怎样才能将循环小数化成分数

数字趣谈——奇妙的9

将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢?这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式:s=。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数0.6666……=0.6，0.242424……=0.24。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式:

0.6666……=0.6+0.06+0.006+……

=+……

0.242424……=0.24+0.0024+0.000024+……

=+……

这就变成了无穷递宿等比数列的形式。0.6666……的公比是，而0.242424……的公比是。根据求和公式得:

0.66……==。

由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数学化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。例如:

0.4444……=0.4=

0.5656……=0.56=，

0.31233123……=0.3123=。

下面再来看看以下两个循环小数:

0.2888……=0.28，0.3545454……=0.354它们都不是从小数点后的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为:

0.28888……+……

0.35454……=+……

这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以为公比的无穷递缩等比数列。由求和公式得:

0.2888……=

=

=

0.35454……=

=

=

由此可以看出:把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子;分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如:

0.27777……=0.27=

0.31252525……=0.3125=

数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，要善于总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。