一种重要的数学教学活动，这种观点主要有两个方面的依据。第一，问题和问题解决是学习数学的重要组成部分，我们可以把问题解决作为一种基本的数学活动，而其他的一些数学活动，诸如概括、抽象、理论构建和概念形成都可以建立在问题解决的基础之上。我们的数学问题，可以来自实际的各个方面，从日常生活中的数值计算到工业生产中的实际问题，从各种神秘的魔术、游戏到高精尖领域的实际问题，通过这些问题的研究可以发挥和施展数学的魔力，可以引出重要的数学概念及重要的数学思想和方法，可以发现数学结论，促成理论的形成。因此，通过问题解决的教学活动，不仅可以传授数学知识，而且可以引发学生学习数学的兴趣，改变学生对数学的态度，使学生对数学产生极高的信念。第二，教学生解决问题能很好地培养学生的思维方法和分析问题、解决问题的能力，从而增加学生在各种场合进行决策判断和应变的能力。我们的学生最终都要走向社会，今后他们所面临的新情况、新问题恐怕更多的是非数学领域的，因而要在缺乏现成模式可以套用的情况下寻求问题的解决，这就要求人们会理性地思考和有目的地思考，包括弄清楚要解决的问题，收集有关的信息。

分析所得信息，提出预期的结果，评价预期的结果。教数学历来有一个目的，就是要教会学生理性地思考和有目的地思考。由于在解决数学问题的过程中，辩证思维和逻辑思维能充分体现，分析、推理、否定以及演绎、归纳、类比等重要的思维方法能充分展现，猜想和逻辑证明能充分兼顾，收集信息、分析信息、在现有知识之上作出推断等问题解决的重要阶段能反复经历，因此通过问题解决的教学可以从多侧面给学生提供问题解决的手段、背景，以至思维方式，从而十分有利于学生解决问题的能力的培养，而这种能力在个体中的正迁移作用，正是数学问题解决教学的最后归宿。

二、关于问题解决的研究成果对教学的意义

问题解决的重要性得到了中外数学教育界的普遍重视，因此，问题解决作为一个研究课题，已经引起了众多研究群体的浓厚兴趣，人们就问题解决所发表的意见、观点、研究结果足以填满厚厚的几大卷书。然而，纵观这些研究，不难发现，有不少研究所关注的问题和所进行的研究似乎与课堂教学相距甚远，这样的研究对教学的直接指导意义似乎并不明显。当然，在众多的研究中，也有不少对问题解决的课堂教学问题进行了研究。然而，研究者们的研究兴趣是如此广泛以至于许多教师为此感觉到了问题：如何从为数众多的研究中吸取对他们的数学教学最为有用的东西？下面从人们对问题解决的能力及其培养这个教学中的中心问题的研究作些介绍。

1．成功的问题解决者的重要特征

过去几十年来，人们对问题解决的研究，已经导致了对成功的问题解决者的许多特征的更多了解，并获得了许多有益的结论。概要地说，有下面几点：学生在问题解决中成功与否看来受到他们的认知发展、学习数学的经验以及对数学的态度等方面的影响；成功的问题解决者有许多共同的特征，但他们探讨问题的手段、方法、风格可能有所不同；通过接受适当的指导，特别是在问题解决过程中遵循波利亚的问题解决四阶段（理解问题，拟定计划，实施计划，回顾解答）原则，学生解决问题的效率会有明显提高。

关于问题解决的能力同其他认知能力（如空间认识能力）的关系，曾有过不少研究，但这方面的研究所获得的确定结论很少。一般认为，问题解决能力并不是一种单一的个体特征或品质，不同种类的问题往往需要有不同能力的综合，但计算能力似乎与低年级学生的问题解决能力有较强的联系，而对高年级学生，这种联系则不明显。

成功的问题解决者的特征是随着研究方法的改进而不断被揭示的，特别是通过把成功的问题解决者与不成功的问题解决者的行为、思维过程和解题策略进行比较，已经得出了一些颇具启发意义的结果。就行为表现而言，成功的问题解决者同蹩脚的问题解决者有着明显的差异。不成功的问题解决者花在理解问题上的时间很少，往往凭很少的线索——如感觉、印象、猜测来选择答案或解法；相反，优秀的问题解决者在理解问题时表现得积极主动，他们会仔细地理解问题，然后抓住关键的意思，得出有用的解题信息。实际上，成功的问题解决者有两个突出的表现：一是仔细准确地理解问题——当意思不清时会立刻回到原问题上来，重新检查、复习、阅读，以确保没有错误、误解或疏漏；二是使用一步接一步的程序接近或探讨问题的解答。思维过程的特点是最能区别成功的问题解决者同蹩脚的问题解决者的能力强弱的特征，近些年这方面的研究较多，其领导者当属俄国的克鲁特茨基。研究发现，成功者与失败者在思维过程中的主要差别在于两者对问题中的重要因素的了解、识别和洞察的能力。具体地说，成功者往往表现出下述能力：①能抓住问题中的关键意思或思想，提出有用的解题信息，并最终抛弃无用的解题信息。②能迅速准确地看出问题的数学结构。事实上，成功者具有克鲁特茨基所说的“数学大脑构架”，一种根据自己对客观世界的直接或间接的认识而接受或利用数学结构的倾向。③能通过对广泛的一系列问题的分析能力，将问题的解答方法一般化、模式化。④能长时间地记住问题的数学结构。

研究者们发现，上述这些能力往往是成功者在求解问题时表现出的共同特征，但在解题过程中，这些成功者的个人风格仍存在较大差别。有些偏重于利用符号规划或符号代码思考问题；而有些则可能偏重借助于图形思考问题，在解题过程中，他们往往更倾向于使用自己更得心应手的思考方法。

成功者显著区别于不成功者的另一重要特征在于：成功者使用的问题解决策略要比一般的问题解决者使用的策略广泛得多。

一般说来，成功者会积极自觉地使用各种各样的启发式方法和步骤，来探讨解决问题的办法、对策及一切有帮助的事物。这些启发式的方法和步骤构成了很有价值的问题解决策略，举例如下：

目标定向计划，确定问题的目标；如果终极目标还不能直接达到，再确定中间目标；制定解题计划，这中间可能要综合使用其他一些方法，如试误的方法，列表的方法，寻求模式的方法。

寻找合适的模式。当遇到新问题时，辨别它属于哪一类先前见过或解过的问题，联想起一些基本模式，并以此为索引，从记忆中提取相应的方法来分析、解决问题。

映射代归。把遇到的新问题通过映射化归为一个等价的会解的或更容易求解的问题，从而找到解决问题的方法。这一策略也被称为关系映射反演（RMI）原则，它是对多种解题方法的高度概括，例如中学数学中常用的取对数计算法、换元法、引进坐标系法、设计数学模型法、构造发生式函数法等具体的解题方法都体现了这一策略。

回顾、评价。当问题的解答或解答方法已经找到或已经作出时，会对该解答或解答方法进行回顾、评价，其目的在于，或者将解答进行简化或优化，或者寻找别的解决方法，或者利用所得结果或方法提出新的问题，供进一步探讨。

在实际的解题过程中，成功者能将这些基本的策略通过各种各样有意义的组合，并利用丰富的数学知识，形成形形色色的解题方法和技巧。而不成功者的策略意识很薄弱，往往只凭自己暗记的条条框框思考问题，凭很少的线索如感觉、印象或猜测选择解法、答案；他们对解数学问题的目的和作用存在一种狭窄的片面的认识，往往认为解数学问题的唯一目的就只是获得正确答案，而且每一个问题只有唯一恰当的方法求得答案，因而获得解答或答案以后，几乎没有对问题或解答进行进一步研究的意识。

2．成功的问题解决者的能力培养

成功的问题解决者的能力培养问题是问题解决教学的核心问题，上述关于成功的问题解决者的诸多特征为我们探讨这个问题提供了有益的启示。集中来看，学生思考数学问题的深度和质量，对待问题解决的态度和兴趣应是促进学生的问题解决能力的两个重要因素，那么，教师能做些什么来影响这两个因素呢？下面准备从数学角度就这个问题提一些原则性的建议。

以身示范，展示问题解决的良好行为。教师在问题解决方面的行为对学生有一种潜移默化的作用，学生需要看看他们的老师是如何提出问题，如何理解问题，如何思考问题，如何积极地使用有效的策略寻找求解方法，又是如何由刚得到的解答或解过的问题提出新的问题的。作为一种示范作用，一种榜样的力量，教师传达或深深影响学生的是教师对问题解决的价值观和态度，而这又是通过教师自己在问题解决中的良好的行为表现来实现的。

因此，教师必须把问题解决视为一项重要的教学活动而卷入其中，必须是数学探索活动中的一位热心者而表现出好奇心和热情，有时必须扮演问题解决者的角色，有时又必须是一个持怀疑态度的引导者——引导学生而不是直接告诉学生如何解决问题．而有时又必须充当一位热心的鼓励者——尊重并接受学生的思路和独创性，所有这些都需要教师以最富艺术性的方法表现出来。

言传身教，传授问题解决的某些基本技能。现有的研究表明，问题解决的某些基本技能是有效的问题解决策略得以建立的基础，也是提高问题解决能力的关键因素。认真地传授这些技能，并在实践中经常地应用，不断地巩固、加强，尽可能将其条理化、组织化，使之成为学生机械化的东西，是提高学生问题解决能力的重要途径。

问题解决的基本技能具有不同的层次。波利亚在他的名著《怎样解题》中提出的解题思想，特别是他的解题四阶段原则，应该成为师生解题及其教学的行为准则，不妨称其为准则性技能。教师应该向学生讲授这些准则，并把它们融化在师生的问题解决的行为中。启发式的方法，如根据题意画出图形或示意图、合理估计、猜想、验证、试误、目标定向计划、寻找模式、目标递归、回顾评价、提出新的问题等，都可以称为策略性技能，应在教学中认真地向学生介绍、讲解，经常反复地使用。而列方程、套公式、消元、换元、待定系数、反证法、坐标法、构造法、递推法、数学归纳法、配方法等则是工具性技能，更是应该直接教给学生并让他们熟练掌握的基本技能。此外，还需要教给学生阅读数学问题的技能，数学中的阅读不同于普通文体的阅读，这是因为数学语言与自然语言有着一定的差异，数学语言有一套特定的术语、符号，表现出简洁、精练。通常对数学问题的阅读需要多次重复，并注意关键的词语和有关的变量关系；有时还需要借助自然语言或图示说明进行题意的翻译、转换，才能达到很好的理解，这些阅读技能对学生的问题解决能力也是重要的。

精心组织，创造问题解决的良好课堂环境。应该认识到，学生的问题解决能力的某些方面并不是靠教师的直接传授而是通过学生与问题打交道的过程，通过学生在课堂上就问题解决同教师和同伴间的相互作用而逐步发展起来的。实际上，学生对数学问题的重要因素的认识或洞察力，对目标定向计划的创造能力乃至一般的使用解题策略的能力都是需要在问题解决过程中通过上述方式逐步地加以培养的。实践表明，这些能力不可能靠教师直接传授获得，相反，必须在问题解决过程中，随着学生对自己或他人的思维过程、思维方法的认识而逐渐发展起来。教师在这个过程中所能做的或所要做的就是为学生提供一种恰当的课堂环境；一种有利于学生认识自己或他人的思维过程、思维方法的环境；一种能充分发挥学生解决问题的创造能力的环境。这就要求教师要精心组织问题解决的教学，用鼓励性的语言保持学生的好奇心、探索的主动性和质疑精神，用启发性的语言激起学生的求知欲和创造的动机。同时，设计好恰当的问题，交替训练学生的正向思维和多向思维，鼓励学生直觉思维和逻辑思维并用，让学生施展创造的才能。