1994年中国青年出版社出版了一套《名师帮你学数学》丛书,看似普通的书名,作者却是一群来自不同省份的全国知名特级教师、名师:《高中代数(上)》分册、《立体几何》分册的作者为杨象富(浙江);《高中代数(下)》分册、《解析几何》分册的作者为陈振宣(上海);《高三总复习》分册的作者为赵大悌(北京);《中学数学思想方法选讲》分册的作者为马明(江苏).
全国各省市优秀数学特级教师的代表,我们可以列举一长串的名字:江苏的马明(高中数学)、李庾南(初中数学)、邱学华(小学数学);浙江的杨象富(高中数学)、陈守礼(高中数学);上海的赵宪初(高中数学)、唐秀颖(高中数学)、姚晶(高中数学)、顾泠沅(初中数学)、顾汝佐(小学数学);……
韶华易逝,光阴荏苒.即使当年风华正茂的特级教师,如今也步入暮年.为了留下更多宝贵的精神财富,2010年“当代中国数学教育流派”课题组启动了江浙沪高龄优秀数学特级教师访谈计划.
2012年5月,课题组赶赴浙江宁波宁海县,拜访杨象富先生.杨象富先生1934年8月出生,虽已年近八旬,仍旧思维清晰、记忆力强,一双眼睛尤其闪烁着睿智、坚毅的火花.杨象富先生1981年成为浙江省第一批特级教师,他在宁海县是一个传奇式的人物,曾获赠外号“杨代数”,这亦印证了“每一个特级教师都是一个传奇”.杨象富先生的代表作是《杨象富数学教学经验》(浙江教育出版社1991年出版),苏步青先生为此书题词:“春华秋实·杨象富数学经验.”
杨象富先生严谨治学,不唯上不唯书只唯实,有错必纠,有疑必查,给我们留下了深刻印象.1982年春节,他读南京大学莫绍揆教授(数理逻辑权威)的《论数学归纳法》,发现有一题的解法可大大简化,当天写去一信,5天之后就收到莫老教授的长信,勉励之余又指出他的解法不具普遍性,应对文中“双参数法”好好领会.他对《华罗庚科普著作选集》一书中的“以窍理实”概念提出异议,指出应为古代数学家祖冲之的“以竅理实”.该书责任编辑赵斌惊叹:“此书出版几十年了,从来没有一个人哪怕指出一个标点错误,杨老师却发现了这个错误,可见其治学之深、之严.”张奠宙先生在《数学教学》杂志2008年第4期的编后语《从清兵“放枪不瞄准”的毛病说起》一文中说,“清兵只管朝天放枪,把子弹打完算数,好像在放炮仗.”“由此想到数学教学,据说教师要求学生,对于高考题必须‘一看就会,一做就对’.至于问为什么做这些题目,则不知道,无非是为了高考,考后就丢了!仔细想想,这和‘放枪不瞄准’似乎很有些相像.”看到这篇文章,杨象富先生立马给张奠宙先生去了一封信,为广大数学教师鸣不平.
杨象富先生回顾自己近60年的教书、写书经历,心得唯“爱生”、“读书”四字.他有句名言叫:“学足三余,持之以恒.”何谓“三余”?他说:“对教师来说,寒暑假是学期之余,节假日是周、月之余,深夜凌晨是一日之余.”几十年来,杨象富先生坚持学足了“三余”,并将自己的书房取名为“三余书斋”.他手书了一份“十本最使我受益的书”清单,并复印了若干份,凡来访者皆获赠一份.这也给我们留下了深刻印象.
杨象富先生为人坦荡、胸怀宽广,因此有诸多学术上的合作伙伴,其中最重要的是陈振宣(1922—2013)先生.陈振宣先生是上海老一辈的中学数学名师,数学功底扎实,积极倡导向量进入中学教材,曾获赠外号“解几王”.代表作有《数学题解辞典·平面解析几何卷》(上海辞书出版社1983年出版)、《培养数学思维能力的探索》(上海教育出版社1998年出版)等.陈振宣先生“三根导线”的故事,堪称中国数学教育的经典之作.[5]陈振宣先生还创造性地提出了“数学思维能力结构的猜想”(1989)[6]、“三角函数的4种定义”(2008)[7]、“解析几何的两大基本矛盾”(2008)[8]、“数学教学公理”(2009)[9]等著名论断.陈振宣先生回忆说,他与杨象富先生认识是在1991年初的台州、杭州讲学.[10]两位名师合作出版的图书有20多本,其中《中国中学生数学解题方法大全(初中)》(上海远东出版社)1996年出版至今已印刷10余次,发行15万册,该书的特点集中体现在第二编“数学的思想、美妙、应用和学法”,包含14组56篇新颖、生动而有针对性的小品文.张奠宙先生评价说,“他们强调数学思维的教学,善于解题,可说是我国解题研究中的黄金搭档”.[11]
2013年4月13日,课题组在上海拜见了姚晶先生.姚晶先生因擅长三角函数获赠外号“姚三角”.代表作是《三角函数》(上海教育出版社1980年出版).
姚晶先生年届九旬,依然健谈,而且对中学数学教材教法改革念念不忘.
他曾参与1960年上海“革新”教材编写(见本书第1章1.6节),并担任数学课程革新委员会副主任(苏步青先生任主任).当时姚晶先生就对三角函数教材编写提出了独到见解.他提倡用单位圆上的向量投影来导出正弦和余弦,这样三角函数的符号规则、函数图像等都很容易记忆和理解.这些意见在20世纪的教材改革中屡次提出却未被接受,但在21世纪初,向量逐渐渗入中学数学,他的想法也终于进了教材.[12]
他还向我们展示了35年前的一本《数学教学》杂志,其中有他写的一篇文章《三角式的变换》[13],是关于三角变换教法改革的,文章大意我们摘录如下:
三角式的恒等变形,需要用到大量的三角公式.不少学生往往只知死记公式,遇到问题,把公式一一排队,拿来套用,这样不仅效率低,容易搞错,而且日久也容易忘记.怎样解决这个问题呢?我(姚晶)认为,学习三角式的变换时,应做到“脑中有图,变换靠式”.把基本公式的推导建筑在几何图形的基础上;而对派生的公式,则根据代数式的恒等变形关系,把它和基本公式紧密联系起来.这样,就可做到公式少而精,印象深,便于应用.下面从三方面分别谈谈我(姚晶)的处理意见.
关于同角三角比之间的关系.同角三角比之间的关系,最基本的还是锐角的三角比之间的关系.这些关系,可以根据锐角三角比的定义,画出一个直角三角形,并取其中某一边作为单位,从图形上观察得到.例如,取斜边作为单位边长.至于任意角α的三角比之间的关系,可以在这个基础上,同样利用图形来得出.应用时,只需注意这个角的终边在什么象限,正确运用算术根的概念和分母不能为零的原则,一切问题都可迎刃而解.
关于简化公式.简化公式通常也称“诱导公式”.它主要揭示α与n·
的三角比之间的关系.过去的课本中曾引进54个公式,使学生记不胜记,而且推导很繁琐,我(姚晶)看只要抓住以下几点,就可以大大简化.
关于加法定理及其应用.加法定理常用的有6个公式,再加上由此派生的倍角、半角、积化和差与和差化积,通常在课本中至少出现28个公式.如果平均使用力量加以记忆和熟练应用,势必学时很苦,学后易忘.我(姚晶)认为,初学时应该集中主要力量掌握sin(α±β)、cos(α±β)这4个基本公式和sin2α、cos2α这两个常用公式,其余在第一阶段不作为公式提出,而在做有关练习题时,要求学生根据这6个公式自己推导,从而熟练掌握其推导过程及公式之间的相互联系.第二阶段,则让学生通过练习,在对这些公式已能基本掌握的基础上,研究如何综合运用这些公式解决恒等变形以及其他应用.这样就可以收到事半功倍的效果.
姚晶先生为人诚恳、善谈、有主见,常有独到之处.[14]他见我们对教材教法改革颇有兴趣,遂又给我们讲“两条直线平行的3种定义”等平面几何教材改革设想,让我们大开眼界.
江山代有才人出.期盼新一代的青年教师能够接过老一辈特级教师的大旗,推动中国数学教育稳健前行.
【注释】
[1]本刊记者.北京景山学校经教育部批准提升马淑珍、郑俊选、方碧辉为特级教师[J].人民教育,1978(4—5).
[2]冯永亮.教师职业要求学无止境——访特级教师郑俊选[N].中国教师报,2008-12-24.
[3]特级教师评选规定[J].人民教育,1993(Z1).
[4]王湛.《中国特级教师文库》总序[J].课程·教材·教法,2003(9).
[5]张奠宙.我亲历的数学教育(1938—2008)[M].南京:江苏教育出版社,2009.11:191.
[6]陈振宣.关于数学思维能力结构的一个猜想[J].中学数学教学(上海),1989(5).
[7]陈振宣.三角函数定义的比较研究[J].中小学数学(高中版),2008(10):16-20.
[8]陈振宣.解析几何的两大基本矛盾[J].中小学数学(高中版),2008(11):1-4.
[9]陈振宣,陈永箴.数学教学公理刍议[J].中小学数学(高中版),2009(7—8):1-3.
[10]陈振宣.一本值得反复学习的好书——《杨象富数学教学经验》读后[J].中学教研(数学),1992(6).
[11]同①:190.
[12]张奠宙.我亲历的数学教育(1938—2008)[M].南京:江苏教育出版社,2009.11:190-191.
[13]姚晶.三角式的变换[J].数学教学,1979(1):13-17.
[14]张奠宙.我亲历的数学教育(1938—2008)[M].南京:江苏教育出版社,2009.11:190.
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