勾股定理与正方形面积问题

勾股定理的发现

1995年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成，这张邮票是为了纪念两千多年前古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理而发行的。邮票中下面的正方形分成了25个小正方形，上面两个正方形，一个分成16个小正方形，另一个分成9个小正方形。每个小正方形面积都相等。9+16=25，说明上面两个正方形的面积和等于下面大正方形的面积。从另一个角度看，这三个正方形的边围成了一个直角三角形，该直角三角形三边长分别是3，4，5。由3²=9，4²=16，5²=25可知，这个直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，这就是著名的勾股定理。

传说，有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，客人们高谈阔论，又吃又喝，惟独毕达哥拉斯独自一个人望着方砖地发愣。他用棍在地上勾出一个图形，中间有一个直角三角形ABC。在直角三角形ABC的每条边上，都有一个正方形，BC2等于正方形BCDE的面积，正方形BCDE是由两黑两白四个三角形组成的。AB2等于正方形ABFG的面积，它由两个黑色三角形组成。同样AC2等于正方形ACHM的面积，它也由两个黑色三角形组成。由于白三角形和黑三角形面积相等，因此有DEBC的面积=ABFG的面积+ACHM的面积。也就是AB²+AC²=BC²。

方砖地的启示使毕达哥拉斯得到了勾股定理。毕达哥拉斯认为这个定理太重要了，他所以能发现这个重要定理，一定是“神”给予了启示，于是他下令杀100头牛祭祀天神，起名为“百牛定理”，也叫做“毕达哥拉斯定理”。

其实，这个定理不独是毕达哥拉斯发现的。下面，介绍两千多年前我国周代人测日高的方法，你会发现我国是最早使用勾股定理的。

由于受科学水平的限制，周代人还不知道地球是圆的，认为地面就是一个大平面。他们于农历夏至时在地面上立一根8尺长的标杆，测量出标杆的影子长度为6尺。又假设把标杆每向南移动500千米，日影就要缩短一寸。由于标杆的影长为6尺，如果我们把标杆连续向南移动60个一千里(1里=500米)，即6万里的话，标杆的影长就缩短为零了，这时标杆就跑到了太阳的正下方。

由△ADE～△ABC，得

DE=8(万里)

这样就求出了太阳的高度为8万里。

以上求法最早见于我国的《周髀算经》，该书记载了两千多年前我国在数学和天文学方面的许多重要成就，内容十分丰富。书中除了求出了太阳距地面的垂直高度为8万里，还进一步求出了太阳到A点的距离AE:

AE=

==10(万里)

就是说太阳到测量地点的距离为10万里。

《周髀算经》中把太阳高度ED叫做“股”，把AD叫做“勾”，斜边AE叫做“弦”，得到关系式勾2+股²=弦²，也就是AE²=ED²+DA²，这就是著名的“勾股定理”。勾股定理给出了直角三角形三条边的确定关系。勾股定理的发现是我们的祖先对数学的一大贡献。

日高八万里对不对呢?不对。现代测得太阳光大约需要8分钟才能到达地球。光每秒钟走30万千米，8分钟是480秒，由此可算得太阳到地球的距离大约等于30×480=14000(万千米)，即1.44亿千米。8万里合4万千米，与1.44亿千米相差太大了。周代人错在哪里呢?(一)“假设标杆向南移动500千米，日影缩短一寸”是错误的;(二)大地是个球面，但周代人把它看成了平面，这也是错误的。但是他们所使用的数学原理却是完全正确的。

“勾股定理”用语言叙述是:在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。或说成“勾方加股方等于弦方”。勾股定理的逆定理也是对的，即“在一个三角形中，如果有两条边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角必定是直角。”这个逆定理也早就被古埃及人发现了，他们利用这个定理来做直角。方法是取三边分别为3，4，5(长度单位不限)构成一个三角形，长边所对的角就是直角。

古埃及定直角的方法至今还在许多地方使用着。比如盖房子时先要定好地基，地基多是长方形的。怎样检查地基所划出的长方形每个角都是直角呢?在长方形的各个顶点插上木棍，圈上绳子。另取一段绳子EF，组成一个三角形AEF(如图)，测量AE，AF，EF的长度，计算它们是否符合

EF²=AE²+AF²

如果符合，则∠A是直角;如果不符合，则∠A不是直角，还需要调整。

是不是只有3，4，5才能满足勾股定理呢?显然不是，比如5，12，13也满足勾股定理，算一算:5²=25，12²=144，13²=169。

∵25+144=169

∴5²+12²=13²

人们把满足a²+b²=c²的一组数a，b，c叫做“勾股数”。