虚数的发现

虚数的发现

从自然数逐步扩大到了实数，数是否“够用”了?够不够用，要看能不能满足实践的需要。

在研究一元二次方程x²+1=0时，人们提出了一个问题:我们都知道在实数范围内x²+1=0是没有解的，如果硬把它解算一下，看看会得到什么结果呢?

由x²+1=0，得x²=－1。

两边同时开平方，得x=±(通常把记为i)。

是什么?是数吗?关于这个问题的正确回答，经历了一个很长的探索过程。

16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，对它还进行过运算。

17世纪法国数学家和哲学家笛卡儿把做”虚数”，意思是“虚假的数”、“想像当中的，并不存在的数”。他把人们熟悉的有理数和无理数叫做“实数”，意思是”实际存在的数”。

数学家对虚数是什么样的数，一直感到神秘莫测。笛卡儿认为:虚数是“不可思议的”。大数学家莱布尼兹一直到18世纪还以为“虚数是神灵美妙与惊奇的避难所，它几乎是又存在又不存在的两栖物”。

随着数学研究的进展，数学家发现像这样的虚数非常有用，后来把形如2+3，6－5，一般地把a+b记为a+bi，其中a，b为实数，这样的数叫做复数。

当b=0时，就是实数;

当b≠0时，叫做虚数。

当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。

虚数作为复数的一部分，也是客观存在的一种数，并不是虚无飘渺的。由于引进了虚数单位开阔了数学家的视野，解决了许多数学问题。如负数在复数范围内可以开偶次方，因此在复数内加、减、乘、除、乘方、开方六种运算总是可行的;在实数范围内一元n次方程不一定总是有根的，比如x²+1=0在实数范围内就无根。但是在复数范围内一元n次方程总有几个根。复数的建立不仅解决了代数方面的问题，也为其他学科和工程技术解决了许多问题。

自然数、整数、有理数、实数、复数，人类认识的数，在不断地向外膨胀。

随着数概念的扩大，数增添了许多新的性质，但是也减少了某些性质。比如在实数范围内，数之间是可以比较大小的，可是在复数范围内，数之间已经不能比较大小了。

所谓能比较大小，就是对于规定的“＞”关系能满足下面四条性质:

(1)对于任意两个不同的实数。a和b，或a＞b，或b＞a，两者不能同时成立。

(2)若a＞b，b＞c，则a＞c

(3)若a＞b，则a+c＞b+c

(4)若a＞b，c＞0，则ac＞bc

对于实数范围内的数，“＞”关系是满这四条性质的。但对于复数范围内，数之间是否能规定一种“＞”关系来满足上述四条性质呢?答案是不能的，也就是说复数不能比较大小。

为了证明这个结论，我们需要交待复数运算的部分内容，证明中要用到它:

(2)复数中的实数仍按实数的运算法则进行运算。

现在用反证法证明复数不能比较大小。假设我们找到了一种“＞”关系(注意:“＞”关系不一定是实数中规定的含义)来满足上述四条性质。当然对于应具有性质(1):

＞0或0＜

先证明＞0不可能。

＞0的两边同乘，由性质(4)得:

·0

－1＞0

(注意:由于“＞”不一定是实数各规定的含义，故未导出矛盾。)

－1＞0的两边同加1，由性质(3)得:

－1+1＞0+1

0＞1

－1＞0的两边同乘－1，由性质(4)得:

(－1)·(－1)＞(－1)·0

1＞0

于是得到0＞1，而且1＞0，也就是0与1无法满足性质(1)，这与假设形成矛盾，所以＞0是不可能的。

其次证明0＞不可能。

0＞的两边同加－，由性质(3)得:

0+(－)＞+(－)

－＞0

－＞0的两边同乘－，由性质(4)得:

(－)·(－)＞(－＞)·0

－1＞0

以下可依第一种情况证明，导出矛盾，所以0＞不可能。

以上证明从复数中取出两个数与0是无法比较大小的，从而证明了复数没有大小关系。

复数无大小，听来新鲜，确是事实!