创造性思维及其培养

第四节　创造性思维及其培养

一、创造性思维

1.对数学创造的双重理解

长期以来，国内外学者对创造性含义的理解，可以说是仁者见仁，智者见智，各有侧重。有些定义是根据结果（如某项发明或发现）来论述；而有的定义则是根据过程、人格或条件来论述的。不过，所有这些定义，都或多或少提到了结果应具有新颖性和价值。笔者认为，对创造性结果的新颖性和价值应从两方面来理解。首先，对社会而言，含有给现有文化的结构带来变化或变革的意思；其次，对个体而言，它又含有新的经验的意思。

一般而言，通过创造活动所产生的结果，都是要以社会标准为尺度判断其是否有创造性，也即是说，对新或不新的评价是根据它对我们的社会是否有价值（以前是否出现过）。但是，就创造过程而言，多把对个体是否有新的价值作为衡量的标准。

作为科学创造的一个分支，数学创造的含义也应从两方面来理解：

第一，结果是否丰富或扩大了现有的数学科学体系；

第二，对个人来说，结果是否具有新意。

例如，笛卡儿创立的坐标几何、牛顿和莱布尼兹分别独立发明的微积分、罗巴切夫斯基的非欧几何、伽罗华的代数群理论等等，都是数学历史上伟大的创造。但是，如果一个21世纪的儿童自己发现在直角三角形里，最长一边的平方等于其余两边的平方之和，那么，我们也认为他完成了同毕达哥拉斯一样的创造活动。

2.创造性思维

美国认知心理学家让·皮亚杰认为，教育的目标是造就批判性思维的头脑，敢于验证问题的头脑，而不是人云亦云的头脑。培养大批不只是单纯地重复上几代人已经做过的事情，而是有创造力、有发现和发明能力的人。在此，皮亚杰是从变革现实世界的角度来强调创造性思维的培养在教育中的重要位置。

学习的目的，不仅仅是限于掌握前人积累起来的知识，更重要的是发展人的认知能力，善于用旧的经验来解决新的问题（包括前人没有提出过的和已经提出但仍未解决好的问题），要解决这些问题，就必须培养创造性思维的能力。

所谓创造性思维，就是人脑对感知记忆的信息进行加工改造，并得出创造性结果的过程。这里所说的创造性有双重含义。一是结果具有社会价值，是前所未有的；二是结果没有社会价值，但对个人而言却有新意。从教育的意义上说，对已知东西的再发现也是创造，对创造性思维的理解应从这两个方面去进行。

例如，提出代数群理论的伽罗华，创立坐标几何的笛卡儿，他们的思维是创造性思维，对学生来说，尽管他们发现的是人们已熟知的事实，并没有什么社会价值，但对他们自己来说，却是新的发现或发明，对他们自己的思维发展具有积极的作用。

对创造性思维的双重理解，具有重要的理论意义和现实意义。它表明，在数学教学中发展学生的创造性思维，不但是必要的而且是可行的，培养学生的创造性思维能力，不仅仅是要培养少数的学科尖子，而且是要培养一大批富有创新意识的高素质的劳动者，这是实施科教兴国战略的基础。

3.创造性思维的特征

创造性思维具有流畅性、灵活性、新颖性的特征。

（1）流畅性

流畅性是指能产生大量的观念。即是说在回答问题时，能从不同的角度来作多种表达。产生的观念越多。提供有效的问题解决办法的机会就越多。

（2）灵活性

灵活性是指思维能很快地转换，应变能力强，对新的情景审视、估计、预测的能力很高。也可以说是克服思维定势的能力。

（3）新颖性

新颖性主要是指思路的新颖性，也即是指摆脱传统观念影响，从一般人考虑不到的角度去思考问题。

流畅性反映了主意的多少，灵活性反映了主意的种类，新颖性反映了主义的新奇度，它们是刻画创造思维能力的3个重要指标。

二、影响学生创造性思维的主要因素

在数学活动中，影响学生创造性思维的主要因素有家庭环境、学校环境、动机、信息的储存、思维的灵活性、数学形象思维能力。下面就后面3种因素展开讨论。

1.信息的贮存

思维是对感知记忆的信息进行加工改造得出新信息的过程。它以大量的信息为基础，创造性思维的流畅性、灵活性特征要求主体脑中贮存有各种知识和经验。我们脑中产生的几乎所有观念，都是源自信息的提取和加工，如果贮存的信息很少，或是贮存的方式不好，那么创造性的观念产生的可能性也越小。

但是，值得注意的是，强调知识信息量的重要并不意味着脑中贮存的知识越多，解决问题的能力就越强。例如，有的学生在解决一个全新的问题时，百思不得其解。但经旁人一指点，即刻恍然大悟。这说明他脑中已具备了解决这个问题所必需的概念、定理等知识，只是不能灵活自如地提取和运用这些知识。有的学生解决问题的能力强，不是因为他具备更多的知识信息，而是因为他将已有的知识信息组织得更好。这好比一个图书馆，如果里面的书籍杂乱无章，乱堆乱放，那么，要找某一本书时，就会困难重重。但是，如果书籍存放有序，类别分明，查找就很容易。

因此，对所学的知识信息进行加工整理，使之形成一个个的知识块，并对这些知识组块再进行组织、分类、概括，使之形成一个有层次有条理的知识网络结构，这样就可以提高信息的检索和提取效率。

例如，在复习平面几何时，教师可提出问题，证明两条线段相等有哪些方式？如何证明两个角相等呢？可以用哪些定理？教师鼓励学生列举得越多，越好证明两条线段相等和两个角相等有什么关系？这样的组织加工，突破了教材的章节结构，以知识的功能为线索来重新组织所学的知识，使零散的知识条理化、层次化、系统化，从而可提高知识信息的检索和组合加工的能力。

综上所述，丰富和组织良好的知识信息系统是实现创造性思维的重要条件。

2.思维的灵活性

创造性的一个重要特征是灵活性。面对一个复杂的问题，只有思维灵活的人才能进行多方面、多层次、多角度的思考，才能摆脱已有模式的束缚，激发出创造的火花。例如，年轻的数学家伽罗华在研究代数方程思维受阻时，以反常的思维方式引入代数群的概念，不仅解决了代数方程的根式可解问题，而且开辟了群论这一新颖的领域。又如，罗巴切夫斯基与黎曼等数学家，在论证长期悬而未决的“欧氏第五公设可证”这一猜想受阻时，毅然转向其否命题的研究，终于创立了非欧几何。数学史上大量的事例说明，思维的灵活性是创造性思维的重要条件，而思维定势则是创造性思维的一大障碍。

3.数学形象思维能力

数学形象思维就是人脑对表象信息进行加工，弄得出新的数学表象的思维过程。数学表象是数学形象思维最基本的心理元素，它具有创造性的特征，从而使数学形象思维成为一种创造性思维。

我们已经知道，数学表象是建立在先前知觉的基础之上，是以往大量形象信息在大脑中的储存，它是与“不在场”的事物进行接触的一种方式，虽不在场，闭上眼睛就能在心中看到它的影子，它不是忠实地再现，而是对记忆痕迹的加工润饰，具有灵活易变的特点，它能把我们从死板的真实中解放出来，引发出新的结构、新的概念和新的关系，从而成为创造性的第一因素。数学创造性思维水平的高低，主要取决于数学形象思维能力的水平，如形成数学表象的能力、数学表象的分解与组合的能力、联想的能力、想象的能力，等等。

三、创造性思维能力的培养

1.创造力和智商及训练的关系

一般人认为，凡有创造力的人都是绝顶聪明的，一定会有高智商，其实不然。

心理学家们对创造力与智商的关系作了很多研究，可概括为：

①低智商者创造力必低；

②高智商者创造力未必高；

③低创造力者的智商任意；

④高创造力者要有中等以上的智商。

也就是说，创造力和智商之间并没有很大的相关，创造力的培养只需要平均智商即可。

许多研究表明，创造力与训练密切相关。因此，在数学教学中培养学生的创造性思维能力是切实可行的。

2.三点建议

（1）数学教学中要充分揭示思维过程

在数学教学中要培养学生的创造性思维，就要充分揭示思维过程。

①充分揭示概念的形成过程

数学中的很多抽象概念常常以精炼的定义形式出现，略去了其形成过程，教师应将此过程充分揭示出来，使学生经历比较、抽象、概括、假设、验证、分化等一系列的概念形成过程，从中学到研究问题、提出概念的思想方法。例如，初中函数概念的教学，高中映射概念的教学，都可按概念的形成方式来进行教学。

②充分揭示结论的发现过程

数学教科书的定理和性质大多数是按照定理－证明－例题－习题的模式来安排的。为顾全精炼、严谨、系统的原则，而将数学结论的发现过程略去。数学结论的发现与提出实际上经历了曲折的试验、归纳、猜想、检验等一系列探索过程，如果教师能将这一结论的发现过程揭示出来，或着引导学生经历这一探索过程，那么，不仅使学生了解结论的由来，强化对定理的理解和记忆，而且可培养学生发现问题和提出问题的能力，为今后的科学发现奠定基础。

③充分揭示问题解决的思路探索过程

数学创造性思维和问题解决有密切的联系，即使是划时代的数学创造，也是诞生于数学家对某一相关问题的探索之中。从数学教育的角度来说，某人对某一数学问题的解决是否属于创造性的，不在于这一解决曾否有别人提出过，而关键在于这一问题及其解决对解题者来说是否具有新颖性。因此，数学创造性思维的培养就是要培养学生创造性地解决数学问题的能力。

教材上的定理、性质、例题等问题的证明与求解，往往以最简约的形式给出，省去了复杂的思路探索过程。如果教师只是按书上的顺序将这种方法传授给学生，学生学到的最多是会解这一个题或者是机械的模仿。当面对一个新情景的问题时，便会束手无策。事实上，一种解题方法的得出并不是一蹴而就的。往往要经历艰苦的思路探索过程。面对一个问题，解题者首先调动已有的经验去理解问题，然后应用自己的认知策略去作思路探索。例如，联想、类比、想象、简单化、特殊化、一般化、数形结合、反过来想、顺推与逆推前后夹击，等等。每种策略就是一条思路，解题者要根据自己的经验对所选择的思路进行探索和评价。如果不行，就得立即进行调整，换另一条思路，如此进行下去。直至探索到正确的解题思路。这是一个尝试，错误，调整，再尝试，再错误，再调整，……的过程。教师要想使学生学会创造性地解决问题，就必须在平时的教学中将问题解决的思路探索过程充分暴露在学生面前，使学生从中学会问题解决的思路探索方法。

（2）培养学生思维的灵活性

思维的灵活性主要表现为善于摆脱已有模式的束缚，及时由一条思路转向另一条思路，它是创造性思维的一个特征。培养学生思维的灵活性可注意以下四个方面。

①在数学教学中，要使学生养成从不同的角度、不同的层次去思考的习惯。例如，正面思考、反面思考、顺推、逆推、顺逆结合、简单化、特殊化、一般化，等等。

②对于定义、公式，不但会正用，而且会逆用。甚至会将公式变形使用。

③注意探索一题多解，可开拓学生的思路，强化知识的应用，为解题思路的选择和转换奠定基础。另外，在解题中，若能引导学生探索一些非常规解法，对培养学生思维的灵活性很有帮助。

④克服思维定势的消极影响

所谓思维定势，是指思维的定向准备状态。也就是说，人们习惯于按照已有的方式或固定的思路去思考问题。儿童认知的发展实质上是经验的积累过程，在此过程中，不断利用已有的观念去同化和顺应新观念，并按已有的模式去解决问题。因此，儿童的认知过程是在现有的定势上发生的，思维定势是展开思维活动的基础，这是它积极的一面，表现为一种正迁移。但是，思维定势也有消极的一面，即负迁移作用。有不少学生总习惯于照搬已有的经验，机械记忆，机械模仿，表现出思维僵化、呆板，思路狭窄，问题解决能力低下等特征。已有的通法、通则对常规问题而言是很有效的，但对那些复杂的非常规问题，通法、通则往往难以奏效。因此，必须克服思维定势的负迁移作用。首先，应注意引导学生形成摆脱定势的束缚，及时转换思路的习惯，这要求学生善于观察、联想、想象、类比、转化等等。其次，克服思维定势，还要注意避免由思维定势引起的错误。比如套用公式、套用定理性质、套用解题方法、单向思维等引起的错误。

（3）培养学生的形象思维能力

创造性思维主要包括形象思维、发散思维、直觉思维、灵感思维。不论是发散思维、直觉思维，还是灵感思维，都是以形象思维为基础的。因此，培养学生的创造性思维以培养学生的形象思维能力为基础。

①建构学生丰富的数学表象系统

数学表象是数学形象思维的心理元素，不论是表象的分解与组合、联想，还是想象，都是以数学表象为基础。因此，要培养学生的数学形象思维能力，首先就要建构学生丰富的数学表象系统。在数学教学中，可从以下三个方面着手。

第一、在概念教学中丰富学生的数学表象。

概念的形成依赖于大量的具体感性材料，以及对这些材料的共同属性的把握；在概念的同化过程中，要用具体的实例来对概念进行变式分化。因此，在概念教学中，为了使学生掌握概念的本质属性，教师必须不断变更所提直观材料或事例呈现的形式，使事物的本质属性时隐时现，而本质属性保持恒定，从而给学生提了丰富的数学表象。

②培养学生全方位的联想能力

联想就是由已知的表象唤起另外的表象的形象思维形式，联想的多向性与转换速度依赖于数学表象系统的丰富程度。因此，要培养学生的灵活多变的联想能力，首先就要帮助学生在学习过程中建构丰富的数学表象系统，其次要训练学生由部分联想整体、类比联想、关系联想的能力。

③发展学生的想象力

数学形象思维中最重要的形式是想象。想象是人脑对已有的表象进行加工改造而产生新表象的思维方法。丰富的表象和广泛的联想是想象的前提，培养和发展学生的想象力是培养数学形象思维能力的重要部分。

中国科学院心理研究所的吴振云等人的研究表明：对图形想象的总数随年龄的增长而减少；不同年龄组想象的内容有不同倾向；对图形想象的种类和新颖性随年龄的增长而减少；老年组想象的整体性明显低于青年组和少年组，后两组相接近。由此看出，青少年具有想象丰富、活跃和新颖的特点。在数学教学中应充分利用这一特殊的年龄时期培养学生的想象力。

培养学生的想象力的方法和途径很多，在教学实践中，有不少教师就立体几何教学中培养学生的空间想象力，提出了一些很有见地的办法。

耿秀兰建议：通过实物或模型培养空间想象力；用平面几何、立体几何对比的方法培养空间想象力；培养识图和绘图能力。

钟肇和认为：培养空间想象力就是要培养学生的观察能力、临摹能力、表象能力、解剖能力、模仿创造能力和构造能力，空间想象力是这些能力的综合体。

郭佩玉提出了三种手段：丰富空间表象和识图训练；根据要求，加强构思图形和画图的训练；构思做题、创造想象的训练。

以上3位作者从不同的角度提出了培养学生空间想象力的策略，并就每一策略给出了丰富的例子和详细的说明。这些建议对指导我们进行教学有重要的实际意义。

除了通过立体几何教学来培养学生的想象力之外，也可以通过代数教学、例题教学、问题解决等途径来培养学生的想象力。不管是通过什么途径，培养想象力最关键的是要借助表象来思维，通俗地讲就是闭上眼睛来复述、联想、设想。著名英国科学家贝弗里奇说：“在如此思考的时候，很多人发现，把思想具体化，在脑海中构成形象，能激发想象力。”因此，将提出的问题尽量具体化、形象化，在脑中形成数学表象，以激发想象，这是培养想象力的一种方法。

丰富的数学表象、广泛的联想和大胆的设想是展开想象的翅膀，教师应鼓励学生进行广泛的联想和大胆的设想，以培养学生的想象力。