数学王子与匈牙利少年不谋而合的发现

数学王子与匈牙利少年不谋而合的发现

尽管《几何原本》得到后人很高的评价，但是人们对它也不是毫无保留。

早在古希腊时期，就有人对《几何原本》中的第五公设产生怀疑，认为第五公设并不像其他几个公设和公理那样显而易见。把第五公设作为不证自明的真理，使人们不容易接受。

第五公设如果不作为公理，它就应该作为定理可以从其他公理中推证出来。两千年来，许多著名的数学家都参加了证明第五公设的大军，呕心沥血证明第五公设。不少数学家兴高采烈地宣布自己已经证明了第五公设。但是没过多久就有人指出他的证明中有错误，结论不能成立。

直到18世纪，这个问题才有了突破。第一个从证明第五公设大军中觉悟过来的，是德国著名数学家、被誉为“数学王子”的高斯。

高斯从小就显露出数学的才华;他19岁时，证明了可以用圆规和直尺作正十七边形。

尺规作图问题是历史遗留下来的、极其困难的问题之一。

19岁就发表了被称为“代数基本定理”的博士论文。高斯也花费了许多心血去证明第五公设。

当时，人们已经认识到第五公设和平行公理是等价的。平行公理是:“过直线外一点，只能作一条直线和给定的直线平行。”所谓等价，就是说如果把第五公设作为公理，那么平行公理就可以由第五公设推证出来，这时平行公理就成了定理;反过来，如果把平行公理当作公理，同样可以把第五公设当作定理证明出来。由于平行公理叙述比第五公设简单、明确，因此证明第五公设的大军都转向证明平行公理去了。

当高斯竭尽全力也证不出平行公理时，他逐渐意识到平行公理是不可能证明的。1817年，40岁的高斯给朋友写信时提到:“我日益相信几何学中所需要证明的部分是不能证明的，至少对于人类的智力来说是不能达到的。”但是，高斯并没有停止在“不能证出”这一级阶梯之上，他又往更高处攀登，他发现了一种前人所不了解的惊人的新几何学。

后来，数学家又发现平行公理和“三角形内角和等于180°”也是等价的。如果能证出“三角形内角和等于180°”也就等于证出了平行公理，证出了第五公设。

1824年，47岁的高斯给朋友的信中写道:“三角形的内角和小于180°，这个假定引向一种特殊的和我们的几何学完全不相同的几何。这种几何是完全相容的，当我发展它的时候，结果完全令人满意。”

既然高斯发现了一种与欧几里得几何完全不同的几何学，他为什么不赶快发表呢?40多岁的高斯，当时在欧洲是数学界最高的权威，有很高的声望。他担心这种新几何学发表以后，别人不但不理解，反而会讥笑、嘲讽他。不敢冒丢失名誉的风险，使得高斯一辈子没有公开发表这种新几何学。

正当高斯犹豫时，一位匈牙利少年波约伊把这种新几何学提了出来。

小波约伊的父亲老波约伊是高斯的同窗好友。老波约伊一辈子都试图证明平行公理，但是没有获得成功。当小波约伊知道父亲在致力于证明平行公理时，一种好奇心驱使他也参加证明平行公理的行列。老波约伊知道自己的儿子也在醉心平行公理的证明时非常紧张。他害怕儿子也和自己一样，证一辈子平行公理也毫无结果。他赶紧写信给在维也纳读书的小波约伊，信中写道:“希望你再也不要做证明平行公理的尝试。即使你花去所有的时间在这上面，你一辈子也证不出这个定理。”信中又写道:“在这方面，我埋没了人生的一切亮光和欢乐。上帝啊!希望你放弃这个问题，对它的害怕应该多于感情上的留恋。因为它会剥夺你生活中一切时间、健康、休息和幸福。这个无希望的黑暗能够使上千座牛顿之塔沉没，这个黑夜任何时候都不可能使大地上见到光明。”

父亲的劝告并没有阻止小波约伊对平行公理的钻研，而且很快得出了与高斯发现的同样结果。他于1823年高兴地写信给父亲说:“我坚决地决定发表自己关于平行公理的工作，只要我把资料整理好，我就这样做，现在我虽然还没有完全达到目的，但是我已经获得一些令人注目的结果;如果这些东西遭受摧残的话，那就太可惜了。当您看到这些结果的时候，您也会这样想的。我先说这么一点，我已经从乌有中创造了整个世界。”小波约伊提出这种新几何学时，年龄刚满21岁。

1832年出版了老波约伊的一本几何著作。在这本书的最后，以附录方式发表了小波约伊整理出来的一篇题为《关于一个与欧几里得的平行公理无关的空间的绝对真实性的学说》的论文。

小波约伊非常希望得到数学权威高斯的支持。高斯在回信中，虽然赞扬了他有头等的天才，但是对小波约伊提出的新几何学并没有给予热情支持。小波约伊对高斯的回信非常失望，对他深入研究的热情如同泼了一桶冷水。

1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了这种新几何学的详尽内容。当小波约伊知道有人又提出了这种新几何学时，他对于自己的发现没有得到任何人的同情和理解十分恼怒，继而变得十分消沉。从此，他抛弃了数学的研究，一个数学天才被埋没了。